9. Teorema DI Tellegen PDF

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Appunti sul teorema di Tellegen - Ing Elettronica per l'automazione e le telecomunicazioni - Università degli studi del Sannio...

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9.TEOREMA DI TELLEGEN Il teorema di Tellegen in sostanza è una diretta conseguenza delle leggi di Kirchhoff alle tensioni e alle correnti. Ne consideriamo innanzitutto un suo caso particolare che è estremamente significativo. Immaginiamo di avere una rete composta da componenti lineare. Abbiamo delle indicazioni riguardo al fatto che il circuito deve rispettare la conservazione di energia? Ci aspettiamo che la potenza erogata da un generatore sia utilizzata dagli altri componenti della rete, quindi che il circuito soddisfi una legge di conservazione, bilancio delle potenze. Sappiamo che se sul lato k-esimo della rete sul quale abbiamo utilizzato la convenzione dell’utilizzatore è presente un bipolo qualunque. Possiamo sempre definire la potenza istantanea assorbita dal bipolo come

Pk ( t )=v k (t )∙ ik (t) Se ci interessa sapere la potenza totale assorbita di una rete basta sommare la potenza di tutti i lati della rete. l

P (t ) =∑ v k (t )∙ ik (t) k=1

La somma di questi prodotti la possiamo riscrivere come

P (t ) =v T ∙i Sappiamo che v è la tensione di lato, cioè la tensione ai capi di ciascun bipolo. Sappiamo inoltre che una tensione di lato la si può sempre esprimere come differenza di potenziali di nodo.

v k =e r−es Che, ancora una volta, in forma matriciale T

v =A ∙ e Posso prendere questo legame e sostituirlo nella formula matriciale della tensione. T

T P (t ) = ( A T ∙ e ) ∙i= e ( A ∙ i )=0

Questo prodotto vale zero in virtù della validità della prima legge di Kirchhoff. In conclusione la potenza assorbita dai bipoli di una rete è uguale a 0.

P (t ) =v T ∙i =0 Osserviamo che se ci sono l lati nella rete questo prodotto si scrive come

P1+P 2+…+ Pl=0 È evidente che almeno un elemento della somma dovrà essere positivo e almeno uno negativo. Se consideriamo con la convenzione dell’utilizzatore una potenza positiva come assorbita da un bipolo e negativa come erogata vediamo come in una rete ci siano bipoli che assorbono potenza e bipoli che la erogano. La quantità di potenza assorbita è uguale a quella erogata. Il modello dei circuiti è un modello coerente perché rispetta il bilancio delle potenze.

Possiamo immaginare di avere due circuiti costituiti da bipoli che hanno lo stesso grafo e quindi la stessa matrice di incidenza. Quindi sono equivalenti topologicamente. Dal punto di vista fisico i bipoli del circuito sono diversi e ognuno è indipendente dall’altro. Ovviamente entrambi i circuiti soddisfano le leggi di Kirchhoff.

Immaginiamo di aver individuato su entrambi i circuiti lo stesso lato k-esimo e individuato le tensione e le correnti, che saranno diverse tra di loro per la conformazione dei circuiti.

Posso definire la grandezza ' '' ^ Pk ( t )=v k ( t ) ∙ ik (t)

Ho preso la tensione della prima rete e la corrente della seconda rete. Ho ottenuto una grandezza che dimensionalmente corrisponde ad una potenza ma che non equivale né alla potenza di lato della prima rete né alla potenza della seconda. Questo prodotto prende il nome di potenza virtuale. Essa infatti non è una misura di una potenza riferita al lato di una rete. Avendo fatto la convenzione dell’utilizzatore è una potenza virtuale assorbita. Posso fare anche il contrario.

~ ( ) '' ' P k t =v k (t)∙ik (t ) Ci riferiamo alla prima espressione. Posso ora considerare la somma lato per lato delle potenze virtuali assorbite. l

^ P (t ) =∑ ^ P k (t ) =v'1 ( t ) ∙ i'1' ( t )+v '2 ( t ) ∙i'2' ( t ) + …+v l' (t)∙ i'l' (t) k=1

Che posso sinteticamente scrivere come

^ P (t ) =v ' T ∙i' ' Se scriviamo la seconda legge di Kirchhoff come tensioni come differenze di potenziale

v ' = A T e' Quindi:

T ' T ^ P ( t ) = ( A ∙ e ) ∙ i'' =e'T ( A ∙ i'' )

Ma A*i’’ fa 0 perché A è la stessa matrice di incidenza e i’’ è la n-upla delle correnti di lato della seconda rete. Per la legge di Kirchhoff il prodotto fa 0. Possiamo sinteticamente definire il risultato in questo modo: date due reti topologicamente identiche la somma delle potenze virtuali è 0. Qualora le due reti siano identiche la legge si trasforma nel risultato di prima cioè la conservazione delle potenze in una rete. Questo risultato è chiamato TEOREMA DI TELLEGEN....