Teorema del limite central PDF

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TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL EXPLICADO CON EJEMPLOS...

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Facultad de Ingeniería y Sistemas. Catedrático: Ing. Georgeth Osmaro Rodríguez Arévalo. Materia: Estadística II Tema: Teorema del límite central

Integrantes: Blanco Arias, Débora Gabriela Delgado Molina, Luis Roberto Machado Rendón, Gabriela Beatriz Ortiz González, Cesar Nelson Silva Peñate, Juan Heriberto Ventura Escobar, Erika Yamileth

BA100912 DM101012 MR103112 OG100410 SP100112 VE100212

San Salvador, Martes 17 de febrero del 2015.

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Índice. Contenido Introducción.......................................................................................................................................3 Objetivos:...........................................................................................................................................4 Teorema de Limite Central.................................................................................................................5 Ejemplos de aplicación del teorema del límite central:......................................................................8 Ejercicio #1.....................................................................................................................................8 Ejercicio #2.....................................................................................................................................9 Ejercicio # 3..................................................................................................................................10 Conclusiones....................................................................................................................................11

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Introducción. En el siguiente trabajo presentamos un repaso, de los conocimientos adquiridos en la materia de estadística I del teorema del límite central, por cada uno de los integrantes de este grupo, aclarando que también nos apoyamos en libros de texto de estadística para una mejor aplicación y retroalimentación del concepto y de los ejercicios a aplicar.

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Objetivos: Objetivo General: Estudiar el tema de: “el teorema del límite central” a través de diferentes fuentes bibliográficas, para retroalimentar los conocimientos adquiridos de dicho tema en la materia de Estadística I y poder aplicarlos en esta materia. Objetivos Específicos:  

Relacionar los conceptos que se utilizan en el tema del teorema del límite central con la práctica para una fácil aplicación de los ejercicios. Explicar cómo se aplica el teorema del límite central en la vida real, especialmente al momento de llevar a cabo un “muestreo” por medio de ejemplos prácticos y fáciles de entender.

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Teorema de Limite Central El teorema central del límite es uno de los resultados fundamentales de la estadística. Este teorema nos dice que si una muestra es lo bastante grande (generalmente cuando el tamaño muestral (n) supera los 30), sea cual sea la distribución de la media muestral, seguirá aproximadamente una distribución normal. Es decir, dada cualquier variable aleatoria, si extraemos muestras de tamaño n (n>30) y calculamos los promedios muéstrales, dichos promedios seguirán una distribución normal. Además, la media será la misma que la de la variable de interés, y la desviación estándar de la media muestral será aproximadamente el error estándar. La importancia del teorema central del límite radica en que mediante un conjunto de teoremas, se desvela las razones por las cuales, en muchos campos de aplicación, se encuentran en todo momento distribuciones normales o casi. Contextualizando lo anterior tenemos: La distribución de la media muestral de una población normal es una distribución normal con la misma media poblacional y con desviación típica el error estándar. Este hecho nos permite calcular probabilidades cuando tenemos una muestra de una variable con distribución normal y desviación típica conocida. Cuando no conocemos la desviación típica de la variable, también podemos hacer cálculos con la distribución t de Student. Cuando la muestra es lo bastante grande, la solución nos viene dada por uno de los resultados fundamentales de la estadística: el teorema del límite central. La fórmula formal que se utiliza para resolver problemas de este tema es:

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Es muy común encontrar esta fórmula con una variable estandarizada Zn en función a la media muestral como se muestra en la imagen... Ahora tenemos la fórmula de la siguiente manera:

También podemos encontrar esta fórmula en versiones no normalizadas:

El teorema central del límite, uno de los fundamentales en estadística, estudia el comportamiento de la suma de variables aleatorias, cuando crece el número de sumandos, asegurando su convergencia hacia una distribución normal en condiciones muy generales. Este teorema, del cual existen diferentes versiones que se han ido desarrollando a lo largo de la historia, tiene una gran aplicación en inferencia estadística, pues muchos parámetros de diferentes distribuciones de probabilidad, como la media, pueden expresarse en función de una suma de variables. Permite también aproximar muchas distribuciones de uso frecuente: binomial, Posición, chi cuadrado, t de student, 6

gamma, etc., cuando sus parámetros crecen y el cálculo se hace difícil Por otro lado, la suma de variables aleatorias aparece en forma natural en muchas aplicaciones de la ingeniería: determinación de masa forestal, carga soportada por una estructura, tiempo de espera de servicios, etc.

Sabemos que la distribución de la media muestral de una variable normal o bien tiene distribución normal o bien se corresponde con una t de Student. También hemos visto que si las variables originales siguen una distribución de Bernoulli, entonces su media es una proporción y, en este caso, cuando n es lo bastante grande, su distribución muestral también es una normal. El último resultado es cierto sea cual sea la distribución de los datos originales. Es decir, no es preciso que partamos ni de distribuciones normales ni de distribuciones de Bernoulli, ya que para muestras de tamaños lo bastante grandes, la distribución de la media muestral es normal sea cual sea la distribución original. Este resultado fundamental de la estadística tiene un nombre propio: el teorema del límite central. El teorema del límite central dice que si una muestra es lo bastante grande (n > 30), sea cual sea la distribución de la variable de interés, la distribución de la media muestral será aproximadamente una normal. Además, la media será la misma que la de la variable de interés, y la desviación típica de la media muestral será aproximadamente el error estándar. ¿Qué significa n bastante grande? Consideraremos que n es lo bastante grande cuando, como mínimo, n > 30.

Una consecuencia de este teorema es la siguiente: Dada cualquier variable aleatoria con esperanza m y para n lo bastante grande, la distribución de la variable ( ) X – m ¤ ( ) error estándar, está es una normal estándar. Cálculo del error estándar Recordemos que si la variable tiene una desviación típica conocida s, el error estándar se puede calcular como. Cuando s es desconocida, calculamos el error estándar como. “s” sobre la raíz cuadrada de “n”.

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Ejemplos de aplicación del teorema del límite central: Ejercicio #1 Las bolsas de sal envasadas por una máquina tienen μ = 500 g y σ = 35 g. Las bolsas se empaquetaron en cajas de 100 unidades. 1. Calcular la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de un paquete sea menor que 495 g.

0.4236

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Ejercicio #2 Los ingresos mensuales de un trabajador de la empresa Fénix S.A de C.V es de µ= $400.00 y σ=$100.00. ¿Cuál es el área bajo la curva entre $400.00 y $500.00?

Zx=

X −μ σ

P ( 400 ≤ X ≤ 500 )

Z=

500−400 =1.00 100 ¿ P ( Z ≤ 1.00 ) =0.3413 = 34.13%

El área bajo la curva entre $400 y $500 es del 34.13%

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Ejercicio # 3 Los niveles de colesterol total en una población general se distribuyen normalmente, con una µ= 200 g y σ= 20 g. Si de esa población se selecciona un sujeto al azar ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un valor entre 170g y 230 g?

Z 1=

X 1−μ 230−200 =1.50 = 20 σ

Z 2=

2 −b ± √ b −4 ac X 2−μ 170− 200 =−1.50= = 2a 20 σ

P ( 170 ≤ X ≤≤ 230 )=P (−1.50 ≤ Z ≤1.50 )=2∗P ( Z ≤ 1.50 )=2 ( 0.4332) =0.8664

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Conclusiones.

11...