Teorema Fundamental de Compatibilidad PDF

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demostracion del teorema fundamental de la compatibilidad...

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Teorema Fundamental de Compatibilidad Si ~ es una relación de equivalencia compatible con la ley de composición interna

A

A ≠ Ø , entonces existe en el conjunto cociente

conjunto

¿ ' , tal que la aplicación canónica φ : A →

interna

¿ en A

propiedades de

se transfieren a

'

¿

A

una única ley de composición

es un homomorfismo. Además, las

A

en

¿ en el

.

Demostración: Tenemos el conjunto interna en A .

A={a , b , a∗b } ; a∗b ∈ A por ser

Para el conjunto cociente:

Para la aplicación canónica

A

¿ una ley de composición

={K 1 , K 2 , K 3 } .

φ: A→

A

:

φ ( a ) =K 1 , φ ( b )=K 2 , φ ( a∗b ) =K 3 ; como a∗b ∈ A

entonces φ ( a∗b ) ∈ A . Para

A

probar que ésta asignación sea una ley de composición interna en

c ∈ A ∧ d ∈ A , de forma que: φ ( c )=K 1 y φ ( d )=K 2 , pero

consideramos un

φ ( a ) =K 1 y φ( b )=K 2 ,

por tanto:

φ ( a ) =φ ( c ) y φ (b ) =φ(d ) , con esto tendremos que: a c , b d y a∗b c∗d ;c∗d ∈ A por ser ¿ ley de composición interna en A . Entonces por la aplicación canónica resulta: φ ( c∗ d ) =K 3 =φ(a∗b) , con esto se muestra que K 3 depende únicamente de K 1 y K 2 . Ahora necesitamos definir una ley de composición ¿' transfieran todas las propiedades de ¿ , entonces: '

¿:

A

×

A

→

en el conjunto cociente de manera que se

A

Ahora hacemos: '

K1¿ K2

A probar si

' ¿ φ ( a ) ¿ φ ( b)

Sustituyendo K 1 y K 2

'

¿' es ley de composición interna en por

A

.

φ ( a ) y φ ( b ) respectivamente.

¿ φ(a ¿ b)

Por definición de homomorfismo.

¿ φ(a∗b)

Por unicidad de la ley de composición * en A.

= K3

Sustituyendo φ(a∗b) por

K3 .

Lo anterior prueba que la aplicación canónica es un homomorfismo de A en

A

respecto de

¿ y ¿' .

Ahora probaremos que las propiedades de las leyes de composición se cumplen en Unicidad: Para esta hay que suponer que

''

∃¿

en

A

' ¿ .

, recodando que la aplicación canónica

ϕ es un homomorfismo. ''

K1¿ K2 '' ¿ φ(a)¿ φ(b)

Sustituyendo

K 1 y K 2 por φ ( a ) y φ ( b )

respectivamente. '' ¿ φ ( a ¿ b)

Definición de homomorfismo.

¿ φ(a∗b)

Unicidad de * en A.

'

¿ φ(a ¿ b)

' ¿= ¿ , demostrado anteriormente.

' ¿ φ ( a ) ¿ φ(b)

Definición de homomorfismo.

'

¿ K1¿ K2

Sustituyendo

φ ( a ) y φ ( b)

por K 1 y K 2

respectivamente. Ahora que se ha demostrado tanto la existencia como la unicidad de una ley de composición interna en el conjunto cociente solo resta probar que también las propiedades de * se cumplen también en ¿' . Asociatividad: Añadimos un entonces: '

c ∈ A , entonces

φ ( c ) =K c , además, si ¿ es asociativa,

'

(K 1 ¿ K 2 )¿ K c ¿ [ φ ( a ) ¿ φ (b ) ] ¿ φ ( c ) '

'

'

'

¿ φ(a ¿ b)¿ φ(c) '

¿ φ(a∗b)¿ φ(c) ¿ φ [( a∗b )¿ c ] '

Sustitución de K 1 , K 2 y K c

por

φ ( a ), φ ( b ) y φ(c) .

Definición de homomorfismo.

¿= ¿'

por unicidad de la ley interna

Definición de homomorfismo.

¿ .

¿ φ [(a∗b)∗c ]

'

¿= ¿

¿ φ [a∗( b∗c ) ]

Asociatividad en

¿ φ ( a )∗φ (b∗c)

Definición de homomorfismo.

¿ φ ( a )∗[φ ( b )∗ φ ( c )]

Definición de homomorfismo.

¿ φ ( a ) ¿' [ φ (b ) ¿' φ ( c ) ] '

'

¿ K 1 ¿ (K 2 ¿ K c )

¿ .

¿= ¿' Sustitución de φ ( a ), φ ( b ) y φ(c)

por

K 1 , K2 y K c .

Conmutatividad: Si

¿

es conmutativa, entonces:

'

K1¿ K2 '

¿ φ(a)¿ φ(b)

Sustitución.

'

¿ φ(a ¿ b)

Definición de homomorfismo.

¿ φ(a∗b)

'

¿= ¿

¿ φ(b∗a)

Conmutatividad en

¿ φ ( b )∗φ(a)

Definición de homomorfismo.

'

¿ φ(b)¿ φ(a)

¿= ¿'

'

¿ K2¿ K1

Existencia de neutro: Si

¿ .

Sustitución.

e∈ A

'

es neutro, entonces φ ( e )=K e , luego: '

K1¿ Ke

Ke¿ K1 '

'

¿ φ(a)¿ φ(e)

¿ φ(e)¿ φ (a)

¿ φ(a ¿ e)

'

' ¿ φ(e ¿ a)

¿ φ(a∗e)

¿ φ(e∗a)

¿ φ(a)

¿ φ(a)

¿ K1

¿ K1

Sustitución. Definición de Homomorfismo. '

¿= ¿

Definición de neutro. Sustitución.

No importa de qué lado sea el neutro, siempre se cumple esta propiedad.

a respecto de ¿ , entonces K 1 . Para demostrar esto el resultado final debe ser el neutro K e .

Existencia de inverso: Si de

K1 '

K1¿ K1

a'

es inverso de

'

'

'

K1 ¿ K1 '

¿ φ(a)¿' φ(a' )

¿ φ(a' )¿' φ(a)

¿ φ(a ¿' a' )

¿ φ(a' ¿ ' a)

Sustitución. Definición de

homomorfismo.

¿ φ(a∗a' )

¿ φ(a'∗a)

¿ φ(e)

¿ φ(e)

¿= ¿' Definición de neutro.

es inverso

¿ Ke

¿ Ke

Con todo esto se demuestra que todas las propiedades de

A

Sustitución.

¿

en

A

se transfieren a

'

¿

en...