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La funzione di Cobb Douglas La funzione di Cobb Douglas non è altro che una funzione di produzione che viene costituita: - da Y in quanto rappresenta la quantità prodotta - da K che è il capitale impiegato per la produzione del bene finale - da L che è l’input lavoro In maniera analitica la funzione di coldables non è altro che una funzione omogenea di 1° grado, per la quale in base al teorema di Eulero, sulle funzioni omogenee vengono applicati determinati principi e formule. Le formule sono innanzitutto quelle inerenti alla quantità impiegata, vale a dire che la quantità impiegata sarà data dalla variazione di Q rapportata a L, tutto moltiplicato per l’ammontare del lavoro impiegato. Il tutto a sua volta sarà sommato dalla variazione della quantità impiegata di input ma rapportato al fattore terra e cioè a T. Riassumendo l’uguaglianza tra la produttività marginale dei fattori produttivi (quindi la variazione di Q rapportata alla variazione di lavoro) e la (variazione di quantità impiegata rapportato al fattore terra impiegato) è possibile andare a determinare delle remunerazioni in termini fisici. Questa formula ci permette di andare a determinare la distribuzione del prodotto: indicando con W la quota del prodotto che fa riferimento al salario (in questo caso si ha una relazione tra il salario ed il lavoro impiegato) e con R (si fa riferimento alla terra quindi in questo caso alla rendita). Le proprietà principali di questa formula sono i coefficienti che in questo caso sono rappresentati da alfa e da beta. (Considerato che la nostra è una funzione omogenea di 1° grado), alfa + beta vanno a rappresentare in maniera analitica il rendimento fiscale che in questo caso può essere: crescente, decrescente e costante. Gli altri tre fattori sono invece il capitale, il lavoro e la terra quindi: se la funzione è omogenea di grado alfa+beta, questo significa che moltiplicando ciascun fattore per una costante positiva K, la produzione risulta moltiplicata per la stessa costante. Di conseguenza se alfa+beta sarà maggiore di 1 siamo in presenza di rendimenti fiscali crescenti, quindi la produzione cresce in maniera più che proporzionale; invece se alfa+beta sarà uguale a 1, siamo in presenza di rendimento fiscale costante e non si ha alcuna variazione in termini di rendimenti; mentre la relazione di due coefficienti alfa+beta minore di 1 saremo in presenza di rendimenti fiscali decrescenti. È quindi possibile assumere che ciascun fattore venga remunerato in base alla produttività marginale senza che questi generino dei residui. Ciò indica che gli esponenti sia alfa che beta, siano dati da 1-alfa, che non hanno un significato economico ben preciso. Domanda da studente: su alfa-1, quando noi dobbiamo andare ad esplicare la formula lo dobbiamo identificare sempre come un coefficiente? Risposta: si fa una doppia proporzione che poi va a determinare l’elasticità della funzione in base al lavoro e l’elasticità della funzione in base al capitale….(la tizia non si sentiva più). Studente dice che ci sono 7 proprietà su alfa e beta e la tizia professoressa dice che vanno studiate e che nel libro sono esplicitate e spiegate.

Se applichiamo tale formula, graficamente il tutto verrà rappresentato attraverso gli isoquanti che saranno convessi verso l’origine degli assi. (pag. 248, 52 e 61 del libro ci sono le cose più importanti mentre da pag. 113 e seguenti dell’eserciziario ci sono degli esercizi svolti).

L’inclinazione negativa di questi isoquanti andrà a determinare anche la loro convessità. Questa classe di funzione va a determinare l’introduzione di un nuovo fattore cioè che oltre al lavoro ed il capitale abbiamo anche la terra. Supponiamo di operare all’interno di un sistema di concorrenza perfetta e che i rendimenti fiscali costanti avranno l’introduzione di un’altra variabile ovvero la tecnologia. L’equilibrio di questi 3 fattori sarà determinato dai parametri, ovvero da due coefficienti alfa e beta.

