Ejercicios de límites de funciones, continuidad y teorema de Bolzano 2 PDF

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Tema 1. Límites de funciones. Continuidad

Matemáticas II 1.

Resolver, paso a paso y de forma razonada, cada uno de los siguientes límites de funciones: (a) (d)

𝑙𝑖𝑚

𝑥→−2

𝑥2 − 4 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 5𝑥 + 10

𝑙𝑖𝑚 (

𝑥→+∞

(g) 𝑙𝑖𝑚 ( 𝑥→2

4𝑥 − 2 2𝑥−1 ) 3𝑥 2

𝑥−2

−

2𝑥 ) 2 𝑥 −4

3𝑥 𝑥→+∞ 8𝑥 2 + 5 3𝑥 (m) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑙𝑜𝑔(8𝑥 2 + 5) (j)

2.

3. 4.

5.

6.

7.

8. 9.

𝑙𝑖𝑚

(b) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3

(e) (h)

√𝑥 + 6 − 3

4 − √𝑥 + 13

𝑙𝑖𝑚 (

𝑥→+∞

𝑙𝑖𝑚 (

𝑥→+∞

𝑥2 + 𝑥 − 1 ) 𝑥2 + 2

3𝑥−1

𝑥2 + 𝑥 + 1 ) 2𝑥 2 + 3

2𝑥+1

√𝑥 8 + 3 𝑥→+∞ 8𝑥 2 + 5 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 (n) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ √𝑥 (k)

𝑙𝑖𝑚

𝑙𝑖𝑚 ( 𝑥→0

(c)

1 𝑥2 + 3 − ) 𝑥3 𝑥

𝑙𝑖𝑚 (

𝑥→+∞

(f)

𝑥 − 1 𝑥+2 ) 𝑥+3

𝑙𝑖𝑚 ( 𝑥→2

(i)

𝑥2

3

− 5𝑥 + 6

𝑙𝑜𝑔(𝑥 2 + 8) 𝑥→+∞ 8𝑥 2 + 5 𝑙𝑖𝑚

(l) (ñ)

−

4 ) 𝑥−2

5𝑥+4 − 3𝑥−1 𝑥→+∞ 22𝑥 + 53𝑥−2 𝑙𝑖𝑚

1

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones, clasificando sus posibles discontinuidades: |𝑥 + 2| 𝑠𝑖 𝑥 < −1 𝑥2 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 (𝑎) 𝑓(𝑥) = {1 − 𝑥2 (𝑏) 𝑔(𝑥) = { 𝑥 2 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 1 cos 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0 2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 > 1 Determinar el valor de a para que se cumpla que 𝑙𝑖𝑚 (√𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 1 − 𝑥) = 2. 𝑥→+∞

Determinar cuánto han de valer 𝑎 y 𝑏 para que la siguiente función sea continua en ℝ: −𝑥 2 + 𝑎 𝑠𝑖 𝑥 < −1 𝑓(𝑥) = { 𝑥 2 − 4 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 2 𝑙𝑛(𝑥 − 𝑏) 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2

Calcular el límite cuando 𝑥 ⟶ +∞ y cuando 𝑥 ⟶ −∞ de la función 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3| − |𝑥|, definiéndola previamente por intervalos. Calcular los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la siguiente función sea continua y su gráfica pase por el origen de 𝑙𝑛 𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 > 1 coordenadas: 𝑓(𝑥) = { 2 2𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1

Comprobar que la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 2 corta al eje OX en algún punto del intervalo (0,2). ¿Se puede

decir lo mismo de la función 𝑔(𝑥) =

2𝑥−3 𝑥−1

?

Comprobar que existe un valor del intervalo (−𝜋, 𝜋) tal que 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑥.

Demostrar que la ecuación 𝜋 𝑥 = 𝑒 tiene una solución en el intervalo (0,1).

10. ¿Se puede asegurar que la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 3 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (2) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥 2 ) corta al eje de abscisas en algún 𝑥

punto del intervalo (0, 𝜋 )?

2𝑥 4 − 14𝑥 2 + 14𝑥 − 1 = 0. Buscar los intervalos entre -4 y 3, comprobar que 𝑃(1,5) < 0 y tenerlo en cuenta.

11. Encontrar cuatro intervalos distintos en cada uno de los cuales tenga una raíz la siguiente ecuación: 12. Comprobar si la siguiente función es continua en 𝑥 = 1 y calcular el valor de a para que sea continua en 𝑥 =

.

1

2

𝑎𝑥+3

𝑓(𝑥) = {

2𝑥 − 1 √ 𝑥 + 15

√𝑥 + 3 − 2 𝑥−1

𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 <

𝑠𝑖

1 2

1 ≤𝑥≤1 2

𝑠𝑖 𝑥 > 1

2º Bachillerato de Ciencias

SOLUCIONES 1. (a)

−4 9

(b)

(d) +∞

(e)

𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) (g) ∄ 𝑋⟶0 (j)

+∞

(m) +∞

2.

3. 4. 5. 6. 7.

8.

9.

−4 3 𝑒3

(c) (f)

(h) 0

(i)

(k)

(l)

+∞

(n) 0

∄ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) 𝑋⟶0

𝑒 −4

∄ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) 0

𝑋⟶0

(ñ) 0

(𝑎) 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 ℝ − {−1}; 𝑥 = −1 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 1ª 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑣𝑖𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 (𝑏) 𝑔 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 ℝ − {1}; 𝑥 = 1 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 1ª 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑣𝑖𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 2

𝑎=4

𝑎 = −2, 𝑏 = 1

lim 𝑓(𝑥) = 3;

𝑋⟶−∞

𝑎 = −3, 𝑏 = 0

lim 𝑓(𝑥) = −3

𝑋⟶+∞

- Se comprueba con el teorema de Bolzano ya que f es continua en [0,2], f(0)>0 y f(2) 0 𝑦 𝑓(𝜋) < 0.

Se demuestra utilizando el teorema de Bolzano, considerando la función 𝑓(𝑥) = 𝜋 𝑥 − 𝑒 , la cual es continua en [0,1], 𝑓(0) < 0 𝑦 𝑓 (1) > 0.

10. Sí. Se comprueba utilizando el teorema de Bolzano ya que 𝑓 es continua en [0, 𝜋], 𝑓(0) < 0 𝑦 𝑓(𝜋) > 0.

11. Utilizando el teorema de Bolzano. Intervalos: (−4, −3), (−3,1), (1, 1′5), (1′ 5,3) 1

12. - Sí, f continua en x=1

- f continua en 𝑥 = ⟺ 𝑎 = −6 2

Matemáticas II

Tema 1. Límites de funciones. Continuidad

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