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Übung zur Integration
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1. DefinitionundgrundlegendeEigenschaftendesIntegrals 2. Stammfunktionen 3. BerechnungvonIntegralenundFlächen

DiesesKapitel(ohneTrainings-undQuizaufgaben)alspdf-Dokumentherunterladen.(>6MB) WennSiedenken,dassSiedenInhaltdesKapitelsschonbeherrschen,könnenSiedirektmitder Schlussprüfungfortfahren.

SieverstehendasIntegralalsorientierterFlächeninhalt(Abschnitt 1 ). SiekönnendasIntegralalsRekonstruktioneinesBestandesausderÄnderungsrateinterpretieren (Abschnitt 1 ). SieverstehendenZusammenhangzwischendembestimmtenIntegralundObersummenund Untersummen(Abschnitt 1 ). SiekennendenBegriffderStammfunktion(Abschnitt 2 ). SiekönnendieStammfunktiongrundlegenderFunktionenbestimmen(Abschnitt 2 ). SiekönnendieSummen-undFaktorregelzurBerechungvonStammfunktionenanwenden(Abschnitt 2 ). SiekennendenZusammenhangzwischendembestimmtenIntegralundStammfunktionenvon Funktionen(Abschnitt 2 ). SiekönnenbestimmteIntegralemitHilfevonStammfunktionenberechnen(Abschnitt 3 ). SiekönnendieFlächezwischenzweiKurvenberechnen(Abschnitt 3 ).

IndiesemKapitelwerdendieGrundlagender Integralrechnungbehandelt.ImerstenAbschnittwirddas bestimmteIntegralals orientierterFlächeninhalt eingeführt.DieDefinitiondesIntegralserfolgtmitHilfe vonObersummenundUntersummen .DasIntegraldermomentanenÄnderungsrate(Ableitungeiner Funktion)kannzurRekonstruktionvonFunktionswertenverwendetwerden.

StammfunktionenunddasunbestimmteIntegralwerdenimzweitenAbschnittbehandelt.Der Hauptsatz derDifferential-undIntegralrechnungstelltdenZusammenhangzwischenStammfunktionenunddem bestimmtenIntegralher. DerdritteAbschnittbehandeltdieBerechnungvonbestimmtenIntegralenmitHilfevonStammfunktionen unddieVerwendungvon linearenSubstitutionen.SchließlichwirdauchdieBerechnungder(positiven)

x FlächezwischendenGraphenvonzweiFunktionenbzw.zwischeneinerFunktionundder -Achseerläutert.

ZurVereinfachungderNotationunterscheidenwirindiesemKapitelnicht zwischen Funktionen,Funktionsvorschriftenund Funktionsgleichungen. StattFunktion f  mitf (x)

= . . . schreibenwiraucheinfach Funktionf (x) = . . .

EineStammfunktionvon f beziehungsweise f (x)bezeichnenwirinderRegelmit Fbeziehungsweise

NochFragen?DannschauenSiebitteinsForumoderfragenperSkypebeiOMB+tutor(ombplus).

F(x).

1. DasbestimmteIntegralalsFlächeninhaltmitVorzeichen 2. DasIntegraleinerÄnderungsrate 3. ObersummenundUntersummen 4. EigenschaftendesIntegrals

WennSiedenken,dassSiedenInhaltdesAbschnittsschonbeherrschen,könnenSiezudenzugehörigen Übungs-,Trainings-undQuizaufgabengehen.

 NachdiesemAbschnitt verstehenSiedasIntegralalsorientierterFlächeninhalt, könnenSiedasIntegralalsRekonstruktioneinesBestandesausderÄnderungsrateinterpretieren, verstehenSiedenZusammenhangzwischendembestimmtenIntegralundObersummenund Untersummen.

ImFolgendennehmenwirstetsan,dass aund breelleZahlensindund

∫a

b

a < bgelte.DasbestimmteIntegral

f (x) dxeinerFunktion f (x)gibtden FlächeninhaltmitVorzeichen(orientierterFlächeninhalt)an,dieder GraphderFunktionmitder x-AchsezwischendenIntegrationsgrenzen aund b einschließt,wobeidie Flächenteileoberhalbder x-Achse positiv unddieFlächenteileunterhalbder x-Achse negativindasIntegral

eingehen.