La costruzione dei numeri indici Il numero indice è un numero puro che nasce dal rapporto tra due grandezze della stessa unità di misura. A sua volta i numeri indici per andare ad effettuare una determinata misurazione/valutazione, si suddividono in numeri indici complessi e numeri indici semplici. A sua volta, all’interno di questa macro-classificazione di numeri indici è possibile andare ad individuare gli indici a base fissa e indici a base mobile. Dal rapporto di ciascun termine della serie di un termine particolare tratta da una stessa serie si ottiene la serie dei numeri indici a base fissa. Di conseguenza è possibile passare dagli indici a base fissa agli indici a base mobile e viceversa. Il cambiamento può essere effettuato semplicemente dividendo ciascun numero indice, per il numero indice del nuovo periodo base. In questo caso, un ruolo fondamentale viene svolto dal tempo t, infatti la slide esplicita che: i numeri indici complessi, sono particolari rapporti statistici che misurano simultaneamente e statisticamente la variazione di N grandezze osservate in due o più situazioni di tempo, rispetto al riferimento della situazione base. Invece gli indici semplici o elementari sono rapporti statistici che mettono a confronto lo stesso fenomeno in due o più situazioni diverse. Quindi come abbiamo detto è possibile passare da un indice mobile ad uno fisso e viceversa se si rapporta un termine della successione osservata a quello immediatamente precedente, si ottengono così i numeri indici a base mobile. Passare dagli indici a base fissa agli indici a base mobile: basta dividere ciascun indice a base fissa per il suo precedente senza però andare a ricorrere agli eventuali valori aggiornati che hanno subito nell’arco temporale. Passare dagli indici a base mobile agli indici a base fissa: occorre effettuare il prodotto di ciascun indice per tutti quelli che lo precedono (cioè gli anni precedenti). Anche il tempo svolge un ruolo fondamentale, in questo caso t viene considerato come un intervallo generico con una serie di osservazioni nell’anno di riferimento. Un numero indice sintetico complesso  determina un certo fenomeno a sua volta facendo riferimento ad un fatto collettivo. Un numero indice sintetico rappresentativo  va considerare quei casi in cui viene scelto un arco temporale ben preciso, sempre in considerazione di un fatto collettivo oggetto di studio. Quindi per costruire un numero indice o una serie di numeri indici è necessario affrontare problemi relativi alla grandezza di una o più variabile, alla scelta della situazione base, alla scelta di un criterio di aggregazione e alla scelta di un sistema di ponderazione. Cosa indica l’indicatore economico? L’indicatore economico non è altro che una serie statistica dalla quale si deduce uno o più fenomeni elementari che poi saranno oggetto di studio. Per ciò che riguarda la scelta delle grandezze, la scelta può essere campionaria o esaustiva e viene effettuata tenendo presente soprattutto gli obiettivi conoscitivi, ovviamente quando abbiamo una serie di indagini, noi conosciamo già l’obiettivo che vogliamo perseguire mediante lo studio di quel

caso. Poi abbiamo la scelta della situazione base, in questo caso il denominatore del rapporto definisce il numero indice che sta alla base. Nel caso invece di indici che rappresentano una variazione temporale, la funzione principale la svolge appunto il tempo, perché in presenza di determinate condizioni si verificano determinati cambiamenti. Quindi se da serie a base mobile dividendo ciascun indice a base fissa per il precedente oppure una serie di indici a base mobile al corrispondente a base fissa nel tempo r (erresimo), moltiplicando così gli indici a catena a base nel tempo ed in questo caso faremo riferimento a r+1. (min. 5.25 se vuoi riascoltare tu) Per la scelta del criterio di aggregazione le alternative sono due: una come rapporto di medie e una come media dei rapporti. In questo caso si fa riferimento o alla media aritmetica, la media geometrica o la media armonica. Ci sono alcuni vantaggi, ovvero che nel momento in cui si scegli di applicare la media geometrica si gode di particolari proprietà, vale a dire dello slittamento della base e di andare a determinare le variazioni del potere d’acquisto nell’arco temporale di riferimento. (il professore consiglia di ripassare il teorema di Lagrange)

