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Elementi di topologia in lR - B. Di Bella

Elementi di topologia in lR Teorema di Bolzano - Weierstrass Sia X ⊆ lR un insieme limitato e dotato di infiniti punti. Allora esiste almeno un punto di accumulazione per X. Dimostrazione - La dimostrazione consta di due parti: nella prima parte determiniamo un punto candidato ad essere punto di accumulazione per X , nella seconda parte proveremo che tale punto `e quello richiesto dalla tesi. Poich`e X `e limitato, inf X e sup X sono numeri reali. Poniamo a = inf X

e b = sup X .

Dividiamo l’intervallo [a, b] a met`a. Dato che X ha infiniti punti, almeno una delle due met`a di [a, b] conterr` a infiniti punti di X. Indichiamo [a1 , b1 ] tale intervallo. Osserviamo che a ≤ a 1 < b1 ≤ b e b1 − a 1 =

b−a . 2

Suddividiamo, in modo analogo, [a1 , b1 ] e chiamiamo [a2 , b2 ] la met`a che contiene infiniti punti di X; risulta a ≤ a 1 ≤ a 2 < b2 ≤ b1 ≤ b e b2 − a 2 =

b−a b1 − a 1 = 2 . 2 2

Cos`ı procedendo, dopo n iterazioni, otteniamo una famiglia di intervalli {[an , bn ]} tali che [an+1, bn+1] ⊆ [an , bn ],

b n − an =

b−a ∀n ∈ IN 2n

e inoltre a n < bm ,

∀n, m ∈ IN .

(1)

Posto A := {an , n ∈ IN} e B := {bn , n ∈ IN} , tali insiemi sono limitati in lR perch`e contenuti in [a, b], quindi, per la propriet` a di completezza, esistono sup A e inf B e si ha da (1) sup A ≤ inf B .

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Corso di Analisi Matematica per Ingegneria Elettronica e Informatica

Inoltre

b−a . 2n b − a1 b−a Fissato ε > 0, scegliamo n > log2 . Da ci`o segue < ε e quindi ε 2n 0 ≤ inf B − sup A ≤ bn − an =

0 ≤ inf B − sup A < ε , ovvero sup A = inf B . Posto x := sup A = inf B, resta da provare che x `e punto di accumulazione per X, cio`e ∀ε > 0 I(x, ε) ∩ X \ {x} =  ∅. Per costruzione, x ∈ [an , bn ], ∀n ∈ IN. Inoltre, come prima, per ogni ε > 0 esiste n ¯ tale che b−a bn¯ − an¯ = n¯ < ε . 2 Pertanto [an¯ , bn¯ ] ⊆ I(x, ε) e quindi anche I(x, ε) contiene infiniti punti di X .

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Esite per la Propriet`a di Archimede: ∀ x > 0, y > 0 ∃ n ∈ IN : nx ≥ y....