DasIntegral ∫

b

a

f (x) dxistindiesemBeispieldieSummevondreiorientiertenFlächeninhalten.Dererste

unddritteFlächeninhaltoberhalbder x-Achsezählenpositiv,derzweiteFlächeninhaltunterhalbder -Achse x zähltnegativ.

SchreibweisedesbestimmtenIntegrals FürdasIntegralderFunktion f (x)indenGrenzenvon abis bschreibtman b

∫

f (x) dx .

a

a und bsinddie Integrationsgrenzen,x istdieIntegrationsvariable ,f (x) derIntegrandund dxdas Differential .

DasIntegralzeichen ∫ istausdemSummenzeichen summiert,d.h.ProduktevonFunktionswerten Intervallbreite dx.

∑entstanden:eswerdenRechtecksflächenmitVorzeichen

f (x)alsHöhedesRechtecksundeinerkleinen(infinitesimalen)

BesonderseinfachlassensichIntegralevonkonstantenFunktionenbestimmen.DasIntegraleinerkonstanten Funktionf (x)

= cisteineorientierteRechtecksflächederBreite b − aundderpositivenodernegativenHöhe

c. b

∫

c dx = c · (b − a)

a

DasIntegralderkonstantenFunktion f (x)

= −4indenGrenzenvon −1bis 2istgleich −12.

2

∫

−4 dx = (−4) · (2 − (−1)) = (−4) · 3 = −12

−1

IntegralevonlinearenFunktionen f (x)

= mx + bkönnengeometrischdurchSummenvon

vorzeichenbehaftetenRechtecks-undDreiecksflächenbestimmtwerden.Im nächstenAbschnitt werdenwir IntegralevonlinearenFunktionenzusätzlichauchmitHilfeeinerStammfunktionberechnen.

DasIntegralderFunktion f (x)

= 2x + 1indenGrenzenvon −1bis 2isteineSummevonzwei

x = −1 undx = −0,5 gehtmitnegativem,derFlächeninhaltdesgroßenDreieckszwischen x = −0,5und x = 2 gehtmitpositivemVorzeichenindasIntegralein.DerFlächeninhalteinesDreiecksbeträgt 1 Breite Höhe. · · 2 DreiecksflächenmitunterschiedlichemVorzeichen.DerFlächeninhaltdeskleinenDreieckszwischen

∫

2

(2x + 1) dx =

−1

1 (0, 5 · (−1)) + 1 (2, 5 · 5) = 6 2 2

t DerNamederIntegrationsvariablen( x, ,...)hatimbestimmtenIntegralkeineBedeutung: b

∫ a

b

f (x) dx =

∫ a

b

f (t) dt =

∫

f (u) du = . . .

a

t BeiIntegralenübereinZeitintervallwirdhäufigdieVariable verwendet.

DieIntegrationhateineengeBeziehungzurAbleitungeinerFunktionundkannalsihreUmkehrungangesehen werden.WenndiemomentaneÄnderungsrateeinerFunktion(d.h.ihreAbleitung)gegebenist,soliefertdie

IntegrationderAbleitungdieursprünglichenFunktionswerte,odergenauergesagt:dasIntegralvon Grenzenvon abis bergibtdiegesamteÄnderung f (b)

inden f ′ (x)

− f (a)derFunktionswerte.

DiezeitabhängigeGeschwindigkeit v(t)einesObjektesseigegeben.DieGeschwindigkeit

v(t)istdie

[t; t + Δt]beträgtdieWegänderung näherungsweise Δs = v(t) · Δt.DiesentsprichteinerkleinenRechtsecksflächederBreite Δt undderHöhe AbleitungderWegfunktion s(t).FüreinkleinesZeitintervall b

v(t) .DannliefertdasIntegral ∫a v(t) dtdieSummationderWegänderungenundsomitdiegesamte Weglänge s = s(b) − s(a),diezwischendenZeitpunkten t = aund t = bzurückgelegtwurde.Die Weglänge sentsprichtdermarkiertenFläche.

Funktionen,dieeineAbleitungbesitzen,heißen differenzierbar .DerfolgendeSatzgiltfürdifferenzierbare FunktionenmitstetigerAbleitung,d.h.fürFunktionen,derenAbleitungkeineSprüngebesitzen.Diese VoraussetzungistindenmeistenFällenerfüllt.

