Integralrechnung vollständig erklärt - Study Help PDF

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Integralrechnung

Integralrechnung Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin der Analysis. Sie ist aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung entstanden. Das Integral ist ein Oberbegriff für das unbestimmte und das bestimmte Integral. Die Berechnung von Integralen heißt Integration. Zunächst gehen wir nochmal die Grundlagen der Integralrechnung durch. Im Ansch werden Flächeninhalte bestimmt und schwierige Integrationsregeln wie z.B. die part Integration vorgestellt. Inhaltsverzeichnis Integralrechnung Grundlagen Unbestimmtes Integral Bestimmtes Integral Integralrechnung – Bestimmung von Flächeninhalten Partielle Integration Integration durch Substitution Interpretation im Sachzusammenhang

Uneigentliches Integral

Integralrechnung Grundlagen Die Umkehrung des Ableitens ist das Bilden von Stammfunktionen und wird deshalb Aufleiten genannt. Wie schon beim Ableiten gibt es auch hier eine Summenregel (= Eine Summe wird „summandenweise“ aufgeleitet) und eine Faktorregel (= Ein konstanter Faktor bleibt Aufleiten erhalten).

Übersicht typischer Stammfunktionen in der Integralrechnu Wenn F eine Stammfunktion von f ist und C eine beliebige reelle Zahl (Konstante), da auch F(x) + C eine Stammfunktion von f. Zum Beispiel sind

F(x) = ( x 2 /2) + 5 F(x) = ( x 2 /2) + 10 F(x) = ( x 2 /2) − 200 alles Stammfunktionen von f(x)=x. Grundsätzlich lautet die Stammfunktion für f(x)=x a F(x) = x 2 /2 + C. Wenn nur eine Stammfunktion gesucht wird, können wir zur Einfa wählen. Die Stammfunktion zu der Potenzfunktion

f (x) = xn , ermittelt sich allgemein über

n∈ℕ

In nachfolgender Tabelle findet ihr weitere Beispiele.

f (x)

F(x)

1 10

x 10x

x 10x x2 5x 7 3x 4 − 2x 3 + 4

1 2 x 2 10 2 x 2 1 3 x 3 5 8 x 8 3 5 2 4 − x x 5 4

+ 4x

Wie bereits erwähnt gibt es bei der Integralrechnung auch eine Summenregel, die b dass jeder Summand einzeln integriert wird. Zum Beispiel ist F(x) = x 2 + 3x eine Stammfunktion von f(x)=2x+3.

Beispiele zu typischen Stammfunktionen in der Integralrechnung Bilde eine Stammfunktion der gegebenen Funktionen:

1

f (x) = 1

2

f (x) = 3x 2 + x

3

f (x) = 3x 5 − 2x 2 + 1

4

f (x) = 3e x

5

f (x) = 5e 5x+2

6

f (x) = 2e 2x + 2x

3

1 6 2 3 F(x) = 2 x − 3 x + x

4

F(x) = 3ex

5

F(x) = e 5x+2

6

F(x) = e 2x + x2

Schau dir zur Vertiefung Daniels Playlist zum Thema „Stammfunktionen und A an

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Übersicht Integrationsmethoden, Integrationsregeln | Mathe by Daniel Jung

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Als unbestimmtes Integral bezeichnet man, wie oben bereits angedeutet, die Gesam Stammfunktionen F(x)+C einer Funktion f(x). Die Schreibweise für unbestimmte Integ

∫

f (x) dx = F (x) + C

Dabei ist ∫ das Integrationszeichen und f (x) der Integrand. Die Variable x heißt Integrationsvariable und C ist die Integrationskonstante. Hier zwei Beispiele für unb Integrale:

∫

2x dx = x 2 + C

∫

x 3 dx =

1 4 x +C 4

Zur Vertiefung: Lernvideo zum unbestimmten Integral Unbestimmtes Integral, Stammfunktion, keine Grenzen, Mathehilfe | Mathe by Daniel Jung

Bestimmtes Integral

Hauptsatz der Integralrechnung lösen!

Als Ergebnis erhält man einen konkreten Zahlenwert.

