Teorema de maxwell y teorema de betty PDF

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Un resumen corto de los teoremas de maxwell y el teorema de betty, utilizados en análisis...

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Teorema de maxwell de los desplazamientos recíprocos; Ley de betti Cuando maxwell desarrollo el método de análisis de fuerza, también publico el teorema que relaciona los coeficientes de flexibilidad de cualquiera de los puntos en una estructura elástica, ya sea una armadura, una viga o un marco. Este teorema se conoce como el teorema de los desplazamientos recíprocos y puede enunciarse como sigue: el desplazamiento de un punto B en una estructura debido a una carga unitaria que actúa en el punto A es igual al desplazamiento del punto A cuando la carga unitaria actúa en el punto B, es decir, f BA= f AB

La comprobacion de este teorema puede realizarse facilmente mediante el principio del trabajo virtual. Considere la viga de la figura 10-6. Cuando una carga unitaria real actúa en A, suponga que los momentos internos en la viga estan representados por m A . Para determinar el coeficiente de flexibilidad en B, es decir, f BA , se coloca una carga virtual unitaria en B, figura 10-7, y se calculan los momentos internos m B , entonces, al aplicar la ecuacion 9-18 se obtiene f BA=∫

mB m A dx EI

Del mismo modo, si debe determinarse el coeficiente la fexibilidad f AB cuando una carga unitaria real actúa en B, fugura 10-7, entonces m B representa los momentos internos en la viga debido a una carga unitaria real. Por otra parte, m A representa los momentos internos debidos a una carga unitaria virtual en A, figura 10- 6. Por lo tanto, f AB =∫

mA m B dx EI

Por supuesto, ambas integrales dan el mismo resultado, lo que demuestra el teorema, el cual también se aplica en las rotaciones recíprocas, y puede enunciarse como sigue: la rotación en el punto B de una estructura debida al momento de par unitario que actúa en el punto es igual a la rotación en el punto A, cuando el momento de par unitario actúa en el punto B, por otra parte, si se usa una fuerza unitaria y un momento concentrado unitario, aplicados en puntos separados de la estructura, también se puede establecer que: la rotación en radianes en el punto b de una estructura debida a una carga unitaria que actúa en la junta A es igual al desplazamiento en el punto A, cuando un momento concentrado unitario actúa en el punto B. Como consecuencia de este teorema, es posible ahorrarse algunos trabajos al aplicar el método de la fuerza a los problemas que son estáticamente indeterminados de segundo grado o de un grado superior. Por ejemplo, en las ecuaciones 10-1 sólo debe calcularse uno de los dos coeficientes de flexibilidad f BA o f AB , puesto que f BC=f CB . Por otra parte, el teorema de los desplazamientos recíprocos tiene aplicaciones en el análisis de modelos estructurales y en la construcción de líneas de influencia con el principio de MullerBreslau.

Cuando el teorema de los desplazamientos recíprocos se formaliza en un sentido más general, se conoce como la ley de betti. Dicho brevemente: el trabajo virtual δ U AB realizado por un sistema de fuerzas ∑ P B que experimentan un desplazamiento causado por un sistema de fuerzas ∑ P A es igual al trabajo virtual δ U BA causado por las fuerzas ∑ P A cuando la estructura se deforma debido al sistema de fuerzas de ∑ P B . En otras palabras δ U AB =δ U BA . La comprobación de este enunciado es similar a la dada anteriormente para el teorema de los desplazamientos recíprocos. 10.4 Método de análisis de la fuerza: Vigas El método de la fuerza aplicado a las vigas se describió de manera general en la sección 10.2. utilizando el “procedimiento de análisis” que también se vio en esa misma sección, se presentan ahora varios ejemplos que ilustran la aplicación de esta técnica. Procedimiento de análisis El siguiente procedimiento ofrece un método general para detreminar las reacciones o cargas internas de estructuras estáticamente indeterminadas utilizando el método de análisis de la fuerza o la flexibilidad. Principio de superposición Determine el número de grados n en que la estructura es indeterminada. Después, especifique las n fuerzas o los n momentos redundantes desconocidos que deben retirarse de la estructura para que sea estáticamente determinada y estable. Utilizando el principio de superposición, dibuje la estructura estáticamente indeterminada y muestre que es igual a una serie de estructuras estáticamente determinadas correspondientes. La estructura primaria soporta las mismas cargas externas que la estructura estáticamente indeterminada, y cada una de las estructuras que se añaden a la estructura primaria muestra la estructura cargada con una fuerza o momento redundante separado. También, trace la curva elástica en cada estructura e indique simbólicamente el desplazamiento o la rotación en el punto de cada fuerza o momento redundante.

Ecuaciones de compatibilidad Escriba una ecuación de compatibilidad para el desplazamiento o la rotación en cada punto donde haya una fuerza o momento redundante. Estas ecuaciones deben expresarse en términos de las redundantes desconocidas y sus correspondientes coeficientes de flexibilidad obtenidos de las cargas o momentos de par unitarios que son colineales con las fuerzas o momentos redundantes. Determine todas las deflexiones y todos los coeficientes de flexibilidad. Sustituya estas relaciones de carga- desplazamiento en las ecuaciones de compatibilidad y resuelva las redundantes desconocidas. En particular, si el valor numérico de una redundante es negativo, indica que la redundante actúa opuesta a su fuerza unitaria o momento unitario correspondiente. Ecuaciones de equilibrio Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la estructura. Como las fuerzas y/o momentos redundantes ya han sido calculados, las reacciones desconocidas restantes pueden determinarse a partir de las ecuaciones de equilibrio. Es necesario tener en cuenta que una vez que se hayan obtenido todas las reacciones en los soportes, es posible dibujar los diagramas de fuerza cortante y de momento, así como determinar la deformación en cualquier punto de la estructura mediante los mismos métodos descritos anteriormente para estructuras estáticamente determinadas.

Ejemplo 10.1 Determine la reacción en el soporte de rodillo B de la viga que se muestra en al figura 10-8ª. EI es constante.

Solución Principio de superposición. Por inspección, la viga es estáticamente indeterminada de primer grado. La redundante se tomará como By de modo que esta fuerza pueda determinarse directamente. En al figura 10-8b se muestra la aplicación del principio de superposición. Observe que la remoción de la redundante requiere que se retire el soporte de rodillo o la acción restrictiva de la viga en la direccion de By. Aquí se ha supuesto que By actúa hacia arriba sobre la viga. Ecuación de compatibilidad. Si se toma el desplazamiento positivo como dirigido hacia arriba, figura 10-8b, se tiene ( +↑ ) 0=−∆B + B y f BB

Los terminos ∆ B y f BB se obtienen facilmente usando la tabla de la portada interior. En particular, observe que ∆ B=∆C +θC (6 m) por lo tanto,

2

∆ B=

2

¿

()

P(L/2)2 P (L/2) L + 2 2 EI 3 EI

(50 kN )(6 m)3 (50 kN )(6 m ) 9000 kN ∙ m3 + ( 6 m )= ↓ 3 EI 2 EI EI

3

f BB=

PL 1(12)3 576 m 3 ↑ = = EI 3 EI 3 EI

Al sustituir estos resultados en la ecuación (1) resulta

( +↑ ) 0=

( )

−9000 576 +B y B y =15.6 kN EI EI

Si esta reaccion se coloca sobre el diagrama de cuerpo libre de la viga, las reacciones en A pueden obtenerse a partir de las tres ecuaciones de equilibrio, fugura 10-8c. Después de haber determinado todas las reacciones, puede construirse el diagrama de momento como se muestra en la figura 108d....