Wenn f (x)differenzierbaristundeinestetigeAbleitung f ′(x)besitzt,soliefertdieIntegrationvon Intervall [a; b]dieDifferenz f (b)

− f (a),d.h.dieÄnderungvon f (x)zwischendenStellen

:

b

∫ a

f ′(x) dx = f (b) − f (a) .

f ′ (xim ) x = aund x = b

Erläuterung DerSatzfolgtausdemHauptsatzderDifferential-undIntegralrechnung(siehefolgenderAbschnitt),der indiesemKursabernichtbewiesenwird.WarumistdieAussagedesSatzesplausibel?

= f (x) undbetrachteteinkleinesTeilintervall [x; x + Δx]von [a; b],sobeträgtdie DifferenzderFunktionswerte Δy = f (x + Δx) − f (x).ÄhnlichwieimBeispiel 1.5 ist Δy näherungsweisegleich f ′(x) · Δx.ZerlegtmandasIntervall [a; b]inTeilintervallederBreite Δx,so Setztmany

b

→ 0)daherdasIntegral ∫a f ′(x) dx.Andererseits liefertdieSummationder Δy = f (x + Δx) − f (x)aberauchdiegesamteÄnderung f (b) − f (a)der Funktionswertezwischen aund b. ergibtdieSummationder Δy(imGrenzwert Δx

1 2

x 2 + 1ist f ′ (x) = x.IntegriertmandieAbleitung f ′(x) = xvon 0bis 1,soerhältmandenpositivenFlächeninhalteinesDreiecksderBreiteundHöhe 1,sodassgilt DieAbleitungderFunktion f (x)

=

∫

1

x dx =

0

1 1 ·1·1= . 2 2

AndererseitsistdiegesamteÄnderung(derZuwachs)derFunktionswertevon

x = 0und x = 1gleich f (1) − f (0) =

3 2

−1=

f (x)zwischendenStellen

1 .ManerhältindiesemBeispielalso 2

1

∫

f ′ (x) dx = f (1) − f (0).

0

WenndiemomentaneÄnderungsrate f ′ (x)einerFunktion

f (x)gegebenist,sobietetdieIntegrationvon f ′ (x) alsoeineMöglichkeitderBestimmungoderRekonstruktionderFunktion.SoferneinAnfangswert f (a) gegeben ist,lässtsichjederWert f (b)ausrechnen: b

f (b) = f (a) +

∫ a

Anwendungen:

f ′ (x) dx.

Energie DasIntegralüberdieLeistung P(t)(ArbeitproZeiteinheit,d.h.dieAbleitungderArbeitnachderZeit) ergibtdieimZeitintervall [0; T ]verrichteteArbeit W(aufgewendeteEnergie).DerAnfangswert(d.h. dieEnergiebei t

= 0)isthiergleich 0. T

W=

∫

P(t) dt

0

Ladung BeimAufladeneinesKondensatorsübereinenWiderstandergibtdasIntegralüberdenStrom

I(t)

(LadungproZeiteinheit,d.h.dieAbleitungderLadungnachderZeit)dieLadungsmenge Q ,dieder KondensatorzumZeitpunkt Tspeichert,sofernerbei

t = 0völligentladenwar(Anfangswertgleich

0). T

Q=

∫

I(t) dt

0

Volumen

f (t)(VolumenproZeiteinheit,d.h.dieAbleitungdes VolumensnachderZeit).DasIntegralüber f (t)ergibtdasVolumen V(dieWassermengeimBehälter) zumZeitpunkt T ,sofernderBehälterbei t = 0leerwar(Anfangswertgleich 0). DieZulaufrateeinesWasserbehälterssei

T

V=

∫ 0

f (t) dt

Kosten DieGrenzkostensinddiejenigenKosten,diedurchdieProduktioneinerzusätzlichenMengeneinheit einesProduktesentstehen.DieGrenzkostenfunktionfürdieHerstellungeinesbestimmtenProduktes sei f (x).DannkönnendieKosten KfürdieProduktionvon NEinheitendurchIntegrationder GrenzkostenundAdditonderFixkosten

K0bestimmtwerden. N

K = K0 +

∫

f (x) dx

0

DasIntegralentstehtdurchSummationvonRechtecksflächenmitVorzeichen,welchedengesuchten orientiertenFlächeninhaltapproximieren.ZurBestimmungdesIntegralszerlegtmandasIntegrationsintervall

