Bab4 IntegralTentu TujuanInstruksionalKhusus PDF

Preview

Summary

Bab 4    Integral Tentu     Tujuan Instruksional Khusus. Mahasiswa mampu:    1. mencari  antiturunan  fungsi  dan  menggunakan  antiturunan  untuk  menyelesaikan  persamaan diferensial orde satu peubah terpisah,  2. menggunakan definisi untuk menghitung integral tentu sebagai limit penjumlahan,  3. ...

Description

Bab 4    Integral Tentu     Tujuan )nstruksional Khusus. Mahasiswa mampu:    . mencari  antiturunan  fungsi  dan  menggunakan  antiturunan  untuk  menyelesaikan  persamaan diferensial orde satu peubah terpisah,  . menggunakan definisi untuk menghitung integral tentu sebagai limit penjumlahan,  . menghitung  jumlah  Riemann  dengan  menggunakan  titik  evaluasi  kiri,  kanan,  dan  tengah  dengan  bantuan  Teknologi  )nformasi  dan  Komputer  T)K   dan  menggunakannya untuk menjelaskan pengertian intuitif dari integral tentu,  . menghitung integral dengan menggunakan sifat integral tentu, aturan pangkat, dan  substitusi umum,    . membangun  dan  mengevaluasi  integral  untuk  menghitung  luas  bidang  datar,  volume  benda  putar,  luas  permukaan  benda  putar,  kerja  yang  dilakukan  oleh  perubahan  gaya,  momen  dan  pusat  massa  lamina  datar  dan  sentroit  dari  daerah  bidang datar.    Waktu pembelajaran :   minggu.

Pada  Bab    kita  telah  mempelajari  konsep  diferensiasi  differentiation ,  yaitu  pencarian  turunan  derivative  dari fungsi. Pada bab ini kita akan mempelajari kebalikan dari konsep  diferensiasi,  yaitu  pencarian  antiturunan  antiderivative   dari  fungsi.  Konsep  ini  dikenal  sebagai antidiferensiasi  antidifferentation  atau integrasi  integration . Selain itu, kita juga  akan mempelajari beberapa aplikasi konsep ini.

4.1    Antiturunan (integral tak­tentu)

 

Proses  pencarian  antiturunan  fungsi  merupakan  proses  kebalikan  dari  proses  pencarian  turunan  fungsi.  Namun  demikian  ada  perbedaan  hasil  dari  kedua  proses  tersebut.  Dalam  proses  diferensiasi,  turunan  suatu  fungsi  merupakan  suatu  fungsi  pula,  sedangkan  dalam  proses  antidiferensiasi,  antiturunan  suatu  fungsi  merupakan  suatu  keluarga fungsi satu‐parameter  1­parameter function family , bukan suatu fungsi.

Definisi  4.1    Fungsi    disebut  suatu  antiturunan    fungsi    pada  interval    jika    pada  , yaitu:    untuk setiap    di  . 

Contoh  4.1    Fungsi  ,  merupakan  beberapa  antiturunan  fungsi  disebabkan     

 

F

F

   

 

,  dan    pada  , ,   dan

  ∞, ∞ .  Hal  ini 

 

 

 

F

untuk setiap    di  ∞, ∞ .  Secara umum,  antiturunan umum dari 

 

,

, dengan    adalah sembarang bilangan riil, merupakan  .    ‹

Maple  dapat  digunakan  untuk  mencari  suatu  antiturunan  umum  fungsi.  Perintah  yang  digunakan  adalah  int fungsi,peubah .  Untuk  Contoh  . ,  masukannya  adalah    int *x   + ,x ;, sedangkan keluarannya adalah x   +x.

Perhatian. (asil yang diberikan Mapple tidak memuat konstanta   

 

 

Gambar  . : Grafik fungsi    kurva putus‐putus  dan 

. 

 

  kurva sambung ,     kurva titik‐titik . 