∫a

b

f (x) dx = [F(x)]ba = (F (b) − F (a))

Einführungsbeispiel Bestimmte Integral Die Nettozulaufgeschwindigkeit eines Wasserbehälters, d.h. Zulaufgeschwindigkeit m Ablaufgeschwindigkeit, kann im Zeitraum [0,3] durch die Funktion f (t) = t 2 − 2t bes werden, wobei f(t) die Einheit [m 3 /min] hat und t in Minuten gegeben ist. a) Berechne die Füllmenge des Wasserbehälters nach einer Minute, wenn er zum Ze t=0 mit 3m3 gefüllt war. b) Berechne die kleinste Wasserfüllmenge im Zeitraum t ∈ [1, 2]. Lösung: a) Die Füllmenge ist die Stammfunktion von f, wobei der Anfangsbestand mit c=3 an ist. Also lautet die Stammfunktion von f und die Füllmenge

F (t) =

1 3 t − t2 + 3 3

⟶

F (1) =

7 3

nach t=1 Minute ⟶ 73 m3 . b) Die kleinste Wasserfüllmenge ist der Tiefpunkt der Stammfunktion F. Also untersu die Ableitung der Stammfunktion, die gebene Funktion f s ,

Beispielaufgabe Bestimmtes Integral Bestimme folgende Integrale: 2

a) ∫0 x 2 + 2x − 3 1 b) ∫−1 x 3 1

c) ∫0 ex

2 d) ∫−1 e2x + x

Lösung: 2

2

a) ∫0 x 2 + 2x − 3 dx = [ 13 x 3 + x 2 − 3x] = 23 0 1 1 3 1 4 b) ∫−1 x dx = [ 4 x ] −1 = 0 1

c) ∫0 ex dx = [ ex ]10 = e − 1

2 2 d) ∫−1 e2x + x dx = [ 12 e2x + 12 x2 ]−1 ≈ 28, 73

Du hast noch Fragen zum unbestimmten Integral? Daniel erklärt dir das ganze nochmal in seinem Erklärvideo. Bestimmtes Integral, Grenzen gegeben, Mathehilfe online, Erklärvideo | Mathe by Daniel Jung

Integralrechnung – Bestimmung von Flächeninha

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Integralrechnung im Detail, Flächenberechnung, Übersicht, Integrale | Mathe b Daniel Jung

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Berechnung der Fläche zwischen Graph und x-Achse mit Hil Integralrechnung Vorgehen: Bestimme die Nullstellen um die Grenzen zu erhalten. Ist die Fläche stets oberhalb der x-Achse kannst du ganz normal das Integral b Merke: Wenn die Funktion im zu berechnendem Intervall einen Vorzeichenwechsel Teil der Fläche unterhalb der x-Achse und eine Fläche oberhalb x-Achse. Die Fläche unterhalb der x-Achse muss dann im Betrag genommen werden.

Integralrechnung Beispiel 1) Fläche zwischen Graph und x-A Gegeben sei die Funktion f (x) = −x 2 + 7x − 10 (siehe Abbildung). Es soll die Fläch berechnet werden, die von dem Graph und der x-Achse eingeschlossen wird. Zunäc werden die Nullstellen berechnet: x1 = 2 und x2 = 5. Das sind gleichzeitig unsere Integrationsgrenzen. Es folgt für die Fläche:

5

5

x3 7x 2 2 −x + 7x − 10 dx = − + − 10x [ 3 ]2 ∫ 2 2

7 ⋅ 52 7 ⋅ 22 53 23 = − + − 10 ⋅ 5 – − + – 10 ⋅ ( 3 ) ( 3 2 2 = 4, 5 [FE]

Integralrechnung Beispiel 2) Fläche zwischen Graph und x-A B

ti

di Flä h

l h

G

h

d

F

kti

f( )

0 5

2

+3

2

x1 = 1 und x2 = 5 . Anschließend folgt die Berechnung der Flächeninhalte:

A=

∫1

5

5 1 3 3 2 16 x x x −0, 5 + 3x − 2, 5dx = − 6 + 2 − 2, 5x = 3 [FE ]1 [ 2

Integralrechnung Beispiel 3) Fläche zwischen Graph und x-A Bestimme die Fläche, welche vom Graphen der Funktion f (x) = 0, 5x 3 − x 2 − 4x u Achse eingeschlossen wird. Lösung: Wir gehen genauso wie im vorherigen Beispiel vor und bestimmen zunächst die Nul der Funktion. Nullstellen: x1 = −2, x2 = 0 und x3 = 4 . Es folgt für den Flächeninhalt:

Integralrechnung Beispiel 4) zwischen Graph und x-Achse im Intervall von [2,4] In der nachfolgenden Abbildung soll die Fläche einer Funktion f(x) im Intervall [2,4] b werden.

vorliegt, also innerhalb unserer Integrationsgrenzen, gibt es einen Vorzeichenwechs Teil des Graphen muss unterhalb der x-Achse liegen. Tipp: Teilfläche von unterer Grenze zu Nullstelle A1 und von Nullstelle zu oberer Gr berechnen. Es folgt mit

A1 =

∫2

2,5

4

f (x) dx = 1 [FE]

und

A2 =

∫ 2,5

f (x) dx = | − 7| = 7 [FE

der gesuchte Flächeninhalt Ages = A 1 + A 2 = 8 [FE].

Integralrechnung Beispiel 5) zwischen Graph und x-Achse im Intervall Bestimme für die Funktion f (x) = − x 3 + 6 x2 − 8x den Flächeninhalt zwischen dem der Funktion f(x) und der x-Achse im vorgegebenen Intervall I=[1,3].

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Zuerst müssen wir die Nullstellen der Funktion bestimmen. Diese lauten x 1 =0, x2 =2 WICHTIG! Wie bei genauerem Hinsehen zu erkennen ist, befindet sich die Nullstelle in dem Intevall I. Somit ergibt sich folgende Rechnung:

∣ 2 ∣ ∣ 3 ∣ 3 2 ∣ ∣ A=∣ − x + 6 x − 8x dx∣ + ∣∣ − x 3 + 6 x2 − 8x dx ∣∣ ∣∫1 ∣ ∣∫2 ∣ 2∣ 3∣ ∣ ∣ 1 4 1 4 3 2 ∣ 3 2 ∣ ∣ ∣ = ∣ − x + 2x − 4x ∣ + ∣ − x + 2x − 4x ∣ ]1 ∣ ∣[ 4 ]2 ∣ ∣[ 4 ∣ 7 ∣ ∣7 ∣ 7 = ∣− ∣ + ∣ ∣ = [FE] ∣ 4 ∣ ∣4 ∣ 2

Berechnung der Fläche, die von zwei sich schneidenden Gra eingeschlossen ist Wenn f und g zwei Funktionen sind, die auf dem Intervall [a; b] stetig sind und f (x) ≥ alle x in [a; b], dann ist die Fläche, die von beiden Funktionen eingeschlossen wird

A=

∫a

b

(f (x) − g(x)) dx = [F(x) − G(x)] |ba = (F(b) − G(b)) − (F(a) − G(

Beispiel 1) – Flächeninhalt zwischen 2 Graphen Bestimme den Flächeninhalt, der von den Funktionen

x2 f (x) = − +5 12

und

x2 g(x) = +1 6

eingeschlossen wird. Hierfür benötigen wir zunächst die Schnittpunkte der beiden Funktionen

Dazu setzen wir beide Funktionen gleich und erhalten

f (x) = g(x) x2 x2 − +5= +1 12 6 x1 = −4 ∧ x2 = 4 Nun haben wir alle Informationen um die Fläche zwischen den beiden Graphen durc folgendes Integral zu berechnen:

4

∫−4

(f (x) − g(x)) dx =

4

∫−4

4 x2 x2 x2 − + 5– ( + 1) dx = − + 4 dx ∫−4 4 12 6

Zu beachten: Wenn sich zwei Graphen schneiden, wird ab dem Schnittpunkt aus de Funktion die untere. Man würde nun einen negativen Flächeninhalt herausbekomme müssen Betragsstriche gesetzt werden. Vorgehen:

1

Schnittstellen finden

2

Teilintegrale aufstellen und Betragsstriche setzen.