[a; b] innTeilintervallederBreite Δxk,mit k ∈ {1; 2; . . . ; n}.AufdiesenIntervallenermitteltmanjeweils denkleinstenFunktionswert mkunddengrößtenFunktionswert M k.ManerhältjeTeilintervallzweiorientierte Rechtecksflächen, mk · Δ xk und M k · Δ x k.DieSummationliefertdie Untersumme U(Z) unddieObersumme  O(Z).DieWertehängenvondergewähltenZerlegung ZdesIntervalls [a; bab. ] n

n

U(Z ) = ∑ mk · Δx k und O(Z ) = ∑ Mk · Δx k . k=1

k=1

DergesuchteIntegralwertliegt zwischenderUntersummeundderObersumme.DieAbschätzungdesIntegrals mitHilfederUntersummeundObersummeistumsogenauer,jekleinerdieTeilintervallesind,d.h.jefeinerdie Zerlegungist.

LinkswirddasIntegrationsintervall [0; 2]inzweiTeilintervalleundrechtsinzehnTeilintervalleaufgeteilt. DieUntersummeistdiedunkelgefärbteFläche,dieObersummeistdiehellgefärbteplusdiedunkelgefärbte Fläche.InbeidenFällenliegtderwahreIntegralwertzwischenderUntersummeundderObersumme.Mit zehnTeilintervallenwirdabereinebessereNäherungalsmitzweiTeilintervallenerzielt.



= x 2 + 1unddieIntegrationsgrenzensind a = 0und b = 2.Beider AufteilunginzweiTeilintervalle(linkerGraph)wirddasIntervall [0; 2]inzweiTeilintervalle [0; 1] und [1; 2] zerlegtundfürdieseZerlegungdieUntersumme U( Z 2)unddieObersumme O(Z 2 berechnet.Die ) Intervallbreiteist 1,derkleinsteFunktionswertliegtamlinkenRand,dergrößteamrechtenRand.Man InobigemBeispiel1.9ist f (x)

erhält:

U(Z2 ) = f (0) · 1 + f (1) · 1 = 1 + 2 = 3 und O(Z2 ) = f (1) · 1 + f (2) · 1 = 2 + 5 = 7.

InderfolgendenDefinitionwirdderBegriffderbeschränktenFunktionverwendet.EineFunktion ist f

beschränkt,fallseseineZahlR > 0gibt,sodass −R ≤ f (x) ≤ Rfüralle xinihremDefinitionsbereichgilt.

Seif (x) eineaufdemIntervall [a; b]beschränkteFunktion. fheißtintegrierbaraufdemIntervall

[a; b,falls ]

sichUntersummeundObersummedurchVerfeinerungderZerlegungbeliebiggenauannähernlassen,d.h. fallseszujedervorgegebenenZahl ε

> 0(undseisienochsoklein)eineZerlegung ZndesIntervalls [a; b]

in nTeilintverallegibt,sodass

0 ≤ O(Zn ) − U(Zn ) ≤ ε gilt. Istf integrierbarauf [a; b],sogibteseineeindeutigereelleZahl

∫a

b

f (x) dx,dieals Integralvon f von a

nach bbezeichnetwird,sodass b

U(Z ) ≤

∫

f (x) dx ≤ O(Z )

a

füralleZerlegungen ZdesIntervalls [a; b]inendlichvieleTeilintervallegilt.

DasIntegralkannalsomitHilfevonObersummenundUntersummendefiniertwerden.ZurBerechnungdes IntegralseinerintegrierbarenFunktion flässtmandieBreitederTeilintervalleimmerkleinerwerden. SchließlichergibtsichdanndergesuchteIntegralwert.DaesweitereIntegralbegriffegibt,sprichtmanhierbei vomRiemann-Integral.

Wirbetrachtenweiterhin f (x)

= x 2 + 1undunterteilen [0; 2]nunin 10TeilintervallederBreite

1 (siehe 5

Beispiel 1.9 ).DerminimaleFunktionswertliegtjeweilsamlinkenRandjedesTeilintervalls.DieUntersumme istdaher:

1 2 3 4 6 7 8 9 1 U( Z10) = (f (0) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + f (1) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( )) · . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 MitHilfeeinerWertetabellelässtsichdiesleichtausrechnen:

U(Z10 ) =

107 25

= 4, 28.

DermaximaleFunktionswertliegtjeweilsamrechtenRandderTeilintervalle.DieObersummeistdaher:

1 2 3 4 6 7 8 9 1 O(Z 10 ) = (f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + f (1) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + f (2)) · . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ManerhältO( Z10 )

=

127 25

= 5, 08.DerwahreIntegralwert,denwirmitfeinerenZerlegungen(odermit

HilfeeinerStammfunktionim nächstenAbschnitt )ausrechnenkönnen,beträgt 2

∫0

( x2 + 1) dx =

14 3

≈ 4, 67 .

