Teorema DEL Valor Medio PDF

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Teorema del valor medio, descripción y ejemplos...

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TEOREMA DEL VALOR MEDIO. Si f es una función continua en un intervalo cerrado  a ,b  , entonces, existe un número c que pertenece a dicho intervalo para el cual b

 f  x dx  b  a f  c . a

Ejemplo 1. Sea la función f  x 2 x  4 en el intervalo cerrado  2 ,5 como se muestra en la figura. Hallar un número c para dentro del intervalo para el cual se cumpla el Teorema del Valor Medio.

El teorema del valor medio establece que existe un número c para el cual b

f  x dx  b  a f  c .

Por lo tanto, se resuelve la integral

a

5

2 x  4 dx x

2

 4 x  2  25  20   4  8  5  4 9 5

2

Esta integral indica el área bajo la función f(x) en el intervalo  2 ,5 , lo cual aparece indicado en azul en la figura. El teorema establece que este resultado es igual a 9  b  a  f  c 

donde  b  a f  c  5  2 f  c 3 2c  4 , entonces

9 3 2c  4  3  2c  4 2c 7 c

7 3.5 2

Para el número c=3.5 se satisface el teorema. Consideremos el rectángulo que se forma entre los límites del intervalo y el valor de f  3.5  3 . Dicho rectángulo se presenta en color verde en la figura y tiene una base de b-a = 5 - 2 = 3 y una altura de f  3.5  3 . Su área es de A  5  2 3 9 . El punto x=c, en este caso particular x = 3.5 indica el valor de x para el cual el área bajo la curva en todo el intervalo es igual al área del rectángulo de base b - a y altura f  c  .

b

El teorema del valor medio se puede escribir como

f  x dx . El valor de

f  c  a

b a recibe el nombre de valor medio o promedio de la función en el intervalo  a , b .

Ejemplo 2. Encontrar el promedio de y 9 x 2  6 x  1 en el intervalo   1,2  . 2

9 x

2

 6 x  1 dx

3 x 

3



2

2 3x  x  1  y promedio  2    1 3  24  12  2    3  3  1 33 11  3 3 1

f  c...