Adakah  perbedaan  antar  anggota  keluarga  fungsi  satu‐parameter?  Gambar  .   memuat grafik beberapa anggota tersebut untuk Contoh  . . Grafik anggota keluarga fungsi  dapat diperoleh dengan cara menggeser secara vertikal suatu grafik anggota fungsi.    Perhatian.  Untuk  selanjutnya,  yang  dimaksud  dengan  antiturunan  adalah  antiturunan  umum.    Notasi untuk menyatakan antiturunan fungsi   

 

.

  adalah   

Notasi ini dicetuskan pertama kali oleh matematikawan Jerman G.W. Leibniz  ‐ .  Simbol    disebut  tanda integral   integral sign . Simbol ini merupakan "pemanjangan"  huruf  S  dari  kata  Latin  summa  yang  berarti  jumlah.  Suku    dalam  notasi  tersebut  disebut  integran    integrand ,  sedangkan    menyatakan  bahwa  integralnya  terhadap  variabel  .  Leibniz  menyebut  antiturunan  sebagai  integral  tak­tentu    indefinite  integral . Sepertinya ia menggunakan kata "tak‐tentu" karena adanya konstanta sembarang    pada antiturunan fungsi.

                                                        

Kata integral dalam Kalkulus diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Swiss Jakob Bernoulli (1654-1705).

 

Perhatikan bahwa   

 

 

 

Contoh 4.2 Carilah 

 

 

Penyelesaian.     

 

 

 

 

    jika 

   

 

,                .  

 √

 

 

.            .   . 

 

 

         Pers.   .

 

 

.              

√

  Teorema berikut memberikan antiturunan fungsi pangkat.    Teorema 4.1 (Aturan pangkat)    Jika    adalah bilangan rasional dan     

Bukti. Misalkan    adalah bilangan rasional dan  Jadi 

Untuk 

     

 

 

 

 

.

. Perhatikan 

         terdefinisi karena 

.                untuk bilangan rasional    dan 

, Aturan pangkat memberikan 

Contoh 4.3 Carilah 

 √  

  dan 

 

 

√

. 

   

.

    

 

    √

   

/

 

/

 

/

   

/

   √  √

   

.      â       

Penyelesaian. Dengan menggunakan Aturan pangkat kita dapatkan   √  

, maka 

, .      

 

Antiturunan  untuk  fungsi  trigonometri  dasar  diberikan  oleh  teorema  berikut.  Cobalah  untuk membuktikannya!

Teorema 4.2     

 

 sin  

 

 cos  

 

cos sin

.

Perhatian.  Untuk  membuktikan  pernyataan  ditunjukkan adalah  .

 

 

,  yang  perlu 

Dalam  Bab  ,  kita  tahu  bahwa  turunan  merupakan  operator  linear.  Teorema  berikut  menyatakan hal yang sama untuk integral tak‐tentu.

Teorema 4.3 (Kelinearan integral tak­tentu)      Misalkan fungsi    dan    mempunyai  antiturunan (integral tak­tentu) dan    adalah konstanta, maka   

i     

 

ii     

   

 

 

 

  Bukti. Kita akan membuktikan butir  i .     

 

 

 

            

Contoh 4.4    Carilah 

 | | 

 

| |

  , dengan 

 

       

 

       

 

 

 

 

 

,

 

        

 

 

 

.         

.  

. 

Penyelesaian. Kita tahu    Kita tuliskan  | |

 

 

   

 

.

. Selanjutnya,   

 | |  

     

         Kelinearan integral tak  

 | |

  .             

  tentu

  

Contoh 4.5 Carilah 

 

  . 

Penyelesaian. 

 

  

 

 

 

sin  

   

  sin            Kelinearan integral tak

 

       

 

       

       

 

 sin            Kelinearan integral tak

 cos

cos

.       

tentu

tentu

Teorema 4.4 (Aturan pangkat yang diperumum)      Misalkan    adalah fungsi yang  terdiferensialkan dan    adalah bilangan rasional dan  . Maka   

 

 

 

.             .  

 

Kunci  utama  untuk  memakai  Aturan  pangkat  yang  digeneralisasi  adalah  kita  harus  dapat  menentukan fungsi yang menjadi  . Contoh 4.6 Carilah 

 

 

. 