Dann weiter vorgehen wie in dem Beispiel zuvor.

Beispiel 2) – Flächeninhalt zwischen 2 Graphen Bestimme den Flächeninhalt zwischen den Graphen von f(x) und g(x). a) f (x) = x 3 − 6x 2 + 9x und g(x) = −0, 5 x2 + 2 b) f (x) = − x 2 + 4 und g(x) = −x 4 + 4 x 2 Lösung zu a):

2

A= = = =

35

∣∣ ∣∣ ∣ ∣∣ f ( x) − g(x) dx + f ( x) − g(x) dx ∣∣ 0 ∣∣ ∣ ∣∣ 2 3,5 ∫∣ ∣∫ 2 ∣ x 3 − 5, 5x 2 + 7x dx + ∣∣∣ x 3 − 5, 5x 2 + 7x dx∣∣ ∣ ∣∫0 ∣∣ ∣∫2 ∣ ∣ 1 4 11 3 7 2 2 ∣ ∣ 1 4 11 3 7 2 3,5 ∣ ∣ x − x + x ] ∣∣ + ∣∣[ x − x + x ] ∣∣ ∣[ 4 6 2 6 2 0∣ 2 ∣ ∣ 4 ∣ ∣ 10 ∣ ∣ 99 ∣ ∣ ∣ + ∣− ∣ ≈ 4, 88 [FE] ∣ 3 ∣ ∣ 64 ∣

Lösung zu b): Schnittpunkte von f und g: x1 = −2 , x2 = −1 , x3 = 1 und x 4 = 2 . Es folgt für den Flächeninhalt:

∣ −1 ∣ ∣ 1 ∣ ∣ 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ f (x) − g(x) dx ∣ + ∣ f (x) − g(x) dx∣ + ∣ f (x) − g(x) dx∣∣ A= ∣ ∣∫ −2 ∣ ∣∫ −1 ∣ ∣∫1 ∣ ∣ −1 ∣ 2 4 ∣ ∣ =∣ x − 5 x + 4 dx ∣ + ∫ ∣ −2 ∣

∣ ∣ 1 2 4 ∣ ∣ ∣∫ x − 5 x + 4 dx ∣ + ∣ −1 ∣

∣ 2 2 4 ∣ ∣∫ x − 5 x + 4 d ∣ 1

−1 ∣ 1 ∣ ∣ 1 5 5 3 ∣ 1 5 5 3 ∣ ∣ ∣ = ∣[ x − x + 4x] ∣ + ∣[ x − x + 4x] ∣∣ + 3 3 −2 ∣ −1 ∣ ∣ 5 ∣ 5 ∣ 22 ∣ ∣ 76 ∣ ∣ 22 ∣ = ∣− ∣ + ∣ ∣ + ∣− ∣ = 8 [FE] ∣ 15 ∣ ∣ 15 ∣ ∣ 15 ∣

∣ 1 5 5 3 ∣ x − x +4 ∣[ 5 3 ∣

Partielle Integration Die partielle Integration, auch Produktintegration genannt, ist in der Integralrechnu Möglichkeit zur Berechnung bestimmter Integrale und zur Bestimmung von Stammfu Sie ist quasi das Gegenstück zur Produktregel beim Ableiten.

die Ableitung des anderen Faktors (u(x)) das Integral einfacher wird. Warum heißt es eigentlich partielle Integration? Weil ein Teil des Ingetrals [u(x) ⋅ v(x b wird und der andere Teil noch ein Integral ∫a u′ (x) ⋅ v(x) dx beinhaltet. Die Schwier es zu entscheiden, welcher Teil u(x) ist und welcher v'(x). Unter Umständen kann es sein, dass das Integral bei falscher Wahl nicht zu lösen ist. Die Frage die wir uns stel müssen: Die Ableitung welches Faktors vereinfacht das Integral? Allgemeines Vorgehen:

1

Überlegung: Die Ableitung welchen Faktors vereinfacht das Integral? Danach u v'(x) festlegen.

2

Ableitung u'(x) bestimmen.

3

Stammfunktion v(x) bestimmen.

