Integration des fonctions (2) PDF

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5 Exercices sur les intégrales ...

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L1 Portail BECV, Cours de Math´ematiques

Universit´e de Rennes 1, 2018-2019

Feuille 7 : Int´ egration 2 Int´ egration par parties On rappelle la formule d’int´egration par parties : Z Z u(x)v ′ (x)dx = u(x)v(x) − u′ (x)v (x)dx, En particulier, le membre de droite est une primitive de la fonction uv ′ . Exercice 1. R 2π 1. Donner une primitive de f (x) = x cos x et calculer 0 f (x) dx. R 10 2. Donner une primitive de f (x) = x ln x et calculer 1 f (x) dx. Exercice 2. On veut calculer

R1 0

arctan x dx.

1. Donner une primitive de f (x) = arctan x en int´egrant par parties. 2. En d´eduire que

Z

1

arctan x dx =

0

π − 4

Z

0

1

x dx 1 + x2

2

3. Calculer la d´eriv´ee de ln(1 + x ). R1 x 4. En d´eduire la valeur de 0 1+x 2 dx. R1 5. Donner la valeur de 0 arctan x dx. Exercice 3. (*) Calculer

R1 0

x2 ex dx en int´egrant deux fois par parties.

Reconnaissance de primitives Exercice 4. On veut calculer

R2

x2 −1 xe

dx. 2

1. Trouver une fonction u(x) et un nombre a ∈ R tels que xex = a × u′ (x)eu(x) . 2

2. En d´eduire une primitive de xex `a l’aide de a et des fonctions ex et u(x). R2 2 3. Donner la valeur de −1 xex dx. Exercice 5. Calculer de mˆeme : Z 3 Z I1 = x2 cos x3 dx , I2 = 2

x3 dx , I3 = 4 −1 2 + x 1

Z

0

π

cos(θ) sin3 (θ) dθ....