Indice di prezzo di Laspeyres In questa formula il numeratore rappresenta la somma dei valori della quantità nel periodo base evidenziando il valore che questo (numeratore) avrebbe assunto nel momento in cui viene considerato il tempo t1. Mentre il denominatore rappresenta la somma dei valori realmente verificatosi al tempo zero t0. Indice di Paasche La sommatoria del numeratore va a rappresentare l’aggregato realmente verificatosi al tempo t1, mentre il denominatore è invece un aggregato ottenuto ipotizzando che le quantità al tempo t1 siano valutate ai prezzi al tempo t0. La differenza fondamentale è l’utilizzo della tipologia di media tra i due indici e il tempo preso in considerazione una al tempo t1 e una al tempo t0. Per gli indici basati sulla media dei rapporti possiamo dire che la media fa riferimento ai pesi in termini fisici, vale a dire che se si scelgono dei rapporti ponderati con le qualità e tempo zero si attribuirà un determinato peso al denominatore. Il metodo di Laspeyres fa riferimento al tempo t1 mentre quello di Paasche fa riferimento al tempo t0. Per quanto riguarda l’ultimo indice non è altro che la sommatoria dei due indici messi assieme. Slide riassuntiva con le diverse proprietà: - Identità  secondo la quale un numero indice relativo e periodo base uguale a 1 con potenza a 10, quindi in questo caso l’arco temporale; - Commensurabilità –> vale a dire che l’indice è indipendente dall’unità di misura delle quantità adottate; - Determinatezza  non ha detto nulla; - Proporzionalità  vale a dire che tutti i prezzi variano nella stessa proporzione quindi da 1 a r (r che indica l’indice che varia secondo il coefficiente di proporzionalità); - Reversibilità delle (fasi)?  secondo cui l’indice calcolato per la situazione r con base 1, coincide con il reciproco dell’indice calcolato nella situazione 1 quando il tempo t1 è alla base;

-

Reversibilità dei fattori  secondo cui l’indice del valore o della spesa è uguale al prodotto dell’indice dei prezzi e quello della quantità.

(Il professore dice che ovviamente bisogna conoscere le proprietà dei numeri indici ed in particolare di Laspeyres, Paasche e Fisher)

Tavola input/output Tavola input/output o matrice di Leontief  non è altro che una tabella a doppia entrata in cui sono registrati tutti i flussi di beni o servizi che sono scambiati o forniti dai diversi agenti (per agenti si fa riferimento a diversi agenti che operano in un dato sistema economico, per essere impiegati nel processo produttivo oppure vengono utilizzati senza nessuna trasformazione). La tavola nasce e si sviluppa quando si ha la necessità di andare a contabilizzare tutti i flussi (operazioni economiche) che si verificano all’interno di un determinato sistema economico ma in maniera dettagliata anche all’interno di un determinato paese. La realizzazione della tavola input/output si basa quindi sulla registrazione dei flussi di beni e servizi che intercorrono tra diversi agenti, che operano in un dato sistema economico in un determinato arco temporale. I flussi sono invece classificati seguendo due criteri interdipendenti: 1° criterio di classificazione  flusso che si basa sulla natura del prodotto o del gruppo di prodotti ed in questo caso si parla di branche; 2° criterio di classificazione  si fa riferimento alla loro natura ed in questo caso si parla di operazioni. Le grandezze all’interno della tabella vengono riportate per riga o per colonna: - facendo riferimento alle righe indichiamo la quantità - facendo riferimento alle colonne indichiamo il valore Nel primo caso infatti si possono introdurre tutte quelle relazioni analitiche basate solo sulla lettura delle righe e nel secondo caso solo le relazioni basate sulla lettura delle colonne. La tavola può quindi essere letta solo per righe o per colonne ed in base alla modalità di lettura noi perveniamo ad un risultato ben determinato. Una tavola delle interdipendenze settoriali ha una forma quadrata e può essere distinta a sua volta in 3 sezioni: 1. La prima si riferisce ai settori produttivi 2. La seconda fa riferimento ai settori finali 3. La terza fa riferimento ai settori primari La matrice è costituita da 3 quadranti mentre il 4° è vuoto (viene inserito per completezza della matrice). All’interno di questa matrice, X va ad indicare la matrice dei flussi intermedi ed è costituito in genere dalla sommatoria di tutte le righe e di tutte le colonne. In esso vengono riportate tutti i flussi di beni e servizi che hanno origine all’interno dei settori presi in considerazione (quindi dei settori produttivi considerati nel senso delle righe). In questo caso si fa riferimento a tutti i servizi impiegati all’interno del processo produttivo. Con la lettera Z si fa invece riferimento alla matrice dei flussi finali, ed è costituita in genera da N righe e da S colonne, in questo caso vengono riportati i flussi dei beni e servizi dai settori presi in considerazione che confluiscono nella determinazione del totale.