4

Ergebnisse in Formel einsetzen.

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werden.

∫0

2

x (x ⋅ e ) dx =?

Doch an dieser Stelle kommen wir mit unseren einfachen Methoden zur Bildung der Stammfunktion nicht weiter. Die Funktion f(x) ist nämlich ein Produkt der beiden Funk und ex . Wir wenden also die partielle Integration an, um die Aufgabe zu lösen. Dafü wir die obigen Schritte aus dem Vorgehen ab. 1. Wir überlegen: Die Ableitung welch Faktors vereinfacht das Integral? Die Ableitung von x ist 1. Die Ableitung von ex ist ex Da ex auch einfach integrierbar ist folgt:

u(x) = x ⟶ u′(x) = 1 ⇒

∫0

2

(x ⋅ e ) dx = [x ⋅ x

ex ]20– ∫

2 0

und

v ′(x) = ex ⟶ v(x) = ex

(1 ⋅ ex ) dx = [x ⋅ e x]20 − [ ex ]20 = e 2 +

Tipp: Wenn die Aufgabe nicht lösbar ist mit der Wahl von u und v‘, sollte man diese gegeneinander austauschen und erneut probieren. Manchmal hilft zweimaliges part Integrieren und Umsortieren. Generell werden Potenzen x n oder Umkehrfunktionen oder arcsin(x) durch Ableiten einfacher und Funktionen wie e x oder sin(x) durch Int nicht komplizierter.

Weitere Beispiele zur partiellen Integration Bestimme eine Stammfunktion von der Funktion f mit Hilfe der partiellen Integration. a) f (x) b) f (x) c) f (x) d) f (x)

= 2xex = (x − 2)e 2x = 5xe3x+2 = 1 ⋅ ln(x)

Lösungen

a)

2x ex v‘ u ⋅ ⏟ ⏟ dx

∫ x = 2x e −

∫ = 2x e − 2 e x = ex (2x − 2)

x

2e dx

x

b)

(x − 2) ⋅ e2x dx ∫ ⏟ ⏟ v‘ u 1 1 2x (x − 2) e2x– e dx ∫ 2 2 1 1 = (x − 2) e2x– e2 x 2 4 1 5 = ( x − ) e2x 2 2 =

c)

5x ⋅ e3x+2 dx ∫ ⏟ ⏟ v‘ u 1 1 3x+2 = 5xe 3x+2 – 5e dx ∫ 3 3 5 5 = xe3x+2 – e3x+2 dx 3 9 5 5 = ( x– ) e3x+2 3 9

d)

1 ⋅ ln(x) dx ∫ ⏟ v‘ ⏟ u

= x ln(x) −

∫

x⋅

1 dx x

Partielle Integration, Produktintegration, langsame Version, Übersicht | Mathe by Daniel Jung

Integration durch Substitution Kommen wir zur Integration durch Substitution . Unter Substitution versteht man allge Ersetzen eines Terms durch einen anderen. Und genau das tun wir hier um eine Inte durchzuführen. Durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen wird ein Teil des Integranden er das Integral zu vereinfachen und so letztlich auf ein bekanntes oder einfacheres Inte zurückzuführen. Die Kettenregel aus der Differentialrechnung ist die Grundlage der Substitutionsrege

∫a

b

′

f (u(x)) ⋅ u (x) dx =

u(b)

∫u(a)

f (u) du

In Anlehnung an die Kettenregel kann über Integration per Substitution gesagt werd sie immer dort angewendet wird, wo ein Faktor im Integranden die Ableitung eines a Teils des Integranden ist; im Prinzip immer dort, wo man auch die Kettenregel anwen würde. Ist die Ableitung ein konstanter Faktor, so kann dieser aus dem Integral fakto werden. Allgemeines Vorgehen:

4

Rücksubstitution durchführen.

