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Mehrdimensionale Integralrechnung ˆ

f(~ x) dB,

B ⊂ Rn

B

Bereich B

Anwendung

Geometrischer Schwerpunkt

Masse

Betrag Länge/Fläche/Volumen

¨

Fläche im R2

1 dF

¨

F

3

im R

1 dV

V

Kurve

1 ds

˚

ˆ

x·ρ(x,y,z ) dV

V˝

⊛

ρ(x,y,z) dV

´

K

Oberfläche

¨

x·ρ(~ x) ds

K´

ρ(~ x) ds

K

F

⊛

V

¨

im Rn

˝

ρ(x, y, z) dV

im Rn

1 do

ρ(x,y) dF

F

V

ˆ

x·ρ(x,y ) dF

F˜

ρ(x, y) dF

F

˚

Volumen

˜

ρ(~ x) ds

⊛

K

˜

x·ρ(~ x) do

F˜

ρ(~ x) do

ρ(~ x) do

⊛

F

F

Anmerkung: ⊛ berechnet nur die x-Komponente des geometrischen Schwerpunkts. Für die y- bzw. z-Komponente einfach y bzw. z einsetzen.

Gebietsintegrale Transformationssatz Spezielle Gebiete ebene Flächen & Volumen

ˆ

x) dxdy = f(~

B

ˆ

u))| dudv f(~ u) · |det (J~x (~

T

Gebiet B

x2 + y 2 ≤ R 2

Kreis

Ellipse

Parametrisierung ~u

~ x

 2 x a

+

 2 y b

≤ R2

x2 + y 2 ≤ R 2

Zylinder

z ∈R

Kegel Grundfl. (x,y,H ), Spitze in (0,0,0)

Kugel

2

2

x +y ≤R

2

 2 z H

x2 + y 2 + z 2 ≤ R 2

|det (J ~x (~ u))|

  



r ∈ [0, R ] ϕ ∈ [0, 2π)

r

  



r ∈ [0, R ] ϕ ∈ [0, 2π)

abr

r cos(ϕ) x y = r sin(ϕ) z z

!

r ∈ [0, R ] ϕ ∈ [0, 2π) z∈R

r

r cos(ϕ) x y = r sin(ϕ) z z

!

z r ∈ [0, R H ] ϕ ∈ [0, 2π) z ∈ [0, H]

r

r ∈ [0, R ] ϕ ∈ [0, 2π) ϑ ∈ [0, π]

r 2 sin(ϑ)

x r cos(ϕ) = r sin(ϕ) y

x ar cos(ϕ) = br sin(ϕ) y

!

!

r cos(ϕ) sin(ϑ) x y = r sin(ϕ) sin(ϑ) z r cos(ϑ)

!

!

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Kurvenintegrale Spezielle Kurven

x ~

Strecke

von P1 nach P2

im R2

Kreis

x2 + y 2 = R 2

R cos(t) R sin(t)

x a

(skalar)

 2

y + b

R−x y = R arccos R 

Zykloide

!

t f(t)

 2

Ellipse

P1 + t(P2 − P1 )

y = f(x)

Funktion

1. Art

~ t) Parametrisierung K(

Kurve K



=R

−

t ∈ [a, b] !

q

t ∈ [0, 2π )

!

aR cos(t) bR sin(t)

2

t ∈ [0, 2π ) !

R (1 − cos(t)) R (t − sin(t))

x(2R − x)

t ∈ [0, 1]

t ∈ [t0 , t1 ]

~ Schritt 1: Parametrisierung K(t) (Kurve als Vektor schreiben) ~ ′ (t) (Parametrisierung ableiten) Schritt 2: Tangentialvektor K ~ ′ (t)| dt Schritt 3: Transformation ds = | K

ˆ

f ds =

2. Art (vektoriell)

~ ′ (t)| dt f · |K

a

K

ˆ

ˆb

~v d~ s =

ˆ

f =1

Masse:

f = Dichtefunktion

Trägheitsmoment:

< ~v, d~ x> =

ˆ

f = x2 + y 2

v1 dx + v2 dy + v3 dz . . .

