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32 Mehrdimensionale Integration 32.1 Parameterintegrale In diesem Kapitel geht es darum, Integrale von Funktionen in mehr als einer Variablen zu bestimmen. Als ersten Schritt betrachten wir dazu parameterabhängige Integrale. Sei Q = [a, b] ⇥ [c, d] ein Rechteck und f : Q ! R eine stetige Funktion. Für jedes x 2 [a, b] wird dann durch Zd F (x) Õ f (x, y) dy, x 2 [a, b] , c

eine Funktion F auf [a, b] definiert. Diese wollen wir untersuchen. 1

Satz Sei Q = [a, b] ⇥ [c, d] ein abgeschlossenes Rechteck. (i) Ist f : Q ! R stetig, so ist die Funktion Zd F : [a, b] ! R, F (x) Õ f (x, y) dy c

ebenfalls stetig. (ii) Ist f partiell nach x stetig differenzierbar, so ist auch F stetig differenzierbar, und es gilt Zd F 0 (x) = fx (x, y) dy. c

Man darf also ›unter dem Integral differenzieren‹. œ

(c)-machobs:

32.1

16

32 — M ehr di me nsi on a l e In t e gr a t i on

hhhhh

(i)

Für x, x + h 2 [a, b] gilt Zd  Z   d  f (x + h, y) dy  f (x, y) dy  |F (x + h)  F (x)| =   c c Z   d   = (f (x + h, y)  f (x, y) dy   c Zd    ‡ f (x + h, y)  f (x, y) dy. c

Als abgeschlossene und beschränkte Menge istQ kompakt. Also ist f auf Q gleichmäßig stetig, und zu jedem " > 0 existiert ein  > 0 , so dass |f (x + h, y)  f (x, y)| < ",

|h| < ,

auf ganz Q . Damit erhalten wir Zd |F (x + h)  F (x)| ‡ " dy = "(d  c),

|h| < .

c

Also ist F stetig auf [a, b] . (ii) Nach Voraussetzung ist fx stetig. Also gilt mit dem Mittelwertsatz Zd F (x + h)  F (x) f (x + h, y)  f (x, y) = dy h h c Zd = fx (x + ⌘, y) dy c

mit einem ⌘ zwischen 0 und h , das noch von y abhängt. Mit h ! 0 gilt auch ⌘ ! 0 . Mit der unter (i) gezeigten Stetigkeit in x konvergiert die rechte Seite also für h ! 0 , und es gilt

F (x + h)  F (x) = lim h h!0

Zd c

fx (x, y) dy.

Also istF differenzierbar mit Ableitung wie behauptet. Außerdem istF 0 ebenfalls stetig. iiiii 2

Satz von Fubini Z b ✓Z d a

c

Ist f : [a, b] ⇥ [c, d] ! R stetig, so gilt Z d✓Z b Zb ◆ ◆ f (x, y) dx dy. F (x) dx = f (x, y) dy dx = a

c

a

Man darf also die Reihenfolge der Integration vertauschen. œ hhhhh

Betrachte die Hilfsfunktion Zx h(x, y) Õ f (t, y) dt. a

Aufgrund des Hauptsatzes der Differenzialrechnung isth nach x stetig differenzierbar, und es gilt hx (x, y) = f (x, y). 32.2

(c)-machobs:12.11.2019 — 17:33

32.1 — P a ra me t e rin t e gr a le

17

Die Funktion H(x) Õ

Zd c

h(x, y) dy =

ZdZx a

c

f (t, y) dt dy

(1)

ist aufgrund des vorangehenden Satzes somit nach x differenzierbar, mit Zd Zd H 0 (x) = hx (x, y) dy = f (x, y) dy. c

c

Also gilt, wiederum mit dem Hauptsatz, Zb Z b ✓Z d ◆  b f (x, y) dy dx. H 0 (x) dx = H  = a

