Teorema dell\'impossibilità di Arrow PDF

Preview

Summary

Appunti di Economia pubblica sul Teorema dell'impossibilità di Arrow...

Description

TEOREMA DELL’IMPOSSIBILITA’ DI ARROW Arrow è stato il primo a porre i problemi che si possono sorgere quando uno dei votanti presenta preferenze bimodali o estreme. Innanzitutto, Arrow ha dimostrato quali sono le caratteristiche che una votazione deve presentare per essere democratica. Primo, la regola seguita per le scelte collettive deve essere in grado di stabilire un ordine di preferenza per tutte le coppie di alternative (Assioma di completezza). Secondo, la decisione finale deve essere coerente, nel senso che se la scelta A è preferita alla scelta B e la scelta B è preferita alla scelta C, allora anche la scelta A deve essere preferita alla scelta C (Assioma di transitività). Terzo, la procedura utilizzata deve portare comunque ad un decisione, qualunque sia la configurazione delle preferenze dei votanti. Quarto, la procedura deve riflettere le preferenze individuali (Efficienza Paretiana). Cinque, la scelta relativa ad un settore, ad esempio la sanità, non deve essere influenzata da considerazioni e progetti relativi ad altre spese, ad esempio l’istruzione o la difesa (Indipendenza dalle altre alternative). Tuttavia, tale considerazione non è del tutto condivisibile, dal momento che qualunque scelta ha un costo-opportunità, vale a dire, un aumento della spesa pubblica per la sanità sottrae risorse agli altri settori. Sesto, la scelta finale deve riflettere le preferenze della maggioranza e non di un singolo individuo (Non dittatorialità). Dette queste premesse, Arrow ha sostenuto e dimostrato che se uno dei votanti (o dei partiti) manifesta preferenze bimodali, è impossibile che l’esito della votazione rispetti tutti i requisiti sopra indicati e la decisione risulterà contradditoria o incoerente. A questo punto, occorre chiarire la differenza tra le preferenze unimodali e le preferenze bimodali. Un individuo ha preferenze unimodali se l’utilità che egli attribuisce alle possibili alternative è massima per una di queste (alternativa A) e diminuisce costantemente per tutte le altre (B e C). Possiamo vedere questa situazione nel seguente grafico. U

A B C Al contrario, quando l’utilità tocca un massimo in corrispondenza di una alternativa A, diminuisce progressivamente (alternativa B) per poi aumentare di nuovo (alternativa C). In questo caso si dice che l’individuo presenta preferenze bimodali. Possiamo vedere questa situazione nel seguente grafico. U

A

B

C

Consideriamo ora il caso in cui il Parlamento è chiamato a decidere in materia di spesa per la sanità. Consideriamo tre partiti che manifestano tre diverse preferenze al riguardo. U

A

B

III

CpApB

II

BpCpA

I

ApBpC

C

Poniamo le alternative di preferenze in ascissa e contrassegniamoli con delle lettere (A=5%; B=8%; C=10%), invece in ordinata indichiamo l’utilità che le singole alternative danno a ciascun partito. È chiaro che essi discutono tra di loro sulle rispettive posizioni. Ipotizziamo che il primo partito presenti preferenze unimodali, vale a dire vuole spendere il meno possibile per la sanità. Di conseguenza, l’alternativa A è preferita (p) all’alternativa B e quest’ultima è preferita all’alternativa C. Anche il secondo partito presenta preferenze unimodali, preferisce ad esempio in assoluto una soluzione intermedia (8%) e, tra i due eccessi, preferisce una spesa più elevata (10%) ad una più bassa (5%). In questo caso si dirà quindi che l’alternativa B è preferita all’alternativa C e quest’ultima è preferita all’alternativa A. Il terzo partito, invece, è il votante estremo perché presenta preferenze bimodali, in quanto preferisce una spesa consistente (10%) o, in alternativa, una spesa minima (5%) disdegnando la soluzione intermedia (8%). Quindi in questo caso preferirà l’alternativa C all’alternativa A e quest’ultima all’alternativa B. Una situazione del genere comporta ogni alternativa avrà due voti. Di conseguenza dovendo procedere alla votazione, l’esito dipenderà non solo dalla manifestazione delle preferenze e quindi dal voto dei singoli partiti, ma anche dall’ordine della votazione stabilita dal presidente dell’assemblea. Se il Presidente vuol fare approvare l’opzione A, chiamerà a votare ApB e BpC. In questo caso dal momento che entrambe le coppie otterranno due voti, per il principio di transitività, l’opzione A sarà vincente. Se, invece, il Presidente vuol fare approvare l’opzione C, metterà ai voti le coppie ApB e CpA. Quindi, con la prima votazione è preferita la scelta A, ma con la seconda votazione sarà C preferito ad A e pertanto risulterà vincente. Per questo motivo, si pone il problema delle maggioranze cicliche, dal momento che la soluzione varia al variare dell’ordine delle opzioni da sottoporre al voto. In questo modo, Arrow è arrivato alla conclusione che, in presenza di un votante estremo, la decisione sociale può non essere transitiva (poiché C è preferito ad A) e, in ogni caso, poiché il risultato finale dipende dal modo in cui il presidente ha fissato l’ordine del giorno, la scelta è, in definitiva, dittatoriale. Tuttavia, alcuni matematici ed economisti hanno studiato la validità del teorema di Arrow nel tentativo, non riuscito, di smentirlo. L’unico punto debole che si è riusciti ad individuare è che il teorema non vale più se la maggioranza richiesta per la decisione è particolarmente qualificata, cioè il 64% dei votanti....