Cap8- Teorema DI Bernoulli PDF

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TEOREMA DI BERNOUL BERNOULLI LI EQUAZIONI ED INTERPRET INTERPRETAZIONI AZIONI Argomenti • Teorema di Bernoulli, ipotesi di validità • Relazione di Bernoulli • Interpretazione geometrica • Interpretazione energetica Teore eorema ma di Bernoulli, equazioni ed interpretazio interpretazioni ni • Si analizzeranno le interpretazioni possibili del teorema di Bernoulli che sono principalmente due: – geometrica – energetica l’equazione globale della dinamica fornisce le condizioni di equilibrio delle varie • Come visto in precedenza l’equazione forze, reali e fittizie, che agiscono su una generica massa fluida in movimento. • Il teorema di Bernoulli completa il quadro fornendo la relazione che deve sussistere tra le diverse forme di energia in gioco. Ipotesi di vvalidità alidità • Il sistema in moto del fluido considerato deve essere energeticamente chiuso, cioè non deve avvenire scambio di energia con l’esterno. 1)Tratteremo sempre il caso di fluido perfetto, per il quale c’è assenza di sforzi tangenziali (esente da dissipazione di energia meccanica) descritto dall’equazione di Eulero:

2)Lavoriamo nel campo gravitazionale (fluido pesante) quindi la forza di massa sarà: 3)Incomprimibilità Incomprimibilità del fluido (densità indipendente da altre grandezze): • Consideriamo ora una particella fluida in movimento in un generico punto campo di moto, utilizzando le ipotesi precedenti:

all’interno

del

• Con semplici passaggi possiamo quindi scrivere l’equazione di Eulero:

• Il gradiente della quota piezometrica è uguale al rapporto (cambiato di segno) tra accelerazione del generico elemento fluido in movimento e l’accelerazione di gravità (quindi nullo per un fluido in quiete o in moto uniforme). • Preso un elemento materiale in moto lungo una propria traiettoria (ascissa curvilinea s), esprimiamo l’accelerazione A cui è soggetto evidenziando le tre componenti sulla terna intrinseca: – tangenziale derivata della velocità lungo la tangente t alla traiettoria; – centripeta derivata della velocità lungo la normale n della traiettoria; – binormale derivata della velocità lungo la binormale b della traiettoria. • Proiettando sui tre assi della terna intrinseca l’equazione di Eulero, si ottiene un sistema di tre equazioni che forniscono informazioni sull’energia della particella in moto. • L’ultima equazione dice che nel piano normale alla traiettoria esiste almeno una direzione b (quella della binormale) lungo la quale è nulla la variaz variazione ione della quota piezometrica (pressione ha distribuzione idrostatica). • La seconda indica che la quota piezometrica varia lungo la normale principale (diminuisce andando verso il centro di curvatura della traiettoria – ed è costante se la curvatura è nulla cioè in caso di traiettorie rettilinee).

• In caso di traiettoria rettilinea anche lungo la normale principale la quota piezometrica sarà costante. Quindi in tal caso nell’intorno del punto O la quota, costante lungo due direzioni, sarà costante anche lungo tutte le altre direzioni del piano individuato. • Nel caso di fluido che si muove dentro un condotto curvilineo a bassa curvatura, le traiettorie sono tutte parallele e approssimabili a rettilinee. La quota piezometrica è praticamente costante nella sezio sezione ne trasv trasversale ersale (pressione ha distribuzione sensibilmente idrostatica). Si parla di correnti gradualmente variate o lineari o unidimensionali (traiettorie prevalentemente rettilinee e velocità in ogni sezione parallele). • Avendo invece una curvatura accentuata delle traiettorie, nella sezione trasversale la pressione non varia più idrostaticamente.

Relazione di Bernoulli • Date le quattro ipotesi elencate precedentemente (fluido pesante, perfetto, incomprimibile e di moto permanente), si consideri una singola traiettoria. Analizzando la componente tangenziale e sviluppando il secondo membro si ottiene:

Il teorema di Bernoulli rappresenta un’applicazione del principio di conservazione dell’energia. Esso vale per il moto permanente lungo una traiettoria di un fluido perfetto perfetto,, incomprimibile e pesante (sottoposto alle sole forze di massa: forze peso), in assenza di sforzi tangenziali. Sotto tali ipotesi è possibile dedurre una relazione che fisicamente rappresenta la costanza delle varie forme di energia in gioco. Le tre forme di energia sono:  di posizione, z  di pressione, p/ γ  cinetica, v2/2g Riferita all’unità di peso del fluido diventa:

La somma dei tre termini prende il nome di trinomio di Bernoulli. • Con H è indicata la grandezza chiamata carico totale, (data dalla somma del trinomio di Bernoulli) • La grandezza z, come definito in idrostatica, è chiamata quota geodetica. • La quantità

p γ

è chiamata altezza piezometrica.

p è chiamata quota piezometrica. γ

• La somma

z+

• Il termine

v2 2. g

con dimensioni di una lunghezza, è l’altezza cinetica.

