Teorema fundamental del álgebra PDF

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Teorema fundamental del álgebra El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de grado mayor que cero tiene una raíz. El dominio de la variable es el conjunto de los números complejos, que es una extensión de los números reales. Aunque este enunciado, en principio, parece ser una declaración débil, implica que todo polinomio de grado n de una variable con grado mayor que cero con coeficientes complejos tiene, contando las multiplicidades, exactamente n raíces complejas. La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales. Hay muchas demostraciones de esta importante proposición, que requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. Enunciado y equivalencias

Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja).

Es ampliamente conocido también el enunciado: Un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces4 como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p(z) de grado n ≥ 1, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades. Demostración Sea un polinomio de grado . número real positivo tal que

es una función entera. Para cada constante positiva

, existe un

Si no tiene raíces, la función , es una función entera con la propiedad de que para cualquier número real mayor que cero, existe un número positvo tal que

Concluimos que la función es acotada. Pero el teorema de Liouville dice que si es una función entera y acotada, entonces, es constante y esto es una contradicción. De manera que no es entera y por tanto tiene al menos una raíz. se puede escribir por tanto como el producto

donde es una raíz de y es un polinomio de grado . Por el argumento anterior, el polinomio a su vez tiene al menos una raíz y se lo puede factorizar nuevamente. Repitiendo este proceso

veces, concluimos que el polinomio p puede escribirse como el producto

donde

...

son las raíces de

(no necesariamente distintas) y es una constante....