Übersicht über Wahrscheinlichkeitsverteilungen PDF

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Zusammenfassung zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen...

Description

Diskrete Verteilungen Verteilung Gleichverteilung bzw. Laplaceverteilung ® Laplace (M) Binomialverteilung ® B(n,p) E(X)= n*p V(X)= n*p*(1-p)

Parameter

Zähldichte

Stichwort

Endliche Menge M

• •

Endliche Menge Gleiche Wahrscheinlichkeit

n= Wiederholungsanzahl des Versuchs (n ∈ N) p= Ausgang des Versuchs (p ∈ (0, 1))

•

Zufallsexperiment mit 2 Möglichkeiten (Erfolg/Misserfolg) Unabhängig voneinander Anzahl der Treffer bei nVersuchen

• • • •

Geometrische Verteilung ® Geom(p)

Hypergeometrische Verteilung ® H(n, N, R)

Poissonverteilung ® Pois(λ)

p= konstante Erfolgswahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1)

n = Anzahl zu ziehender Kugeln (n ∈ {1, . . . , N}) N = Anzahl gesamter Kugeln (N ∈ N) R = Anzahl "gewollter” Kugeln Trefferrate/durchschnittliche Rate = Lambda (λ)

• •

Wartezeitverteilung Verteilung der Anzahl der Fehlversuche vor dem ersten Erfolg Erfolg/Misserfolg Beliebig viele (bis zum Erfolg) unabhängige Wiederholungen des Zufallsexperiments

•

Verteilung anz. Roter Kugeln (r) und Schwarzer Kugeln (N-r) Wie wahrscheinlich ist es, r rote Kugeln zu ziehen? Urne ohne Zurücklegen

• •

Unabhängig Ereignisse bzgl. Zeit Konstante Rate

• •

λ =n*p (λ ∈ (0,∞)

•

Anzahl von Ereignissen innerhalb eines räuml. Oder zeitl. Intervalls

Stetige Verteilungen Parameter

Verteilung Gleichverteilung (auf dem Intervall [a, b])

Zähldichte • •

a = untere Grenze b = obere Grenze

•

® R(a, b) bzw. U[a,b] Gleichverteilung (auf M ⊂ R2) ® UM

• M ⊂ R2 mit 0 < λ2 (M) < ∞

•

Gammaverteilung ® Γ(α, β)

θ θ>0

α β

Alle möglichen Ausgänge sind gleichwahrscheinlich Wenn man etwas als Fläche darstellen kann

Stetige Wartezeit / Konstante Rate • Wartezeit zwischen dem Eintreten zweier Ereignisse • Lebensdauer, Wartezeit, stetiges Analogon der geometrischen Verteilung • Verallgemeinerung der Exponentialverteilung •

Exponentialverteilung ® Exp(θ)

Stichwort Rein zufällig Entspricht vom Prinzip der Laplace-Verteilung Alle möglichen Ausgänge gleichwahrscheinlich

Normalverteilung

α, β > 0 µ = Durchschnitt (Mittelwert) σ2 =Standardabweichung (Streuung) ɸ = Tabellierte Werte

® N (µ, σ2 ) µ ∈ R, σ2 > 0

• Spezialfall N(0,1) Standardnormalverteilung

Zufallsvariablen sind normalverteilt, wenn sie eine Überlagerung vieler kleiner unabhängiger Zufallsvariablen sind...