„Arbeitsintegral“

K

K

K

Länge:

Hat v ~ ein skalares Potential f ? v) = ~0 (1) rot(~ (2) G einfach zusammenhängend ~ v konservativ JA

NEIN

~ t) Schritt 1: Parametrisierung K( ~ ′ (t) Schritt 2: Tangentialvektor K ~ ′ (t) dt Schritt 3: Transformation d~s = K ˆ ˆb ~ ′ (t) dt v ·K ~ v d~ s= ~

Ist K geschlossen? (Kreis, Ellipse, Dreieck, Viereck, . . . )

?

~ ~ b) Prüfe: K(a) = K( Zirkulation JA

NEIN

K

I

ˆ

~v d~s = 0

K

Potential mit ∇f = ~ v

K

R2 : f(x, y)

=

ˆx 0

R3

a

~ ~ a)) ~v d~s = f(K(b)) − f(K(

: f(x, y, z) =

ˆx 0

v1 (t, 0) dt +

ˆy

v2 (x, t) dt + c

0

v1 (t, 0, 0) dt +

ˆy 0

v2 (x, t, 0) dt +

ˆz 0

v3 (x, y, t) dt + c

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~ K(t)

Spezialfälle r = r(t), ϕ = ϕ(t), z = z(t)

~ ′ (t) K !

r˙ · cos(ϕ) − r ϕ˙ · sin(ϕ) r˙ · sin(ϕ) + r ϕ˙ · cos(ϕ)

r · cos(ϕ) r · sin(ϕ) 

~ ′ (t)| |K



! 



p

r˙ · cos(ϕ) − r ϕ˙ · sin(ϕ)   r˙ · sin(ϕ) + r ϕ˙ · cos(ϕ)  z˙

r · cos(ϕ)   r · sin(ϕ)  z

p

r˙ 2 + r 2 ϕ˙ 2

r˙ 2 + r 2 ϕ˙ 2 + z˙ 2

Oberflächenintegrale Spezielle Oberflächen

Parametrisierung F~ (u, v )

Fläche F

x ~

Ebene

zwischen P1 , P2 , P3

P1 + u(P2 − P1 ) + v (P3 − P1 )

u, v ∈ R

3

im R

Grundfl. (x,y ,H ), Spitze in (0,0,0)

(skalar)

2. Art (vektoriell)

f do =

¨

F

F

¨

v~ d~o =

¨

¨

F

F

x2 + y 2 = R 2



z H



2 

¨ F

~v · ~n dudv =

¨ F



u ∈ [0, 2π) v ∈ [0, H]



R v cos(u)  Hv  R H sin(u) v

u ∈ [0, 2π) v ∈ [0, H] 

R cos(u) sin(v)   R sin(u) sin(v)  R cos(v)

x2 + y 2 + z 2 = R 2

n| dudv = f · |~

u, v ∈ R

R cos(u)   R sin(u)  v

z ∈R

Kegelmantel

1. Art



x2 + y 2 = R 2

Zylindermantel



u    v  f(u, v)

z = f(x, y)

Funktion

Kugel



 

 





~u × F~v  dudv f · F ~ v dudv ~v · F~u × F

„Flussintegral“

u ∈ [0, 2π) v ∈ [0, π]

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Integralsätze Integralsatz von Gauß

ˆ

div (~v) d(k) V =

I

~n (k−1) d R n| |~

~v ·

R=∂V

V

k=2

I

∂F

v~ ·

~n ds = |~n|

¨

k=3

"

div (~v) do

~v ·

~n do = n| |~

∂V

F

˚

div (~v) dV

V

• V kompakt, ∂V abschnittsweise glatt • v~ stetig differenzierbar • n ~ nach „außen“ orientiert • Flächenberechnung im R2 :

Integralsatz von Stokes

I

~v d~s =

∂F

¨

|F | =

1 2

I

~ ′ (t) dt ~ K(t) ×K

∂F

rot (~ v) d~o

F

• F kompakt, ∂F abschnittsweise glatt • v~ stetig differenzierbar ~ ′ nach „3-Finger-Regel“ der rechten Hand orientiert • n ~ und K ¨ ¨ rot (~ v) d~o rot (~ v) d~o = • ∂F1 = ∂F2 =⇒ F1

Integralsatz von Green  ~ v =

v1 , v2

⊤

I

∂F

~v d~s =

¨ F

F2

∂ ∂ v2 − v1 dF ∂x ∂y 

=⇒ Spezialfall von Stokes in der (x, y)-Ebene...