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´ Ultima actualizaci´ on: 27 de octubre de 2020

C´ alculo diferencial e integral IV Ayudant´ıa 07 Ejercicio 1. Sea f : A ⊂ R2 −→ R con A un conjunto abierto. Utilice el Teorema de Fubini para ∂2f ∂2f y ∂y∂x son continuas en A, entonces demostrar que si ∂x∂y ∂2f ∂2f (u, v) (u, v) = ∂y∂x ∂x∂y para toda (u, v) ∈ A. Demostraci´ on. Procedemos por contradicci´on. Supongamos que existe u0 = (u0 , v0 ) ∈ A tal que ∂2f ∂2f (u) = 6 (u). Sin p´erdida de generalidad, supongamos que ∂x∂y ∂y∂x ∂2f ∂2f (u0 ) > (u0 ), ∂x∂y ∂y∂x es decir, supongamos que

2

∂2f ∂2f (u0 ) > 0. (u0 ) − ∂y∂x ∂x∂y

2

∂ f ∂ f Como ∂x∂y y ∂y∂x son continuas en A y A es un conjunto abierto, entonces existe r > 0 tal que Br (u0 ) ⊂ A y si (x, y) ∈ Br (u0 ) entonces

∂2f ∂2f (x, y) − (x, y ) > 0. ∂x∂y ∂y∂x Ahora, existe R = [a, b] × [c, d] ⊂ R2 tal que R ⊂ Br (u0 ). Por lo tanto, para todo (x, y) ∈ R se tiene que ∂2f ∂2f (x, y ) > 0. (x, y) − ∂y∂x ∂x∂y 2

2

∂ f ∂ f Ya que ∂x∂y y ∂y∂x son continuas en A y R ⊂ A, entonces tambi´en son continuas en R. Por lo tanto, g : R ⊂ R2 −→ R definida por  2  ∂ f ∂2f g(x, y) = − (x, y) ∂x∂y ∂y∂x

es una funci´on continua sobre R y, por el Teorema 5 de la Clase 04, g es integrable sobre R. Adem´as, como g(x, y) > 0 para todo (x, y) ∈ R, por la Proposici´ on 7 de la Clase 05, se sigue que Z g > 0.

(1)

R

Por otro lado, por el Teorema Fundamental del C´alculo (¿recuerda qu´e dice dicho teorema?), ∂2f como ∂x∂y es continua, si y es constante, obtenemos que Z

a

b

b  ∂2f ∂f ∂f ∂f (a, y ). (x, y)  = (x, y) dx = (b, y) − ∂y ∂y ∂y ∂x∂y a 1

2

∂ f A partir de lo anterior, como ∂x∂y es una funci´on continua sobre R, por el Teorema de Fubini (ver Corolario 2 de la Clase 14) se tiene que

Z

R

d Z b

 ∂2f (x, y) dx dy a ∂x∂y c  Z d ∂f ∂f = (b, y) − (a, y) dy ∂y ∂y c d  = (f (b, y) − f (a, y))

∂2f = ∂x∂y

Z

(2)

c

= f (b, d) − f (a, d) − f (b, c) + f (a, c),

(3)

donde (2) tambi´en se obtiene por el Teorema Fundamental del C´alculo. De manera an´aloga, cuando x es constante, Z

c

Luego, como

∂2f ∂y∂x

d

d  ∂2f ∂f ∂f ∂f (x, y) = (x, d) − (x, c). (x, y) dy = ∂x ∂x ∂y∂x ∂x c

es continua sobre R, nuevamente por el Teorema de Fubini obtenemos que Z

R

Z b Z

 ∂2f (x, y) dy dx a c ∂y∂x  Z b ∂f ∂f = (x, c) dx (x, d) − ∂x ∂x a  b = (f (x, d) − f (x, c))

∂2f = ∂y∂x

d

(4)

a

= f (b, d) − f (b, c) − f (a, d) + f (a, c), donde (4) tambi´en se cumple por el Teorema Fundamental del C´alculo. Finalmente, a partir de (3) y (5) se obtiene que  Z  2 Z ∂ f ∂2f g= − ∂y∂x R ∂x∂y R Z Z 2 ∂2f ∂ f = − R ∂x∂y R ∂y∂x = f (b, d) − f (a, d) − f (b, c) + f (a, c) − (f (b, d) − f (b, c) − f (a, d ) + f (a, c)) =0 pero esto contradice (1). Por lo tanto, ∂2f ∂2f (u, v) (u, v) = ∂y∂x ∂x∂y para toda (u, v) ∈ A. Esto termina la prueba.