Con la lettera Y si fa riferimento invece alla matrice dei costi primari, ed è costituita da R righe e N colonne, in cui vengono riportati i redditi primari che vanno a misurare il costo dei servizi che sono stati impiegati nell’azione scaturita da un determinato paese in un determinato arco temporale. Quando leggiamo la matrice di Leontief per righe andiamo ad ottenere la sommatoria delle branche produttive, quindi perveniamo all’analisi dei ricavi. Leggendo la matrice per colonne si perviene alla sommatoria della produzione nonché dei costi sostenuti. Le righe della matrice indicano il settore che vende mentre le colonne il settore che acquista. La sezione degli impieghi intermedi, presenta le transazioni interindustriali riguardanti beni e servizi intermedi affluiti nel settore di origine. Nella sezione degli impieghi finali sono riportati i flussi di beni e servizi e dai settori di origine affluiscono agli utilizzatori finali per essere destinati al consumo, alla formazione di capitale ed all’esportazione. Quindi la somma delle righe per colonne ci permette di pervenire al totale del settore. Di conseguenza all’interno di questa matrice/tavola è possibile andare pervenire a delle relazioni analitiche di base. Tali relazioni fanno riferimento al conto di equilibrio di beni e servizi che è dato dalla somma di x+m, dalle importazioni ed esportazioni e poi si ha il conto della produzione e della distribuzione del valore aggiunto. Nel senso delle righe abbiamo il valore complessivo delle vendite del settore 1 a tutti i settori e va a rappresentare il valore dei beni intermedi prodotti ed il valore dei beni intermedi venduti. Quindi abbiamo la sommatoria di n di j con 1, di x1j. Il valore complessivo dei beni prodotti del settore 1 è destinato al soddisfacimento della domanda finale che è rappresentata da z1 ed invece l’equazione di bilancio è data dalla sommatoria di n di j con 1 , quindi da x1j + z1. Invece per quanto riguarda l’equazione dei costi si fa riferimento sia al valore complessivo degli acquisti realizzati all’interno del settore preso in considerazione ma anche dal valore complessivo dei fattori produttivi impiegati all’interno di quel settore. Per cui così si perviene all’equazione dei costi che è data dalla sommatoria di n d con 1, di xi1 + y1, ottenendo così il valore complessivo di X. (non so come cavolo si scrivano le sommatorie, in caso ascolta al minuto 9:40 circa). Per ogni settore vi è dell’uguaglianza, vale a dire l’uguaglianza di xi con x1, quindi il valore degli impieghi finali uguaglia la remunerazione dei fattori produttivi. Leggendo la tavola è possibile generalizzare l’intero sistema preso in considerazione, per cui supponiamo di mettere a sistema le varie equazioni per ogni riga e per ogni colonna ottenendo un sistema lineare. Quindi lo schema generale presentato in forma matriciale assume la configurazione esplicita riportata nella slide. (dal minuto 10 al minuto 12 legge la tabella nella slide)  Quindi xij fa riferimento al generico flusso intermedio che si origina dal settore produttivo iesimo che si trova all’interno del processo produttivo del settore utilizzatore jesimo. Invece per quanto riguarda l’ipotesi di Leontief è proprio quello che pone adij che è dato dal rapporto tra xij e xj, per cui il sistema viene riscritto, per cui le due equazioni sono indipendenti e se le due equazioni risultano indipendenti il sistema viene determinato. Quindi x poiché è data dalla soma di x+y, significa che la produzione viene utilizzata in parte per soddisfare la domanda finale che viene indicata da y ed in parte per garantire la producibilità in termini di input intermedi necessari che è data da x. All’interno di questa matrice è possibile andare a determinare anche i coefficienti di produzione ovvero la quantità di beni e servizi intermedi impiegati in una branca e direttamente proporzionale