a

a

c

Aus (1) ergibt sich andererseits  Z b ✓Z d ◆ b H f (x, y) dy dx. = H(b) =  a

a

c

Die letzten beiden Gleichungen ergeben die Behauptung. .Ò

iiiii

Beispiele a. Es ist  Z1Z⇡ Z1 Z1 ⇡ x sin y dy dx = (x cos y) dx = 2x dx = 1  0

0

0

0

0

sowie

Z⇡ Z1 0

x sin y dx dy =

0

 Z Z⇡ 1 1 ⇡ (x 2 sin y) sin y dy = 1.  dy = 2 0 2 0 0 1

Man kann aber auch wie folgt argumentieren: Z1Z⇡ Z 1 ✓Z ⇡ ◆ x sin y dy dx = sin y dy dx x 0 0 0 0 ◆ ✓Z ⇡ ✓Z 1 ◆ 1 x dx = sin y dy = ·2 = 1. 2 0 0 b. Es ist Z 1 Z x+1 0

x

Z 1 ✓Z x+1 ◆ xy dy dx = y dy dx x x 0 Z Z 7 1 1 1 1 2 (2x 2 + x) dx = x((x + 1)  x 2 ) dx = = . 2 0 2 0 12

In diesem Fall kann man den Satz von Fubini nicht sofort anwenden, da die inneren Integrationsgrenzen variieren. Hier hilft der Trick mit der charakteristischen Funktion des Intervalls [x, x + 1] : Z 1 Z x+1 Z 1Z 2 xy{x ‡y ‡x +1} dy dx xy dy dx = 0 0 0 x Z2 Z1 xy{x‡y ‡x+1} dx dy. = 0

(c)-machobs:12.11.2019 — 17:33

0

32.3

18

32 — M ehr di me nsi on a l e In t e gr a t i on

Das innere x-Integral erstreckt sich effektiv über das Intervall y  1 ‡ x ‡ y . Somit gilt ◆ Z 1 Z x+1 Z 2 ✓Z y xy dx dy. xy dy dx = 0

x

0

y 1

Damit gelangt man zum selben Ergebnis wie zuvor.

/

Uneigentliche Parameterintegrale Wir benötigen auch uneigentliche Paramaterintegrale, insbesondere solche über unbeschränkte Integrationsintervalle. Typische Beispiele sind die Fourierund Laplacetransformation, die wir später kennenlernen werden. Damit der erste Satz 1 auch hier gilt, benötigen wir eine zusätzliche Integrabilitätsbedingung. Im folgenden Satz ist entweder d = 1 oder d < 1 – in diesem Fall liegt bei d eine Polstelle von f . 3

Satz

Sei Q = [a, b] ⇥ [c, d), wobei c < d ‡ 1, und f : Q ! R sei stetig und nach x partiell stetig differenzierbar. Gibt es ferner integrierbare Funktionen g, h : [c, d) ! R so, dass |f (x, y)| ‡ g (y),

|fx (x, y)| ‡ h(y)

auf Q,

so existiert das uneigentliche Parameterintegral Zd F (x) = f (x, y) dy c

und definiert eine stetig differenzierbare Funktion F : [a, b] ! R mit F 0 (x) =

Zd c

fx (x, y) dy.

œ

Man nennt g und h integrierbare Majoranten für f respektive fx . Der Satz gilt natürlich entsprechend für ein linksseitig uneigentliches Integral. Die Fouriertransformierte fˆ einer absolut integrierbaren Funktionf : R ! R ist punktweise definiert durch Z1 fˆ (!) = f (t) e i!t dt, ! 2 R. .Ò

1

Diese Funktion ist stetig auf R , denn ei!t ist stetig in ! , und nach Voraussetzung ist f eine gleichmäßige integrierbare Majorante für alle ! 2 R : |f (t)e i!t | ‡ |f (t)| , 32.4

t 2 R. (c)-machobs:

32.2 — G ebi et si nt e gr a l e

Ist außerdem |tf (t)| integrierbar, so ist fˆ auch stetig differenzierbar, und es gilt Z1 fˆ0 (!) = itf (t)e i!t dt. 1

Man beachte, dass fˆ komplexwertig ist. Mehr dazu im Kapitel zur Fouriertheorie. /