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Beispiel Integration durch Substitution Bestimme das Integral der Funktion f (x) = (x2 − 4)3 ⋅ 2x im Intervall 4 und 5 und g Menge aller Stammfunktionen an. Wir schreiben zunächst das Integral auf, welches bestimmt werden soll:

∫4

5

)3 ⋅ 2x dx ( − 4 x2 ′ (x) u⏟ f (u(x))

Wir erkennen eine Verkettung (x 2 − 4)3 und stellen fest, dass wir diesen Teil nicht m bisher bekannten Methoden integrieren können. Zusätzlich erkennen wir, dass 2x d Ableitung der inneren Funktion u(x) = x2 − 4 ist und das ist es was wir wollen! Also

Da nach u integriert werden soll, muss als nächstes dx ersetzt werden. Das schaffen indem wir u nach x ableiten, nach dx umstellen und in das Integral einsetzen:

5 du du du = 2x ⇔ dx = ⇒ u = u3 ⋅ 2x ∫4 dx 2x 2x ′

Das 2x kürzt sich an dieser Stelle raus und der Integrand hängt nur noch von u ab. A Stelle müssen wir noch die Integralgrenzen ersetzen mit u(4)=12 und u(5)=21 und kön Integral bestimmen:

21

∫12

1 4 21 u du = [ u ] = 43.436, 25 [FE] 4 12 3

4

Für die Stammfunktion müssen wir u rücksubstituieren: F(x) = 14 (x 2 − 4) + C .  =u

Weitere kurze Beispiele:

Weitere Beispiele zur Integration durch Substitution Integriere durch Substitution. a) ∫ 2x ex dx 2

b) ∫

4x √x2 +2

dx

c) ∫ 1x ln(x) dx

dz 2 Mit z = x und2 dx = 2x : x

F(x) = ∫ 2x e dx = ∫ 2xe

x2 dz 2x

z z x = ∫ e dz = e = e

2

b) dz Mit z = x 2 + 2 und dx = 2x :

F(x) = ∫

4x √x2 +2

dx = ∫

4x dz √ z 2x

=∫

2 √z

2 +2 ‾ dz = 4 z1/2 = 4√ ‾x‾‾‾‾

c) Mit z = ln(x) und dx = xdz :

F(x) = ∫

1 ln(x) x

dx = ∫

1 x

⋅ z xdz = ∫ z dz = 12 z 2 =

1 2

ln2(x)

d) Mit z = 3x3 und dx = dz2 :

F(x) = ∫

3 3 x2 e3x

9x

dx = ∫ 3x 2 ez

dz 9x 2

=∫

1 ez 3

dz = 13 ez = 13 e 3x

3

Sonderfälle der Substitution: b

1 [F(mx + n)]ba Lineare Substitution: ∫a f (mx + n) dx = m b g ′ (x) g(x)

Logarithmische Integration: ∫a

dx = [ln|g(x)|]ba

Einfache Erklärung im Lernvideo von Daniel Integration durch Substitution 1, Formel, Erklärung, Schreibweise | Mathe by Daniel Jung

Interpretation im Sachzusammenhang Mit der Interpretation haben Schüler oft Schwierigkeiten, wenn im Graphen Geschwindigkeiten etc. gegeben sind, anstatt einer Menge. Schaut also zunächst au Achsen, welche Einheiten gegeben sind oder lest im Text nach.

Das Wasser fließt zu bis zur Nullstelle, da der Graph dort im Positiven liegt. ab der Nullstelle fließt das Wasser ab, da der Graph im Negativen liegt.

Hier nochmals kompakt erklärt im Lernvideo! Integrale, Integralwert, Flächenwert im Sachzusammenhang | Mathe by Daniel Jung

Mittelwertsatz der Integralrechnung Häufig ist eine Funktion gegeben, die den Wasserstand angibt oder die Geschwindi

1 b−a

b

∫

a

1 1 b a ] f (x) dx = [F(x) = (F (b) − F (a)) b−a b−a

Der Mittelwertsatz gibt im allgemeinen den Durchschnitt aller y-Werte an (achtet dar die Funktion im Sachzusammenhang angibt). Beispiele

1 24−0

24 ∫0 f (x) dx = durchschnittliche Höhe des Wasserstandes in 24 Std.

1 24−0

24 ∫0 f (x) dx = durchschnittliche Zunahmegeschwindigkeit des Wassers in 24 Std

An dieser Stelle haben wir direkt 2 Videos zum Thema Mittelwertsat...