IV C) MAE 2019-2020 Fonctions Cobb-Douglas PDF

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Notes exhaustives relatives au cours d’économie dispensé par Mme Kaplan...

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21 C) La fonction de production Cobb-Douglas. C’est une fonction de production très utilisée pour illustrer les raisonnements économiques car elle intègre les standards de la pensée économique libérale. Elle présente en effet des rendements d’échelle constants, des rendements marginaux décroissants et ses facteurs de production sont substituables entre eux (on peut compenser la réduction de la quantité de l’un en augmentant celle de l’autre dans une certaine proportion). Je présenterai d’abord la fonction globale, puis la fonction par tête et enfin les effets que le progrès technique exerce sur elle. 1) La fonction globale. Elle établit la relation entre la production totale Y et les quantités K et L des deux facteurs:

Y = F(K ; L) = hKαLβ Avec : - α et β sont deux coefficients (dont nous verrons plus loin la signification) qui doivent toujours vérifier l’égalité : (α + β) = 1 - h est un terme qui définit le niveau technique de la transformation des facteurs. Plus h est élevé et plus la fonction de production est efficace (puisque l’on obtient davantage de production avec des mêmes quantités de facteurs). Par exemple, si h = 2, si α = 0,3 alors β = 0,7 et donc : Y = F(K ; L) = 2 ( K 0,3 L 0,7 ) et si (K ; L) = (100 ; 5) alors Y = F(100 ; 5) = 2 (100 0,3 5 0,7) = 24,56 Les fonctions Cobb-Douglas se distinguent entrent elles par les valeurs de leur coefficient technique h et de leurs exposant α et β. Elles ont toutes des rendements d’échelle constants et des rendements marginaux décroissants. Le plus souvent, nous prendrons h = 1 pour ne pas alourdir les calculs a) La constance des rendements d’échelle de la fonction Cobb-Douglas. Rappelons que d’une manière générale, les rendements d’échelle constants se formalisent ainsi : Y = F[(nK) ; (nL)] = nF[K ; L] Ce que vérifie toute fonction Cobb-Douglas ; en effet , avec Y = F(K ; L) = h(Kα Lβ) : Y = F[(nK) ; (nL)] = h [(nK)α (nL)β] = h [(nα Kα)(nβ Lβ)] = h [(nα nβ)(Kα Lβ)] = = h [n (α + β) (Kα Lβ)] = h [n(Kα Lβ)] (car α + β = 1) = nh(Kα Lβ) = nF[K ; L] Nous avons donc bien : Y = F[(nK) ; (nL)] = n F[K ; L] Ce qui signifie que la production évolue au même rythme que les quantités des deux facteurs quand celles-ci gardent entre elles leur proportion au sein de chacune des combinaisons productives. Ou autrement dit, le montant total de la production reste identique qu’elle que soit le nombre et l’échelle de grandeur des entreprises qui le fournissent, dès l’instant où la même quantité globale de facteurs est transformée et qu’elle se partage en un nombre quelconque de combinaisons productives (K ; L) pourvu que toutes conservent une même proportion entre les quantités de deux facteurs qu’elles contiennent. Exemple. Si : h = 1 ; α = 0,3 ; β = 0,7 ; K = 1000 ; L = 200 et n = 12 D’une part : Y = F[(nK) ; (nL)] = F(12000 ; 2400) = 120000,3 x 24000,7 ≈ 3889,58 D’autre part : Y = n F[K ; L] = 12 F[1000 ; 200] = 12 x 10000,3 x 2000,7 ≈ 3889,58