32.2 Gebietsintegrale Wir wollen nun Integrale von Funktionen zweier Variablen erklären. Anders als beim klassischen eindimensionalen Integral über Intervalle stehen wir bereits vor dem Problem, auch krummlinig berandeten Flächen imR2 einen Flächeninhalt zuzuordnen.Wir beschränken wir uns deshalb auf Mengen, deren Rand eine einfache Struktur hat. Definition Sei M ⇢ Rn eine beliebige Menge. Ein Punkta 2 Rn heißt Randpunkt von M , wenn in jeder Umgebung von a sowohl Punkte von M wie auch dessen Komplements liegen. Die Menge aller Randpunkte vonM bildet deren Rand @M . Die Menge M ÿ @M heißt das Innere von M . œ Ein Punkt a 2 M gehört also zum Innern M  von M , wenn M auch eine Umgebung von a enthält. .Ò

Beispiele a. Der Rand von I = [a, b] ⇢ R ist @I = {a, b} . b. Der Rand der Einheitskreisscheibe ist der Einheitskreis. c. Der Rand einer Geraden in der Ebene ist die Gerade selbst.

d. Es gibt Kurven in der Ebene – die Peanokurven – deren Rand das Einheitsquadrat ist. / Nun betrachten wir Teilmengen der euklidischen Ebene. Definition Eine Menge M im R2 heißt regulär , wenn sie beschränkt ist und ihr Rand @M aus endlich vielen regulären Kurven besteht. œ 4

Satz

Jede reguläre Menge M im R2 besitzt einen eindeutig erklärten endlichen Flächeninhalt, bezeichnet mit |M | oder A(M ) . Diesen erhält man durch Ausschöpfen respektive Überdecken von M durch immer kleinere offene respektive abgeschlossene Quadrate. œ

(c)-machobs:

32.5

19

20

32 — M ehr di me nsi on a l e In t e gr a t i on

Abb 1 Ausschöpfung und Überdeckung einer Menge durch Quadrate

M n M M n

Erläuterung Für jedes n · 1 zerlegen wir den R2 in nichtüberlappen die Vereinigung aller de Quadrate der Kantenlänge 2n und bezeichnen mit M n Quadrate, die ganz innerhalb von M liegen, und mit Mn die Vereinigung aller hhhhh

Quadrate, die Punkte mit M gemeinsam haben. Es gilt dann  Mn ⇢ M ⇢ M n ,

wobei Mn î ; auch leer sein kann. Der Flächeninhalt dieser Mengen ist in klassischer Weise wohldefiniert als die Summe der Inhalte der endlich vielen in ihnen enthaltenen Quadrate, beziehungsweise als Null für die leere Menge. Für eine reguläre MengeM kann man nun zeigen, dass es eine eindeutige reelle Zahl A · 0 gibt, so dass |Mn| % A,

 |M n | & A,

Dies ist der Flächeninhalt von M .

n ! 1. iiiii

Eine reguläre Menge M mit Inhalt |M| = 0 heißt Nullmenge. Eine solche Menge besitzt keine inneren Punkte, besteht also nur aus Randpunkten und damit aus endlich vielen regulären Kurvenstücken. Die Umkehrung gilt ebenfalls: eine reguläre Menge ohne innere Punkte ist eine Nullmenge. Bei der Flächenmessung kommt es auf solche Nullmengen nicht an: 5

Satz

.Ò

Ist M eine reguläre Menge und N ⇢ M eine Nullmenge, so ist auch M ÿ N eine reguläre Menge, und es gilt |M ÿ N| = |M| . œ Beispiele

a. Eine reguläre Kurve in der Ebene ist eine Nullmenge.

b. Der Rand einer regulären Menge M ist eine Nullmenge, und |M  | = |M ÿ @M| = |M| . c. Offene und abgeschlossene Rechtecke respektive Kreise haben somit denselben Flächeninhalt. / 32.6

(c)-machobs:

32.2 — G ebi et si nt e gr a l e

Abb 2 Zerlegung einer Menge in reguläre Teilmengen

Mi

Es gibt allerdings abgeschlossene Mengen, denen auf diese Weise kein Flächeninhalt zugeordnet werden kann. Dazu gehören Cantormengen oder allgemeiner fraktale Mengen. Das Gebietsintegral Sei M ⇢ R2 regulär und f : M ! R stetig und beschränkt. Das Integral von f über M wird nun wie beim klassischen riemannschen Integral erklärt. Sei dazu Z = (M1 , .. , Mk ) eine Zerlegung von M in reguläre Teilmengen. Wählen wir je einen beliebigen Punkt xi 2 Mi , so stellt X f (xi ) |Mi | , S(f , Z) Õ 1‡i‡k

eine riemannsche Summe zu dieser Zerlegung dar. Strebt nun die Feinheit der Zerlegung Z , also (Z) Õ max (Mi ), 1‡i‡k

(Mi ) Õ sup |a  b| , a,b2Mi

gegen Null, so erhalten wir das Gebietsintegral vonf über M . Auf die Wahl der Auswertungspunkte xi kommt es dabei am Ende nicht an. 6

Satz

Sei M ⇢ R2 regulär und f : M ! R stetig und beschränkt. Strebt die Feinheit (Z) der Zerlegung Z gegen 0 , so streben die Summen S(f , Z) gegen einen eindeutigen Grenzwert, das Doppel- oder Gebietsintegral vonf über M : ZZ f dA Õ lim S(f , Z). M

(Z)!0

Hierbei nennt man dA das Flächenelement. œ Für dieses Integral gelten die üblichen Rechenregeln, wie man sie von einem anständigen Integral erwartet. (c)-machobs:

32.7

21

22

7

32 — M ehr di me nsi on a l e In t e gr a t i on

Rechenregeln Seien f und g stetig und beschränkt auf der regulären MengeM . Dann ist das Gebietsintegral (i) linear : ZZ

(af + bg) dA = a M

ZZ

f dA + b M

ZZ

g dA, M

(ii) monoton: aus f ‡ g auf M folgt ZZ ZZ g dA, f dA ‡ M

M

(iii) additiv: ist M disjunkte Vereinigung zweier regulärer MengenM1 und M2 , so gilt ZZ ZZ ZZ f dA + f dA = œ f dA. M

M2

M1

Außerdem gilt noch der 8

Mittelwertsatz Sei M regulär und zusammenhängend und f : M ! R stetig und beschränkt. Dann existiert ein Punkt a 2 M , so dass ZZ M

f dA = f (a) |M| .

œ

Normalbereiche Die Berechnung von Gebietsintegralen ist besonders einfach, wenn das Integrationsgebiet die Gestalt eines Normalbereiches hat. Definition

Eine Menge M ⇢ R2 heißt x-Normalbereich, wenn

M = (x, y) 2 R2 : a ‡ x ‡ b, g (x) ‡ y ‡ h(x) 

mit Funktionen g, h , die auf [a, b] stetig und auf (a, b) stetig differenzierbar sind. Sie heißt y-Normalbereich, wenn  M = (x, y) 2 R2 : c ‡ y ‡ d, u(y) ‡ x ‡ v(y) mit analogen Funktionen u, v auf [c, d] . œ

.Ò

Beispiele a. Jeder Kreis ist sowhl ein x- wie ein y -Normalbereich. b. Dasselbe gilt für jedes Rechteck Q = [a, b] ⇥ [c, d] . c. Die obere Hälfte des Einheitskreises ist einx-, aber kein y-Normalbereich. d. Ein Kreisring ist weder ein x- noch ein y-Normalbereich. /

Jeder Normalbereich ist natürlich eine reguläre Menge. Das Doppelintegral über einen Normalbereich kann man zurückführen auf zwei Einfachintegrale.

