Teorema del Límite central PDF

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Investigación del teorema del límite central....

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Objetivo El objetivo del trabajo es aprender lo que es el teorema del límite central como las implicaciones que este teorema tiene en la estadística.

Introducción El teorema central del límite nos dice que para una muestra de tamaño n>30 sea cuál sea la distribución la distribución de la media muestral, esta seguirá aproximadamente una distribución normal, es decir, dada cualquier variable aleatoria, para muestra de tamaño n>30 y calculamos los promedios muestrales, dichos promedios seguirán una distribución normal. Además, la media de las medias muestrales será igual a la media poblacional y la desviación estándar de la media muestral será aproximadamente el error estándar.

Desarrollo Teorema Central del Límite Sea

X 1 +…+ X n

una sucesión de variables aleatorias independientes e

idénticamente distribuidas con media µ y varianza

z=

σ 2 . Entonces:

´ X−µ σ √n

Donde z converge a la distribución normal estándar cuando

( )

n → ∞ , es decir

2

´ N µ, σ . X n entonces

(Cuando se conoce la población

(

σ2 ∗N−n ´X N µ , n N −1

)

(N ) y se sabe que

n>.05∗N

).

Observación Notemos que la distribución de medias muestra un resultado parecido a una distribución normal estándar cada vez que aumentamos n. Ejemplo usando la distribución uniforme.

Figura 1

En la figura 1 se muestra en la gráfica superior una distribución normal, y en la parte inferior la distribución que toma la media de las medias. Notemos que a pesar de que las muestra son de tamaño 5 y la cantidad de muestras son 100, la distribución comienza a tomar forma de una distribución normal.

Figura 2

En la figura 2 la muestra es de tamaño 50. Aquí se logra ver como la distribución de las muestras toma la forma de una distribución normal estándar.

Conclusión: El teorema es uno de los teoremas más fuertes de la estadística pues este nos ayuda a analizar de manera fácil y clara cómo se comporta cualquier distribución por medio de las medias muéstrales que como el teorema menciona, toman una distribución normal....