22 Nous sommes donc bien en présence de rendements d’échelles constants puisque Y = F[(nK) ; (nL)] = n F[K ; L] = 3889,58. Ce qui signifie, qu’à partir des quantités de facteurs K = 12 000 et L = 2400 on obtient le même montant de production Y = 3889,58, que celui-ci soit produit par une seule « grande entreprise » qui utilise la totalité des deux facteurs ou par 12 « petites entreprises » qui transforme chacune le douzième des quantités des deux facteurs. Remarque : la quantité totale produite ne serait pas la même si les quantités totales des deux facteurs n’étaient pas transformées avec des combinaisons productives aux proportions de K et de L différentes entre elles. Si par exemple les quantités totales de capital K = 12 000 et de travail L = 2400 sont transformées par 2 entreprises utilisant l’une la combinaison productive (K = 8000 ; L = 2000) et l’autre la combinaison (K = 4000 ; 400), l’on aurait : F(8000 ; 2000) + F(4000 ; 400) = [80000,3 x 20000,7 ] + [40000,3 x 4000,7 ] = 3031,43 + 798,11 = 3829,54 qui est bien un résultat différent de Y = F(12000 ; 2400) = 3889,58. Cette remarque renvoie à l’idée que : - les rendements d’échelle d’une fonction de production doivent être appréciés en conservant dans les combinaisons productives la même proportion des quantités des deux facteurs ; - la productivité d’un facteur est modifiée par la variation de la proportion de sa propre quantité avec la quantité de l’autre facteur (phénomène que nous allons retrouver au point suivant).

b) La décroissance des rendements marginaux du capital de la Cobb-Douglas globale. La fonction des rendements marginaux du capital (fonction de la productivité marginale du capital) est la dérivée première partielle F’K de la fonction globale. (L’on va dériver la fonction F(K ; L) uniquement par rapport à K, en considérant L comme une constante ; ceci pour identifier le seul effet des variations de la quantité du capital sur les variations de la productivité du capital, sans qu’interfèrent des variations de la quantité de travail.). Pour mettre en évidence que la fonction globale F (K ; L) = KαLβ est à rendements décroissants, quelles que soient les valeurs de K, il nous faut vérifier que les dérivées premières partielles par rapport au capital sont toujours positives et que les dérivées secondes partielles sont toujours négatives, quelles que soient les quantités de capital utilisées. •

La dérivée première partielle par rapport au capital est : F’K = α K (α – 1) L β comme (α + β) = 1

alors : (α – 1) = - β

on a donc : F’K = α K -β Lβ = α(L/K) β

qui est positive quels que soient K et L.

A partir de cette dernière expression de F’K, on n’oubliera pas de remarquer, pour faire pendant à la remarque du point précédent, que la productivité marginale du capital diminue si sa quantité augmente davantage que celle du travail (puisque L est au nominateur et K est au dénominateur) et que symétriquement, la productivité marginale du capital augmente si la quantité de travail augmente plus que la quantité de capital. •

La dérivée seconde par rapport au capital est la dérivée de la dérivée première: F’’K = - αβK (β – 1) Lβ qui est donc toujours négative quel que soit K.

c) La décroissance des rendements marginaux du travail de la Cobb-Douglas globale. A partir des mêmes principes de la dérivation des fonctions, il nous faut vérifier que la dérivée première par rapport au travail est toujours positive et que la dérivée seconde par rapport au travail est toujours négative.

23 •

La dérivée première partielle par rapport au travail est : F’L = βK α L (β – 1) comme (α + β) = 1 alors (β – 1) = - α

on a donc : F’L = βK α L – α = β (K/L)α

qui est positive quelque soient K et L.

A partir de cette dernière expression de F’L qui représente la fonction de productivité marginale du travail, on constate ici aussi que celle-ci diminue si la quantité de travail augmente davantage que celle du capital (puisque K est nominateur et L est au dénominateur) et que symétriquement, la productivité marginale du travail augmente si la quantité de capital augmente plus que la quantité de travail. •

La dérivée seconde par rapport au travail. F’’L = - αβK α L (β – 1)

elle est toujours négative quel que soit L.