• Introducendo l’ulteriore ipotesi di moto permanente, le derivate parziali rispetto al tempo si annulleranno, rendendo nullo il secondo membro dell’equazione. Si ottiene in questo modo l’espressione del teorema di Bernoulli Bernoulli:

• Il TEOREMA DI BERNOULLI, enuncia che “nel moto permanente di un fluido perfetto perfetto,, pes pesante ante ed incomprimibile, il carico totale si ma mantiene ntiene costante lungo ogni tr tra aiettoria iettoria”.

Interpretazione geometrica Consideriamo una serie di punti A,B,C… successivamente raggiunti da un fluido che si muove lungo la propria traiettoria. Assumiamo un piano orizzontale di riferimento arbitrario, al quale attribuiamo convenzionalmente la quota z=0. – A partire da esso, positivamente verso l’alto, misureremo le quote geodetiche ZA ZB ZC dei punti considerati; – Da essi riportiamo verticalmente verso l’alto le rispettive p A / γ p B / γ p C / γ si ottengono i altezze piezometriche punti A’ B’ C’ disposti lungo una linea continua che descrivono a loro volta la linea piezomet piezometrica rica della traiettoria; – A partire dai punti A’ B’ C’ C’, si riportano (verticalmente verso l’alto) infine le quote piezometriche v A2/2g, vB2/2g, vC2/2g, otteniamo i punti A” B” C” , disposti lungo la linea dei carichi totali della traiettoria. • Secondo il teorema di Bernoulli ques questa ta linea appartiene ad un piano orizzontale. Ne deriva che la relazione base è, valida per tutti e tre i punti considerati:

Interpretazione energetic energetica a Al teorema di bernoulli può essere attribuito anche un preciso significato energetico. • Si può dimostrare che il carico totale, ovvero la somma dei tre termini, rappresenta l’energia meccanica complessiv complessiva a posseduta dall’unità di peso di fluido in movimento. Il carico totale è la cosiddetta energia specifica specifica. I termini assumono il significato di: – La quota geodetica z è l’energia posizionale : che rappresenta quella parte dell’energia potenziale che compete all’unità di peso del fluido per il fatto che essa occupa una determinata posizione nel campo gravitazionale; 2 – Il termine v /2 g rappresenta l’energia cinetica: cioè l’energia specifica dovuta al fatto che l’unità possiede una velocità v; energia di pressione pressione: rappresenta una trasformazione di energia – L’altezza piezometrica p/ γ è l’energia posizionale in energia di pressione. Si tratta di una sorta di bilancio energetico tra le due (una forma può essere acquisita a scapito dell’altra). (per il principio dell’idrostatica rappresenta il peso del fluido che sovrasta l’unità di superficie considerata) . • Il teorema di Bernoulli costituisce la base, insieme all’equazione globale della dinamica, di tutta l’idrodinamica (sia teorica che applicata) applicata). L’uno fornisce la relazione che deve sussistere tra le diverse forme di energia, la seconda fornisce le condizioni di equilibrio delle varie forze. • Il teorema di Bernoulli descrive (nel caso di fluido incomprimibile) l’l’inter inter intera a energia meccanica posseduta dall’unità di peso del fluido (somma della parte potenziale e di quella cinetica). Per questa ragione la linea dei carichi totali viene anche detta linea dell’energia. • Il teorema di Bernoulli può pertanto essere enunciato così : “nel nel moto permanente di un fluido perfetto perfetto,, pesante, incomprimibile, l’energia meccanica s pecifica si mantiene costante lungo ogni traietto traiettoria ria ria” (espressione del principio di conservazione dell’energia) • Con l’ipotesi di fluido perfetto si escludono dissipazioni di energia meccanica in energia termica e con l’ipotesi di incomprimibilità si esclude generazione di calore compiendo calore (che avviene invece nelle trasformazioni di gas comprimibili)

Riferimento bibliografico: Citrini-Noseda, Idraulica, Par. 5.1 – 5.2 – 5.3 – 5.4...