32.8

(c)-machobs:

32.2 — G ebi et si nt e gr a l e

Abb 3

x- und y -Normalbereiche

d h

a

u

b

v

g

c

9

Satz

Sei f : M ! R stetig. Mit den Bezeichnungen der letzten Definition gilt im Fall eines x -Normalbereichs ZZ Z b ✓Z h(x) ◆ f (x, y) dy dx, f dA = a

M

g (x)

und im Fall eines y -Normalbereichs Z d ✓Z v(y ) ◆ ZZ f (x, y) dx dy. f dA = c

M

œ

u(y )

Dieser Satz ist auch als Prinzip des Cavalieri bekannt. Man bestimmt die Größe einer Brotscheibe, indem man die Länge jedes Schnittes orthogonal zu einer Achse bestimmt, und über die Längen dieser Schnitte entlang der Achse integriert wie in Abbildung 4. .Ò Beispiele so ist

Betrachtet man die Fläche F in Abbildung 5 als x-Normalbereich,

A(F ) =

Z 1 Z x+1 0

Abb 4

x2

dy dx =

Z1 0

(x + 1  x 2 ) dx =

Flächeninhalt einer Brotscheibe: A(B) =

7 . 6

Zb L(x) d x

a

B L(x)

a

(c)-machobs:

x

b

32.9

23

24

32 — M ehr di me nsi on a l e In t e gr a t i on

Abb 5 Fläche F

y =x+1

1

F

y = x2

1

Als y-Normalbereich betrachtet erhält man Z 1 Z py Z2Z1 A(F ) = dx dy + dx dy 0

1

0

Z 1p

y 1

Z2 = y dy + (2  y) dy 1 0 1  2 2 3/2 2 7 3 = y  = +2 = . + (2y  y 2 /2)   3 2 3 6 0 1

/

32.3 Integralsätze im R2 Wir beschreiben nun zwei Sätze, die ein Flächenintegral in Beziehung setzen zu einem Kurvenintegral über den Flächenrand. Sie verallgemeinern also in gewisser Weise den klassischen Fundamentalsatz. 10

Satz von Green Sei M ⇢ R2 abgeschlossen und regulär und F : M ! R2 ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf M . Dann gilt ZZ Z œ rot F dA. F • d~ s= @M

M

Der Rand @M von M besteht definitionsgemäß aus endlich vielen regulären Kurvenstücken. Über diese Kurvenstücke wird das Randintegral gebildet. Die Richtung der Parametrisierung ist dabei so zu wählen, dassM immer links von der Durchlaufsrichtung liegt. Dies gilt auch dann, wenn der Rand sich aus mehreren Komponenten zusammensetzt, wie beispielsweise in Abbildung 6. Ansonsten kommt es auf die Art der Parametrisierung nicht an, da dass Kurvenintegral davon ja unabhängig ist. 32.10

(c)-machobs:

32.3 — I nt e gr a l sä t ze i m R 2

Abb 6 Orientierung des Randes im Satz von Green

hhhhh

Wir zerlegen F in seine zwei Komponenten, ! ! 0 f1 + ΠG + H. F = 0 f2

a. Betrachte zuerst G auf einem x -Normalbereich M = {a ‡ x ‡ b, g (x) ‡ y ‡ h(x)} . Seien 1 und 3 die untere und obere Randkurve sowie 2 und 4 die linke und rechte vertikale Seite von M wie in Abbildung 7. Dann gilt Z Z G • d~ G • d~s = s 1 +2 3 4

@M

=

Zb

G(1 ) •  ˙1 dx +

a



Z h(b)

G(˙ 2 ) • ˙2 dy

g (b)

Zb a

G(3 ) •  ˙3 dx 

Z h(a)

G(˙ 4 ) •  ˙4 dy.

g (a)

˙4 senkrecht auf G . Das Skalarprodukt ist also Null, 2 und  Dabei stehen ˙ und damit auch diese beiden Integrale. Ferner gilt ˙ 1,3 = (1, ⇤)> , wobei es auf die zweite Komponente nicht ankommt, da die zweite Komponente vonG verschwindet. Somit erhalten wir Z Zb Zb G(1 ) •  ˙1 dx  G(3 ) •  ˙3 dx G • d~s = @M a a Zb = [f1 (x, g (x)) dx  f1 (x, h(x))] dx. a

Abb 7 3

Zum Beweis des Satzes von Green 4

2 M

1

(c)-machobs:

32.11

25

26

32 — M ehr di me nsi on a l e In t e gr a t i on

Aufgrund des Fundamentalsatzes ist aber Z g (x) f1 (x, g (x)) dx  f1 (x, h(x)) = @y f1 (x, y) dy, h(x)

und weiter ist @y f1 (x, y) =  rot

f1 0

!