2) La fonction Cobb-Douglas par tête. Définir une « fonction de production par tête » consiste à diviser la fonction par la quantité de travail employée. Cette méthode a l’avantage de condenser les deux variables travail et capital en une seule : le « capital par tête » généralement noté : k = K/L La fonction par tête, ainsi réduite à une seule variable, peut être représentée par une courbe dans un repère à deux dimensions portant le capital par tête k en abscisses et la « production par tête » notée : y = Y/L en ordonnées. (Ce qui ne peut être le cas de la fonction Cobb-Douglas globale qui comprend deux variables et doit donc être représentée dans un repère en trois dimensions, plus difficile à tracer et à concevoir). On notera que la production par tête y = Y/L est la productivité moyenne du travail. La fonction Cobb-Douglas par tête illustrée par une courbe en un repère en deux dimensions, facilite les représentations graphiques des phénomènes économiques. Nous l’emploierons abondamment dans la suite du cours, en particulier lorsque nous aborderons les questions liées à la « répartition de la production » entre les apporteurs des facteurs travail et capital. Tout de suite, je traiterai de la transformation de la fonction globale en la fonction par tête. Puis après l’avoir représentée graphiquement, nous aborderons les effets qu’exerce sur elle le progrès technique et les déformations qu’il imprime à sa courbe. Pour toute fonction de production Y = F(K ; L) , sa « fonction de production par tête » est sa « fonction de productivité moyenne du travail » : y = Y/L = F(K ; L)/L . Avec les fonctions Cobb-Douglas : Y = F(K ; L) = h (Kα Lβ) nous aurons donc : y = Y/L = F(K ; L)/L = h (Kα Lβ)/L = h(Kα Lβ L -1 ) (puisque, comme nous avons revu dans les rappels de mathématiques : 1/L = L -1 ). Or : h(Kα Lβ L -1 ) = h(Kα L(β – 1)) et comme (α + β) = 1 -------> (β – 1) = - α -------> y = h(Kα L (β – 1) ) = h(Kα L -α ) = h(K/L)α = h kα ( avec k = (K/L) = capital par tête ) En résumé : La fonction Cobb-Douglas par tête y = f(k) = Y/L = F(K ; L)/L = h(K/L)α = h kα a) Caractéristiques de la fonction Cobb-Douglas par tête. Elle possède les mêmes caractéristiques que la fonction globale dont elle est issue, à savoir : •

Des rendements d’échelle constants.

Cela signifie que, par la fonction de production Cobb-Douglas par tête, la transformation d’une combinaison productive n’est ni plus, ni moins efficace que la transformation de n combinaisons

24 productives dont les quantités de capital et de travail sont chacune n fois plus petites. Comme la fonction Cobb-Douglas par tête définit la productivité moyenne du travail, la constance de ses rendements d’échelle indique que la productivité moyenne du travail est la même dans une entreprise de petite taille transformant une combinaison productive n fois plus petite que celle transformée dans une entreprise n fois plus grande.

𝑦 = 𝑓(𝑘) = 𝑓 ( ) = 𝑘 𝛼 est la productivité moyenne du travail dans la « grande » entreprise 𝐿 transformant la combinaison productive (K ; L) par la fonction Cobb-Douglas par tête 𝑓(𝑘) = 𝑘 𝛼 . 𝐾

𝐾

𝑓 [ 𝑛𝐿 ] est la productivité moyenne du travail dans la « petite » entreprise transformant la 𝑛

combinaison productive [(K/n) ; (L/n)] par la même fonction Cobb-Douglas par tête 𝑓 . 𝐾

En développant 𝑓 [ 𝑛𝐿 ] : 𝑛

𝐾 𝐾 𝛼 𝐾 𝑛 𝛼 𝐾𝛼 𝐾 𝑛 𝑛 𝑓 [ ] = [ ] = [( ) ( )] = [ ] = 𝑓 ( ) = 𝑓(𝑘) = 𝑘𝛼 𝐿 𝐿 𝑛 𝐿 𝐿 𝐿 𝑛 𝑛

La productivité du travail dans la petite entreprise est donc identique à celle de la grande entreprise ; les rendements d’échelle de la fonction Cobb-Douglas par tête sont bien constants. •

Des rendements marginaux décroissants.

