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Balance de energía en sistemas abiertos

5. PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA EN SISTEMAS ABIERTOS Ecuaciones de balance Para cualquier cantidad contable susceptible de ser transportada, puede escribirse un esquema matemático de contabilidad conocido como ecuación de balance. Es así como pueden desarrollarse ecuaciones de balance para la masa, la energía y la entropía. 5.1 Volumen de control El concepto clave para el desarrollo de ecuaciones de balance es el de un volumen de control, esto es, un volumen arbitrario dentro del espacio tridimensional identificado para su análisis. Este volumen está encerrado por una superficie de control, la cual puede ser material o imaginaria. El volumen de control puede ser cerrado o abierto para el transporte de materia; puede expandirse o contraerse; y, en el caso más general, puede moverse o girar en el espacio. El contenido del volumen de control constituye el sistema, y la parte local fuera de las fronteras que interactúa con el sistema es la que forma el entorno. El volumen de control puede tener cualquier forma y número de entradas y salidas.

5.2. Ley de conservación de masa Ley de la conservación de la masa para un sistema cerrado En un sistema cerrado la cantidad de masa dentro del sistema permanece constante. Ley de la conservación de la masa para un sistema abierto (ecuación de continuidad) Considere un volumen de control donde un fluido entra por un área A1 y sale por un área A2, como se muestra en la figura 5.1. El principio de la conservación de la masa requiere que: 𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑎𝑙 𝑉𝐶 𝑑𝑒𝑙 𝑉𝐶 { }−{ } = { 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑉𝐶 } ∆𝑚𝑣𝑐 𝑚1 𝑚2 Matemáticamente expresado en la siguiente forma:

𝒎󰇗𝟏 − 𝒎󰇗𝟐 = 𝒎𝑽𝑪 1

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Superficie de control Volumen de control

Figura 5.1 Volumen de control para el balance de masa La masa que cruza un área A en un intervalo de tiempo t puede ser expresado como Avt, donde vt es la distancia que las partículas de masa se mueven y Avt es el volumen de las partículas. Si suponemos que la velocidad y la densidad son uniformes en las dos áreas y dividimos entre t y suponemos t0, obtenemos: 𝒅𝒎𝑽𝑪 = 𝝆𝟏 𝑨𝟏 𝒗𝟏 − 𝝆𝟐 𝑨𝟐 𝒗𝟐 𝒅𝒕

En el estado estacionario, en el cual la masa en el volumen de control permanece constante: 𝒅𝒎𝑽𝑪 =𝟎 𝒅𝒕

la ecuación en estado estacionario, se reduce a:

𝝆𝟏 𝑨𝟏 𝒗𝟏 = 𝝆𝟐 𝑨𝟐 𝒗𝟐

La cantidad de masa que ingresa al volumen de control se denomina flujo másico y tiene unidades de kg/s en el S.I. Y está dado por la siguiente ecuación: 𝒎󰇗 = 𝝆𝑨𝒗

El flujo volumétrico cuyas unidades son m3/s es:

𝑽󰇗 = 𝒗𝑨

𝒎󰇗 = 𝝆𝑽󰇗 2

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5.3 Balances de energía en sistemas abiertos. Considerando nuevamente el volumen de control (figura 5.2), la primera ley de la termodinámica para dicho volumen de control se puede establecer: 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 {𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑉𝐶 } + {𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑉𝐶 } − { 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑉𝐶 𝐸1

𝑄−𝑊

𝐸2

𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 } } = { 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑉𝐶 ∆𝐸𝑉𝐶

Superficie de control

Figura 5.2 Volumen de control para el balance de energía.

La primera ley de la termodinámica para el volumen de control de la figura 5.2 es: 𝒅𝑬𝑪𝑽 𝒅𝒕

𝒗 𝒗 = 𝒎󰇗 𝟏 ( 𝟐𝟏 + 𝒈𝒛𝟏 + 𝒉𝟏 ) − 𝒎𝟐󰇗 ( 𝟐𝟐 + 𝒈𝒛𝟐 + 𝒉𝟐 ) + 𝑸󰇗 − 𝑾󰇗 𝒔 𝟐

𝟐

La ecuación anterior describe la acumulación de energía en el volumen de control, con respecto al tiempo, incluye los términos de la energía cinética (velocidad), la energía potencial (altura), la entalpía y las interacciones de calor y trabajo de eje. En estado estacionario:

𝒅𝑬𝑪𝑽 =𝟎 𝒅𝒕

𝒚

𝒅𝒎𝑪𝑽 =𝟎 𝒅𝒕

∴

𝒎󰇗 𝟏 = 𝒎󰇗 𝟐 = 𝒎󰇗

Por lo tanto, la ecuación anterior se puede escribir de la siguiente manera: 𝟎 = 𝒎󰇗 [(

𝒗𝟏𝟐 − 𝒗𝟐𝟐 ) + 𝒈(𝒛𝟏 − 𝒛𝟐) + (𝒉𝟏 − 𝒉𝟐)] + 𝑸󰇗 − 𝑾𝒔󰇗 𝟐

De la ecuación anterior se puede calcular cualquier término que se requiera, conociendo el resto de las variables. 3

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A continuación se presentan los balances de energía para los siguientes equipos utilizados en ingeniería: Evaporador

Condensador

El balance de energía en el evaporador es:

El balance de energía en el condensador es:

𝑸󰇗𝒆𝒗𝒂𝒑𝒐𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 = 𝒎󰇗 (𝒉𝟐 − 𝒉𝟏 )

Turbina

𝑾󰇗𝒔 = 𝟎

El balance de energía en la turbina es: 𝑾󰇗𝒕𝒖𝒓𝒃𝒊𝒏𝒂 = 𝒎󰇗 (𝒉𝟏 − 𝒉𝟐 )

𝑸󰇗𝒄𝒐𝒏𝒅𝒆𝒏𝒔𝒂𝒅𝒐𝒓 = 𝒎󰇗 (𝒉𝟏 − 𝒉𝟐 )

Compresor de gas

𝑾󰇗𝒔 = 𝟎

El balance de energía en compresor:

𝑾󰇗𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒐𝒓 = 𝒎󰇗 (𝒉𝟐 − 𝒉𝟏 )

Las entalpías se obtienen de tablas de propiedades termodinámicas, dependiendo de las sustancias que se utilicen en cada equipo. Es importante saber cómo calcular las entalpías en función de la presión y/o la temperatura, dependiendo de la fase de la sustancia en cada estado termodinámico.

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