=  rot G.

Für einen x-Normalbereich M erhalten wir also ZZ Z Z b Z h(x) rot G dy dx = G • d~s = rot G dA. @M

M

g (x)

a

b. Jeder y-Normalbereich lässt sich als Summe endlich vielerx -Normalbereichen darstellen. Daher gilt die letzte Formel auch für diese. Schließlich lässt sich jede reguläre Menge als endliche Summe vonx - und y -Normalbereichen darstellen. Also gilt auf jeder regulären Menge M die Identität ZZ Z rot G dA. G • d~s = @M

M

c. Analog verfährt man für H, indem man mit y -Normalbereichen beginnt. d. Aufgrund der Additivität des Integrals und der Rotation gilt somit Z Z Z F • d~ G • d~ H • d~s s= s+ @M @M Z@M Z rot H dA = rot G dA + M ZM Z rot F dA. = rot(G + H) dA = M

M

Damit ist der Satz von Green bewiesen.

iiiii

Beispiele a. Sei K die Einheitskreisscheibe und F = (y, x )> . Mit der üblichen Parametriesierung (t) = (cos t, sin t) von @K wird ! ! Z Z 2⇡ Z 2⇡  sin t  sin t dt = 2⇡ . F • d~ • dt = s= cos t cos t 0 @K 0 .Ò

Andererseits ist rot F = @x (x)  @y (y) = 2 und damit ZZ ZZ rot F dA = 2 dA = 2 |K| = 2⇡ , K

K

wie es sein soll. b. Um das Kurvenintegral vonF = (y + 3x, 2y  x)> entlang des Randes der Ellipse E : 4x 2 + y 2 ‡ 4 zu bestimmen, rechnen wir ZZ ZZ Z rot F dA = 2 F • d~s = dA = 2 |E| = 4⇡ . / @E

E

E

Eine Variation des Satzes von Green ist der 32.12

(c)-machobs:

32.3 — I nt e gr a l sä t ze i m R 2

Abb 8 ˙ 

Zum Divergenzsatz

n= ˙? M

11

Divergenzsatz Sei M ⇢ R2 regulär und F : M ! R2 ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf M . Dann gilt ZZ Z div F dA, F • dn ~= M

@M

wobei dn ~ die äußere Normale an @M bezeichnet. œ Der Rand wird hierbei genauso parametrisiert wie beim Satz von Green, aber statt des Geschwindigkeitsvektors˙  ist die äußere Normale n an @M zu nehmen. Ist also  = (1 , 2 ) die Parametrisierung eines glatten Randstücks von M und ˙ = (˙ 1 ,˙2 ), so ist n= ˙? = (˙ 2 , ˙ 1 ) der zugehörige äußere Normalenvektor, und Zb Z F ((t) • ˙ F • dn ~= ? (t) dt. @M

a

hhhhh Wir führen den Divergenzsatz auf den Satz von Green zurück. Sei F = (f1 , f2 )> . Setzen wir G = (f2 , f1 )> , so wird

rot G = @x f1  @y (f2 ) = @x f1 + @y f2 = div F . Mit dem Satz von Green gilt also Z ZZ ZZ rot G dA = div F dA = M

M

@M

s. G • d~

Mit einer Parametrisierung  des Randes wird der letzte Integrand zu ! ! ! ! ˙2 ˙1 f1 f2 = F • dn. ~ • • = ˙ 1 f2 f1 2 ˙ Also erhalten wir Z ZZ div F dA = M

G • d~s = @M

Z

n. F • d~ @M

iii...