2

(5)

Ejercicio 2. Sean fi : [ai , bi ] ⊂ R −→ R, con i = 1, . . . , n, funciones continuas. Si definimos f : R = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] ⊂ Rn −→ R definida por f (x1 , . . . , xn ) = f1 (x1 ) · · · fn (xn ), pruebe que f es integrable sobre R y adem´ as   Z bn Z b1 Z f1 (x1 ) dx1 · · · f= fn (xn ) dxn . R

an

a1

Demostraci´ on. Para cada i ∈ {1, . . . , n} denotemos pi : R ⊂ Rn −→ R la i-´esima funci´on proyecci´on dada por pi (x1 , . . . , xn ) = xi . Luego, si x = (x1 , . . . , xn ) ∈ R, para toda i se cumple que (fi ◦ pi ) (x) = fi (pi (x)) = fi (xi ), n

Denotemos gi : R ⊂ R −→ R dada por gi (x) = (fi ◦ pi ) (x), y entonces para toda x ∈ R se cumple que f (x) = f1 (x1 ) · · · fn (xn ) = g1 (x) · · · gn (x). Ya sabemos que pi es una funci´on continua en R, y como fi tambi´en es continua en [ai , bi ], entonces gi = fi ◦ pi es una funci´on continua en R. Luego, f es una funci´on continua en R porque es el producto de funciones continuas en R. As´ı, por el Teorema 5 de la Clase 04 obtenemos que f es integrable sobre R. Finalmente, la conclusi´on deseada se obtiene al aplicar el Teorema de Fubini (ver el Corolario 2 de la Clase 14): ! ! ! Z bn−1 Z bn  Z b1 Z b2 Z ··· f= f (x1 , . . . , xn ) dxn dxn−1 · · · dx2 dx1 a1

R

= = = .. . =

Z Z

a2

b1

Z

a1 b1

Z

a1

Z Z

b1 a1

b1

a1

an−1

b2

··· a2

an

Z

bn−1 Z

Z

bn−1

an−1

b2

···

bn an

(f1 (x1 ) · · · fn (xn )) dxn

(f1 (x1 ) · · · fn−1 (xn−1 ))

an−1

a2

Z

b2

a2

···

Z

Z



fn (xn ) dxn an

(f1 (x1 ) · · · fn−1 (xn−1 )) dxn−1 an−1

bn

an

···

bn

bn−1

 Z f1 (x1 ) dx1 · · ·

dxn−1

!

!

···

!



dx2

!

dx1

dxn−1

!

!

!

! Z

!

dx2

dx1

···

dx2

!

dx1

bn

fn (xn ) dxn

an

 fn (xn ) dxn .

En la prueba anterior, ¿cu´al fue el ´ultimo argumento que se us´o? Ejercicio 3. Sea f : R = [a, b] × [c, d] ⊂ R2 −→ R con derivadas parciales continuas. Definimos F : R = [a, b] × [c, d] ⊂ R2 −→ R mediante Z F (x, y) = f [a,x]×[c,y]

para toda (x, y) ∈ [a, b] × [c, d]. Pruebe que F es de clase C 2 en int(R). Calcule todas las derivadas parciales hasta de orden dos de F . 3



Demostraci´ on. Como f tiene derivadas parciales continuas en R, entonces f es continua en R (¿recuerda este resultado?). Lo anterior implica que f es integrable sobre R. Esto ´ultimo implica quue f es integrable sobre cualquier subrect´angulo de R, por lo cual F est´a bien definida. Por el Teorema de Fubini (ver Corolario 2 de la Clase 14) se sigue que  Z Z x Z y F (x, y) = f= f (u, v) dv du. [a,x]×[c,y]

a

c

Sea (x, y) ∈ (a, b) × (c, d). Por el Teorema Fundamental del C´alculo obtenemos que Z y ∂F f (x, v) dv, (x, y) = ∂x c y al aplicar nuevamente el Teorema Fundamental del C´alculo se tiene que ∂2F (x, y ) = f (x, y ). ∂y∂x Tambi´en, al considerar el otro orden de integraci´on se obtiene que Z y Z x  Z f= F (x, y) = f (u, v) du dv, [a,x]×[c,y]

c

a

y de manera similar obtenemos que ∂F (x, y) = ∂y y tambi´en

Ahora, notamos que

y tambi´en

Z

x

f (u, y) du, a

∂2F = f (x, y ). ∂x∂y ∂2F ∂ (x, y) = ∂x ∂x2

Z

∂2F ∂ (x, y) = 2 ∂y ∂y

Z

y



=0



= 0,

f (x, v) dv c x

f (u, y) du a

por lo cual todas las derivadas parciales de orden 2 son continuas (pues f y la funci´on constante cero son continuas), de donde obtenemos que F es de clase C 2 . Todo lo anterior termina la prueba.

4...