Limite di una funzione PDF

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prof. Cinzia Di Palo...

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Con intorno di un punto intendiamo un qualsiasi intervallo aperto contenente il punto. Ricordiamo che gli intorni servono a tradurre il concetto di “vicinanza”: se dato un punto e un suo intorno, consideriamo un secondo intorno contenuto nel primo, questo secondo intorno individua un insieme di punti nel suo complesso “più vicino” rispetto all’insieme definito dal primo intorno. INTORNO BUCATO: è l’intorno di un punto privato del punto stesso INTORNO DESTRO E SINISTRO: l’intorno destro o sinistro di un punto x 0 intendono un intervallo aperto avente il punto x0 rispettivamente come estremo sinistro e destro. Gli intorni sinistro e destro di un punto sono degli intervalli aperti che hanno il punto come estremo, ma non lo contengono. Per AMPIEZZA DI UN INTORNO LIMITATO intendiamo la differenza in valore assoluto tra gli estremi del relativo intervallo. INTORNO CIRCOLARE: sono gli intervalli limitati che hanno il punto dato come “centro” vale a dire che sonno costituiti dai punti che hanno distanza dal centro minore di un valore fissato: il raggio dell’intorno. L’intorno circolare di un punto risulta pertanto definito dal suo raggio. Ma cosa intendiamo quando diciamo che al tendere della variabile indipendente x al punto limite x 0 la funzione f(x) tende al limite l ? Facendo riferimento ad un’idea intuitiva di limite possiamo dire che per affermare che “la funzione f(x) tende al limite l per x che tende ad x 0 “ richiediamo che quanto più la variabile x si avvicina al punto limite x0 tanto più la funzione si avvicini al valore limite l e si avvicini a tale valore tanto quanto si vuole. Cioè che ci si possa avvicinare al valore l tanto quanto si vuole con la f(x), pur di avvicinarsi opportunamente con la x al valore x0. Dunque per poter dire che

lim f ( x )=l x → x0

richiediamo

che : comunque scelto un intorno del limite l deve esistere un intorno del punto x 0 tale che per valori della x scelti in questo intorno, la funzione assume valori compresi nell’intorno del limite l. Consideriamo ora il caso di una funzione tale che, man mano che la x si avvicina al valore x 0 , si avvicina al valore l, che però nel punto x 0 non sia definita, possiamo determinare un intorno bucato di x 0 in cui la funzione assume valori compresi nell’intorno del limite. DEFNIZIONE 6.1.1 l è il limite per x che tende a x0 di f(x) se, comunque scelto un intorno del limite l esiste un intorno bucato del punto x0 , tale che per valori della x scelti in questo intorno la funzione assume valori compresi nell’intorno del limite l. La definizione di limite ora data richiede che la funzione sia localmente definita, cioè che esista un intorno bucato del punto x0 , sia pure “piccolo”, in cui la funzione sia definita. DEFINIZIONE 6.1.3 l è il limite per x che tende a x0 di f(x) se, comunque scelto un intorno circolare del limite l, esiste un intorno circolare bucato del punto x0 , tale che per valori della x scelti in questo intorno la funzione assume valori compresi nell’intorno del limite l. DEFINIZIONE 6.1.4 l è il limite per x che tende a x0 di f(x) se, comunque scelto un intorno circolare del limite l, esiste un intorno bucato del punto x0, tale che per valori della x scelti in questo intorno la funzione assume valori compresi nell’intorno del limite l.

DEFINIZIONE 6.1.5 l è il limite per x che tende a x0 di f(x) se, comunque scelto un numero ε > 0 (raggio dell’intorno circolare del limite), esiste un numero δε (raggio dell’intorno circolare bucato del punto limite) tale che se 0 < |x – x0 | < δε

allora | f(x) – l | < ε

LIMITE DESTRO E LIMITE SINISTRO Vediamo ora come si deve riformulare la definizione di limite se vogliamo rappresentare il fatto che la funzione si avvicina tanto quanto si vuole al valore limite l quando la variabile x si avvicina al valore x 0 assumendo però solo valori maggiori di x0, cioè, quando la variabile x tende da destra al valore limite x 0, da cui l’espressione di limite destro. Se vogliamo definire il fatto che la funzione f(x) si avvicina al valore limite l per valori di x che tendono da destra ad x0 , vale a dire per valori maggiori di x 0 , dobbiamo imporre che la funzione assuma valori in intorni del limite “piccoli” quanto si vuole, pur di scegliere la variabile x in intorni destri del punto x 0 opportunamente piccoli, cioè in intervalli aperti che ammettono il punto x 0 come estremo sinistro. DEFINIZIONE 6.3.1 l+ ( l- ) è il limite destro (sinistro) per x che tende a x0 se comunque scelto un intorno di l + ( l- ), esiste un intorno destro (sinistro) del punto x 0 , tale che in questo intorno la funzione assume valori compresi nell’intorno del limite....