alla quantità globale di prodotti consumata dalla medesima branca. Si assume così una relazione di tipo lineare che è data da xij che non è altro che l’ammontare del prodotto i, usato nella branca j, e da xj che è la produzione della branca j e infine da kij che rappresenta una costante. I coefficienti tecnici di produzione indicano quante unità fisiche del bene proveniente dalle branche prese in considerazione (in questo caso della branca i), sono necessarie per produrre un’unità fisica della branca j. Quindi misurare il grado di indipendenza e interdipendenza tra i due settori esprime la quantità di input iesimo necessario per ottenere un’unità di produzione del settore j. Oltre ai coefficienti tecnici è possibile andare ad individuare i coefficienti di spesa, di fatto poiché non è possibile andare ad aggregare le transazioni espresse in unità fisiche con unità di misure diverse tra di loro, i coefficienti vengono calcolati sui dati espressi in valore e prendono il nome di coefficienti diretti di spesa. La nozione di coefficiente di spesa può essere riferita anche ai fattori primari e quindi indicano quante unità monetarie del valore aggiunto nel loro complessivo (vale a dire in questo caso capitale e lavoro), sono necessari per produrre unità monetarie del bene del settore j. Ogni coefficiente di spesa va a definire il fabbisogno diretto di beni e servizi della branca per unità di produzione della branca ij. Ricapitolando: all’interno della tavola è possibile andare a determinare due tipi di equazione cioè l’equazione di costo e l’equazione di bilancio. L’equazione di bilancio è data da xi+zi=xi. Per quanto riguarda invece il modello di produzione della domanda finale la formulazione più semplice si basa sugli sviluppi successivi di tale modello, vale a dire che l’espressione che abbiamo precedentemente esplicitato cioè xij=aijx, si ricava una determinata costante che è data da ij, ovvero dal rapporto xij rapportata a xj. Tutti i valori e dati vengono presi dalla tavola input/output, questi coefficienti costituiscono la matrice dei coefficienti diretti e dei coefficienti verticali. Qual è la produzione necessaria per soddisfare una certa domanda finale? Essa è data dalla somma di ax+z rispetto ad x, a condizione che a sia una matrice quadrata. Si fa riferimento anche alla matrice inversa che deriva da i – (meno) a che moltiplica x che è uguale a z. Quindi i meno a (elevato a -1) che moltiplica i meno a che moltiplica x. A sua volta esso sarà uguale ad i meno a, -1 che moltiplica z, quindi siamo in presenza di una matrice inversa. Si moltiplica quindi la matrice inversa per il vettore della domanda finale al fine di ottenere il vettore di produzione. Quindi alfaij è il generico elemento della matrice. La matrice inversa è definita come quella matrice di coefficienti di fabbisogno diretto e indiretto dei flussi di produzione interna. Quindi con il termine aij della matrice a misuriamo l’aumento della produzione del settore i, necessario per aumentare di 1 unità la domanda del bene prodotto nel settore j. Quindi gli input totali dei fattori primari, cioè i fabb...