En effet : f(k) = f(K/L) = kα a pour dérivée première : f’(k) = αk(α - 1) qui est toujours positive quelle que soit la valeur de k. La fonction Cobb-Douglas par tête est donc toujours croissante. Et la dérivée seconde est f’’(k) = (α – 1)αk(α – 2) qui est toujours négative car (α – 1) = - β. Le coefficient de f’’ : (α – 1)α = - βα est toujours négatif ; en conséquence toutes les valeurs prises par la dérivée seconde sont toujours négatives. Avec des dérivées premières toujours positives et des dérivées secondes toujours négatives, les fonctions de production Cobb-Douglas par tête sont donc des fonctions croissantes à taux décroissants présentant ainsi des rendements marginaux du capital par tête toujours décroissants. b) Représentation graphique d’une fonction Cobb-Douglas par tête. L’axe des ordonnées indique les montants de la production par tête y obtenus à partir des valeurs du capital par tête k = K/L inscrites en abscisses. La courbe a la forme significative des fonctions de production à rendements marginaux décroissants : sa pente diminue au fur et à mesure que le capital par tête s’accroît. Cela indique une augmentation de la production par tête toujours plus réduite. Prenons un point quelconque de la courbe : ici le point A qui a pour abscisse k* et pour ordonné y*. La pente de la tangente verte, en A, est égale à la valeur y’ de la dérivée de la fonction par tête y = f(k) = k α. La valeur de cette dérivée est : y’ = f’(k) = αk(α – 1) = αk-β = α/kβ . Elle est égale à la productivité marginale du capital par tête en ce point. On remarque à nouveau que la productivité marginale du capital par tête diminue lorsque le capital par tête augmente, puisque k β est au dénominateur de la fonction de productivité marginale ; cela explique que les tangentes sont de plus en couchées pour les points situés de plus en plus haut le long de la courbe. Si par exemple : α = 0,3 et k* = 200 alors : y1 = kα = 200 0,3 = 4,90127

25 y1’ = α/kβ = 0,3/2000,7 = 0,00735 Ce qui signifie qu’au point A, une unité supplémentaire de capital par tête accroît la production par tête de 0,00735 unité ; elle sera donc y = 4,90127 + 0,00735 = 4,90862. La pente de la droite rouge qui passe par l’origine du repère et par le point A est égale à y1/k*. Elle est donc égale à la valeur de la productivité moyenne du capital par tête k*.

c) Les effets du progrès technique sur la Cobb-Douglas par tête. Le progrès technique permet d’obtenir une production plus importante avec un même capital par tête, ou, ce qui revient au même, d’obtenir la même production avec un capital par tête moindre. Avec une Cobb-Douglas, le progrès technique augmente le coefficient multiplicateur h qui est tel que Y = F(K ; L) = h Kα Lβ . Ce coefficient h se retrouve dans la Cobb-Douglas par tête : y = f(k) = F(K ; L)/L = h (Kα Lβ)/L = h (K/L)α = h kα Si h augmente sous l’effet du progrès technique, toutes les productions par tête correspondant à chacune des valeurs que peut prendre le capital par tête en abscisse, augmenteront proportionnellement ; ce qui se traduira par une élévation de la courbe qui gardera cependant son point d’encrage en l’origine du repère. (voir graphique ci-dessous) La nouvelle production par tête y2 est l’ordonnée du point B situé sur la nouvelle courbe jaune et qui a pour abscisse k* ; elle est supérieure à y1. En B la tangente à la courbe est plus pentue ainsi que la droite violette venant de l’origine : les productivités marginale et moyenne du capital par tête ont donc augmenté avec le progrès technique dans la même proportion. Nous utiliserons ce résultat important lors de l’étude de la répartition de la valeur produite entre les propriétaires des facteurs de production. Exemple : Reprenons le cas du point A situé sur la courbe initiale (avant l’arrivée du nouveau progrès technique). En A, nous avions : y1 = kα = 200 0,3 = 4,90127 et y1’ = α/kβ = 0,3/2000,7 = 0,00735

26 La fonction de production est ensuite rendue plus efficace par l’arrivée du nouveau progrès ; sa courbe en est déformée et devient la courbe rouge. Supposons que ce nouveau progrès technique a élevé de 30% l’efficacité de la fonction de production initiale. Cela signifie que la nouvelle fonction de production est de la forme : y = 1,3 kα . Le progrès technique a fait passé le coefficient multiplicateur h de sa valeur initiale de 1 à 1,3. Désormais : - la nouvelle production par tête y2 = f(k) = 1,3k0,3 et donc f(200) = 1,3 (200 0,3) = 6,37165 - la nouvelle productivité marginale du capital par tête : y2’ est 30% supérieure à celle en A ; elle est désormais : y2’ = 1,3 (0,3/2000,7) = 0,00955 - la nouvelle productivité moyenne du capital par tête est elle aussi 30% plus élevée que la précédente : y2/k* = 6,37165/200 = 0,03185 = 1,3 (y1/200) = 1,3(4,90127/200) = 1,3( 0,024506) = 0,03185...