Penyelesaian.  Kita  akan  menggunakan  Aturan  pangkat  yang  digeneralisasi.  Misalkan  sin , sehingga  cos , maka       

 

 

 

 sin cos  

 

sin

 

.    

 

Aturan  pangkat  yang  digeneralisasi  merupakan  generalisasi  Aturan  pangkat.  Untuk  lebih  memudahkan  melihat  kebenaran  pernyatan  tersebut,  kita  misalkan  ,  sehingga    . Selanjutnya, persamaan  .  dapat ditulis menjadi       

,

yang merupakan Aturan pangkat dengan    sebagai peubah.

Contoh 4.7 Carilah 

 

 

 

. 

sin , maka 

Penyelesaian. Misalkan 

 cos  

 

sin

                

  

cos  

 

sin

 

. Selanjutnya, 

 

 

.          

Persamaan  diferensial  adalah  persamaan  yang  tidak‐diketahuinya  the  unknown   adalah  fungsi  dan  melibatkan  turunan  dari  fungsi  yang  tidak‐diketahui  tersebut.  Suatu  fungsi  disebut  solusi  dari  persamaan  diferensial  jika  fungsi  ini  disubstitusi  ke  dalam  persamaan diferensialnya, maka persamaan tersebut menjadi benar. Ada  banyak  jenis  persamaan  diferensial.  Di  sini,  kita  akan  meninjau  persamaan  diferensial  orde‐satu  yang  dapat  dipisah,  maksudnya  persamaan  ini  melibatkan  hanya  turunan pertama dari fungsi yang tidak‐diketahui dan peubahnya dapat dipisahkan. Secara  umum persamaan diferensial ini mempunyai bentuk      .              

 

.  

Persamaan diferensial dengan bentuk seperti persamaan  .  dapat ditulis sebagai    .               .   Fungsi    yang  memenuhinya  dapat  dicari  dengan  cara  mengintegralkan  kedua  ruas  persamaan  . . Contoh  4.8  Buktikanlah  bahwa 

, 

cos

sehingga 

  adalah  solusi 

. 

persamaan diferensial  Penyelesaian.  Untuk 

,  dan 

sin

sin

,  kita  tahu  bahwa 

.  Sedangkan  untuk 

.      ‹   

cos .  Selanjutnya, 

,  kita  dapatkan 

Contoh  4.9  Tentukanlah  persamaan  kurva  di  bidang    yang  melalui  titik  kemiringannya di tiap titik adalah sepertiga akar ordinatnya!  Penyelesaian.  Misalkan  dan 

 

 

 

√

. Selanjutnya,     

 

  adalah  persamaan  kurva  yang  dicari.  Diketahui     

 

, 

,   dan   

  Karena 

  ,  maka  kita  dapatkan  .        ‹

.  Jadi  persamaan  kurva  yang  dicari  adalah 

Contoh  4.10  Dari  ketinggian  berapa  dari  permukaan  bumi  suatu  bola  harus  dilepas  agar  mencapai  permukaan  bumi  dengan  kecepatan  ­50  m/s?  Percepatan  gravitasi  bumi  dimisalkan ­10 m/s2.  Penyelesaian.  Misalkan    adalah  ketinggian  bola  dari  permukaan  bumi  pada  saat  ,  dengan    adalah  waktu  ketika  bola  dilepas.  Percepatan  jatuhnya  bola  mengikuti  percepatan  gravitasi  bumi,  sehingga    ,  dan  kecepatan  bola  pada  saat    ditentukan  oleh        .  Karena  bola  dilepas  bukan  dilempar ,  maka  kecepatan  awal  bola  adalah    m/s  .  Akibatnya,  .  Dari    ,  kita  tahu  bola  tersebut  menyentuh  tanah  pada  saat  .  Selanjutnya,              .  Karena  ,  maka  .  Jadi  ketinggian  awal bola adalah   m.      ‹ Contoh  4.11  Populasi  badak  di  suatu  cagar  alam  bertumbuh  dengan  laju  sebanding  akar  kubik  besar  populasinya.  Jika  pada  tahun  1980  terdapat  100  badak  di  cagar  alam  tersebut  dan menjadi 120 badak pada tahun 1990, pada tahun berapa populasi badak di cagar alam  tersebut mencapai 140 ekor? Diasumsikan tidak ada kematian badak sejak tahun 1980.  Penyelesaian. Pertama‐tama kita buat acuan waktu    tahun berkorespondensi dengan  tahun   dan kita misalkan    adalah besar populasi badak pada saat    tahun. Dari  , dan  . Parameter    menyatakan laju    √ ,  soal, kita tahu  pertumbuhan populasi badak per kapita. Selanjutnya,   