WelcheFunktionensindintegrierbar?AllestetigenFunktionenwiePolynome,dieExponentialfunktion

x e,die

trigonometrischenFunktionen sin(x), cos(x)unddieBetragsfunktionsindintegrierbarüberbeliebigen Intervallen [a; b].EineFunktion y

= f (x)ist stetig,wennkleine(infinitesimale)Änderungendes x-Wertesnur zukleinen(infinitesimalen)Änderungendes y-Wertesführen.SolcheFunktionenbesitzenkeineSprüngeder Funktionswerte. AußerdemsindsogarstückweisestetigeFunktionenintegrierbar,dieabschnittsweiseausstetigenFunktionen zusammengefügtwerden(sieheBeispiel1.15).

ÜberDefinitionslückendarfnichthinwegintegriertwerdenundauchIntegraleüberunbeschränkteIntervalle wiez.B.[0; ∞) oderIntegraleunbeschränkterFunktionensindzunächstnichtzugelassen.IndiesenFällen kannderFlächeninhaltunendlichgroßoderunbestimmtsein.Manchmalexistiertaberein uneigentliches

Integral,daswirhiernichtbehandeln.

−1 4 1 1 dx 1 dx hateineLücke(Polstelle)bei x = 0.DieIntegrale und x2 −3 x 2 2 x2 1 1 1 existieren,nichtaber dxoder 0 x12 dx,da x = 0dannimIntegrationsintverall(bzw.amRanddes −1 x 2

DieFunktion f (x)

∫

=

∫

∫

∫

Intervalls)liegt.

DasIntegralistadditivbezüglichdesIntegrationsintervalls:

FürreelleZahlen a

< b < cundeineaufdemIntervall [a; c]integrierbareFunktion f (x)gilt: b

∫ a

c

f (x) dx +

∫ b

c

f (x) dx =

∫ a

f (x) dx .

WirbetrachteneineabschnittsweisedefinierteFunktion

f (x) =

f (x):

x, x ∈ [0; 1) { 2x, x ∈ [1; 2]

f (x)hatalsoeineSprungstellebei x = 1.AndenübrigenStellenistsieaberstetig.Daherist f (x)auf [0; 2] integrierbarunddasIntegralergibtsichdurchSummederIntegralevon 0bis 1 undvon 1 bis 2 .Daserste IntegralistdurcheineDreiecksflächeunddaszweitedurcheineTrapezflächegegeben,dieman beispielsweisealsSummeeinerRechtecks-undeinerDreieicksflächeberechnenkann.DieFlächeninhalte dermarkiertenKästchenlassensichauchdirektausderAbbildungablesen.AlleIntegralesindpositiv,da

f (x) ≥ 0fürx ∈ [0; 2] gilt.

∫ 0

1

f (x) dx +

∫

2

f (x) dx =

1

FürdieIntegrationsgrenzen aund bgiltüblicherweise

a>

b:

1 1 7 (1 · 1) + 1 · 2 + (1 · 2) = 2 2 2

a < b.ManbetrachtetaberauchdieFälle a = bund

Wenn f (x)aufdemIntervall [a; b]mit a

< bintegrierbarist,danndefiniertmanauffolgendeWeisedas

IntegralmitvertauschtenGrenzen:

a

∫

b

f (x) dx = −

b

Außerdemsetztman ∫

a

a

∫

f (x) dx .

a

f (x) dx = 0 .

WarumändertmandasVorzeichen?BeiderIntegrationvon bnach a(d.h.innegativer -Richtung)ändertsich x dieOrientierungunddaherdasVorzeichendesIntegrals.EineweitereBegründungliefertdieAdditivitätdes IntegralsbezüglichderIntegrationsgrenzen:

b

∫ a

a

f (x) dx +

∫ b

a

f (x) dx =

∫

f (x) dx = 0.

a

NochFragen?DannschauenSiebitteinsForumoderfragenperSkypebeiOMB+tutor(ombplus).

GegebenseidieFunktion f (x) b

= − 12 x + 2undihrGraph(sieheunten).GesuchtistderWertdesIntegrals

∫ f (x) dx fürverschiedeneGrenzen aund b.LösenSiedieAufgabegeometrisch! a

4...