Teorema di unicità del limite PDF

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Teorema di unicità del limite Teorema. Se una funzione f(x) ammette limite, per x che tende a c, questo è unico. Dimostrazione Supponiamo (per assurdo) che la funzione ammetta due limiti (finiti e distinti), cioè:

lim f (x ) = l 1 x →c

lim f (x ) = l 2

con l 1 ≠ l 2

x →c

(possiamo supporre che l1 > l 2 ).

Poniamo

ε=

l1 − l 2 > 0. 2

Dalla definizione di limite segue che: ∀ ε > 0 ∃ I 1 (c ) t.c.

per ogni x ≠ c , x ∈ I 1 (c ) si ha l1 − ε < f ( x) < l1 + ε

e ∀ε > 0 ∃ I 2 (c ) t .c . per ogni x ≠ c , x ∈ I 2 (c ) si ha l 2 − ε < f (x ) < l 2 + ε .

Sia I (c) = I 1 (c ) ∩ I 2 (c ) ,

cioè I è l’intorno comune ai due intorni. Allora ∀ ε > 0 ∃ I (c ) t .c . per ogni x ≠ c , x ∈ I (c ) si ha l1 − ε < f (x ) < l 2 + ε .

Da questo segue che l1 − ε < l 2 + ε

cioè

ε>

l1 − l2 2

il che è assurdo perché abbiamo posto

ε=

l1 − l2 . 2...