Dari  ‹   

√

 

 

 

 

,

√

 

  ,  kita  dapatkan 

√

 

 √

 √

   

  √

 

/

.

.  Lalu  dari 

,  kita  dapatkan 

. Selanjutnya kita cari    yang memenuhi  . )ni dipenuhi untuk  . Jadi pada tahun  , populasi badak di cagar alam tersebut menjadi   ekor. 

Latihan 4.1 Buku Latihan subbab 4.1.  Bahan pendalaman.    1. Subbab  .  dan  .  dari  Kalkulus, Jilid  , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed.  ,  Penerbit Erlangga, Jakarta,  . 2. Subbab  .  dan  .  dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon,   ed., Pearson  Education )nternational, New Jersey,  .     

4.2. Luas dan jumlah Riemann 

  Dalam  bagian  ini  kita  akan  mempelajari  jumlah  Riemann.  Jumlah  Riemann  ini  berkaitan  dengan  luas  aproksimasi  dari  daerah  antara  kurva  dan  sumbu    dan  menjadi  konsep dasar untuk integral tentu pada subbab  . . Untuk  memudahkan  penulisan  jumlah  Riemann,  akan  diperkenalkan  notasi  sigma  ∑   .  Jumlah      suku  riil    dapat  ditulis  secara  ringkas  sebagai  ∑   .  Jumlah          dapat  ditulis  secara  ringkas  menjadi  ∑      . Perhatian. )ndeks dalam jumlah merupakan indeks boneka  dummy index , sehingga  ∑   ∑   ∑     . Teorema 4.5 (Kelinearan jumlah)    Jika    adalah konstanta, maka 

 

i     

 

    

 

 

ii     

  Rumus 4.1    Beberapa rumus jumlah yang penting:   

 

 

 

 

 

i     

ii      iii     

 

  

  

   

  .

 

 

iv     

 

Contoh 4.12 Tentukanlah  ∑

  

 

 

          

Contoh 4.13 Hitunglah  ∑

, jika  ∑

  

Penyelesaian.   

 

 

 

.

.

 

  

  dan  ∑

  

  

. 

            Teorema  . .

.         Rumus  .

        

.   

Penyelesaian. 

 

  

.

 

           

.          

Maple dapat dipakai untuk menyederhanakan jumlah. Untuk mendefinisikan suatu  jumlah dalam Maple, kita menggunakan perintah sum pola,iterasi .

Contoh  4.14  Kita  tinjau  jumlah  ∑ berikut t  := sum i   , i= ..n ; simplify t ; factor t ; kita dapatkan  ∑  

 

.  Dengan  masukan  sebagai 

 

 

.             

Misalkan  kita  ingin  mencari  luas  daerah    yang  dibatasi  kurva  ,  sumbu‐ ,  sumbu‐ ,  dan  garis    lihat  Gambar  .   A .  Luas  daerah  tersebut  dapat  diaproksimasi dengan bantuan persegi panjang.     

