Teorema di Cauchy PDF

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PDF sul teorema di Cauchy...

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DISTRIBUZIONE DEGLI SFORZI INTORNO A UN PUNTO IN UN SISTEMA CONTINUO: IL TETRAEDRO DI CAUCHY. Lo sforzo agente su una superficie elementare passante per un punto dipende dall’orientamento o giacitura della superficie stessa, oltre che dalla posizione e dal tempo. In altre parole, sulle superfici elementari passanti per il medesimo punto, con normali aventi direzione diversa, lo sforzo assumerà valori diversi. Si può tuttavia mostrare che, se si conoscono gli sforzi relativi a tre superfici elementari passanti per lo stesso punto (P) e aventi normali mutuamente perpendicolari è possibile calcolare lo sforzo su una superficie elementare, comunque orientata, come combinazione lineare degli sforzi noti.

z

 n

P

y

x Fig. 1 Tetraedro di Cauchy

A tale scopo si consideri l’elemento fluido infinitessimo avente forma di tetraedro di dimensioni dx, dy, dz riportato in Fig. 1, delimitato dalla superficie di contorno costituita dalla  faccia dA di normale entrante n , avente componenti nx, ny, nz, e dalle facce di area pari alle proiezioni di dA sui piani normali agli assi coordinati di normali rispettivamente coincidenti con i versori i, j, k; talchè:

  d An x = d A n ⋅ i = −d A c o s n x   d An y = d A n ⋅ j = −d A c o s n y   d An z = d A n ⋅ k = −d A c o s n k

il segno meno è dovuto al fatto che, per definizione, l’angolo formato dal versore n con i versori i, j, k è compreso tra π/2 e 3π/2. 

Si imponga ora l’equilibrio statico della particella sogetta alla forza di massa (ρ F d W ) e alle  forze di superficie, cioè, le spinte ( d Πi ) che sollecitano il tetraedro fluido attraverso le superfici che lo limitano.

2 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

z

 n

y

x Fig. 2

Si ha :

     d Π x + d Π y + d Π z + d Πn + ρ F d W = 0

(1)

con: ρ = densità del fluido; F = accelerazone del campo delle forze di massa; d W = 1 d x d y d z = 1 d An z d z 6 3 



Esprimendo le spinte dell’equazione (1) in termini di sforzo Φ = dΠ

dA

risulta:

     − Φ xd A c o s n x − Φ y d A c o s n y − Φ zd A c o s n z + Φnd A + ρ F d A d z c o s n z = 0 ovvero:

     −Φ x c o s n x − Φ y c o s n y − Φ z c o s n z + Φn + ρ F d z c o s n z = 0

(2)

Assumendo che facendo tendere a zero dz il tetraedro contenga sempre il punto P, ovvero, trascurando il contributo del termine delle forze di massa perchè infinitessimo di terzo ordine mentre gli altri termini sono infinitessimi di secondo ordine il termine contenente le forze di massa si annulla e di conseguenza

    Φn = Φ x c o s n x + Φ y c o s n y + Φ z c o s n z

(3)

La formula (3) esprime sinteticamente il fatto che lo sforzo agente su una superficie elementare dA, di versore normale n, passante per un punto, risulta dato alla combinazione lineare degli sforzi agenti su tre superfici elementari passanti per il medesimo punto, le cui normali i, j, k siano linearmente indipendenti. I coefficienti della combinazione lineare sono le componenti del versore normale n rispetto alle direzioni individuate dalle normali i, j, k. Il risultato importante consiste pertanto nel fatto che se si conoscono gli sforzi agenti su tre

3 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

superfici aventi normali linearmente indipendenti passanti per il medesimo punto è possibile ottenere lo sforzo φ su una superficie elementare di normale n passante per quel punto. Si proiettino i termini della (3) sulle direzioni individuate dai tre versori linearmente indipendenti i, j, k, associati agli assi x, y, z:

 Φx  Φy  Φz  Φn

   = φ x xi + φ x y j + φ x zk    = φ y x i + φ y y j + φ y zk    = φz x i + φz y j + φz zk    = φn xi + φn y j + φn zk

(4)

con φxy si indica la componente secondo x dello sforzo agente sulla superficie avente come normale il versore j dell’asse y. Il primo indice denota la direzione della componente di sforzo, il secondo la direzione della normale alla superficie sulla quale lo sforzo agisce. Si ha:

φn x = φ x x c o s n x + φ y x c o s n y + φ z x c o s n z φn y = φ x y c o s n x + φ y y c o s n y + φ z y c o s n z

(5)

φn z = φ x z c o s n x + φ y z c o s n y + φ z z c o s n z che può essere scritta come:

⎡ φ ⎢ xx  Φn = ⎢ φy x ⎢ ⎢ φz x ⎣

φx y φy y φz y

 φx z ⎤ ⎧ c o s n x i ⎫ ⎥ ⎪ ⎪ φy z ⎥ ⎨ c o s n y j ⎬ ⎥⎪  ⎪ φz z ⎥ ⎩ c o s n z k ⎭ ⎦

(6)

dove la matrice

⎡ φ ⎢ xx ⎢ φy x ⎢ ⎢ φz x ⎣

φx y φy y φz y

φx z ⎤ ⎥ φy z ⎥ ⎥ φz z ⎥ ⎦

è nota come il tensore degli sforzi che ha per componenti vettoriali i tre sforzi    Φ x , Φ y e Φ z che agiscono sugli elementi di superficie paralleli ai piani coordinati. Il carattere intrinseco del tensore, cioè l’indipendenza dal sistema di riferimento, mette in evidenza la portata del Teorema di Cauchy e ci permette dire che “il tensore degli sforzi rappresenta completamente lo stato di sforzo in un punto di un sistema continuo”. Allora, il regime degli sforzi in tutto il campo occupato dal sistema continuo sarà noto quando sarà noto il tensore degli sforzi come funzione della posizione e, in generale, anche del tempo. Gli sforzi presenti nel tensore sono indicati in Errore. L'origine riferimento non è stata trovata., si noti che i termini con pedici uguali rappresentano componenti di sforzo normale alla superficie mentre, quelli con pedici diversi rappresentano componenti di sforzo tangenti alla superficie su cui agiscono.

4 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

z

y

x Fig. 3

L’equilibrio alla rotazione dell’elemento fluido di Fig. 3 richiede che gli sforzi con pedici scambiati siano uguali; chiamando σ gli sforzi normali τ gli sforzi tangenziali si ha:

σ x = φx x

σ y = φy y

σ z = φz z

τ x = φy z = φz y

τ y = φ x z = φz x

τz = φx y = φx y

e il tensore degli sforzi diventa:

# σ τz % x % τ σ y % z % τ τx $ y

& τy ( τx ( ( σz ( '...