  

  

 

 

  Gambar  . : A : Daerah    yang dibatasi kurva  , sumbu‐ , sumbu‐ ,  dan garis  . B, C, dan D : Daerah    diaproksimasi berturut‐turut dengan persegi  panjang kanan, kiri dan tengah.    Mula‐mula kita bentuk partisi    dari interval  ,   menjadi    subinterval  lebar  tiap  subinterval  tidak  harus  sama,  namun  untuk  memudahkan  perhitungan  lebar,  tiap  subinterval  dipilih  sama .  Lalu  kita  konstruksi    persegi  panjang  tegak.  Makin  banyak  persegi panjang yang digunakan    makin besar , tentulah hasil yang didapat akan makin  mendekati luas yang sebenarnya. Berdasarkan  jenis  perpotongan  persegi  panjang  tersebut  dengan  kurva  yang  diberikan, ada   pendekatan persegi panjang, yaitu:    1. persegi  panjang  kiri,  yaitu  titik  sudut  kiri  atas  masing‐masing  persegi  panjang  menyinggung kurva, lihat Gambar  .   C 2. persegi panjang kanan, yaitu titik sudut kanan atas masing‐masing persegi panjang  menyinggung kurva, lihat Gambar  .   B   3. persegi  panjang  tengah,  yaitu  titik tengah  sisi  atas  masing‐masing  persegi  panjang  memotong kurva, lihat Gambar  .   D .    Untuk  suatu  daerah  yang  sama,  umumnya  ketiga  pendekatan  tersebut  menghasilkan tinggi persegi panjang yang berbeda walaupun subintervalnya sama.

, sumbu­ ,  Contoh  4.15  Aproksimasikanlah luas daerah    yang dibatasi kurva  sumbu­ ,  dan  garis    dengan  menggunakan  5  persegi  panjang  kiri.  Kemudian  dengan  menggunakan    persegi panjang kiri, hitunglah luas daerah    sesungguhnya. 

Penyelesaian. Mula‐mula bagilah interval  ,   menjadi   subinterval sama panjang, yaitu  , . Perhatikan Gambar  .  berikut ini.

 

 

  Gambar  . : Daerah 

                

 

  

  diaproksimasi dengan   persegi panjang kiri.                                   ,      ,      ,      ,           ,      ,      ,      ,         ,     ,      ,      ,      ,         Tabel  .  : Tabel luas   persegi panjang kiri 

   Dengan menggunakan program spreadsheet Excell kita dapat memperoleh Tabel  . .  Besaran    menyatakan  luas  persegi  panjang    yang  merupakan  hasil  kali  panjang    dan  lebar  .  Dari  tabel  tersebut  kita  dapatkan  luas  aproksimasi  daerah    ∑   dengan menggunakan   persegi panjang adalah  , .  Cobalah untuk  , , apa yang dapat disimpulkan? Gambar  dan  hasil  di  atas  dapat  diperoleh  dengan  menggunakan  Mapple.  Perintahnya adalah sebagai berikut. with student ; f := x   + ; leftbox f, x= .. ,  ; kiri := leftsum f, x= .. ,  ; value kiri ;

Jika kita menggunakan    persegi panjang kiri dalam mengaproksimasi daerah  ,  maka  . Panjang masing‐masing persegi panjang kiri    dapat dilihat pada Tabel    . .                                  /              /n      /n                      /     /   /      Tabel  .  : Tabel luas    persegi panjang kiri    

  Luas  daerah  sebagai berikut.     

 

 

 

 

 

 

 

  yang  diaproksimasi  dengan     

  persegi  panjang  kiri  adalah 

 

     

   

 

           Teorema

 

 

         Rumus  

 

.

Luas  daerah    yang  sesungguhnya  didapat  jika  banyaknya  persegi  panjang  yang  digunakan tak hingga  ∞ , yaitu       

 

lim

lim

 

 

 

 

.

(asil ini dapat diperiksa dengan menggunakan perintah Maple sebagai berikut. kiri := leftsum f, x= .. , n ; value kiri ; limit value kiri , n=infinity ;

Jadi luas daerah 

  sesungguhnya adalah 

  satuan luas.      ‹     

Contoh  4.16    Aproksimasilah  luas  daerah    yang  dibatasi  kurva  ,  sumbu­ ,  sumbu­ ,  dan  garis    dengan  menggunakan  5  persegi  panjang  kanan.  Kemudian  dengan menggunakan    persegi panjang kanan, h...