WI 04 S1 MATH I Integralrechnung PDF

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Teil des Skripts von Wirtschaftsmathematik 1...

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Wirtschaftsmathematik I 4 – Analysis: Integralrechnung

Studiengang Wirtschaftsinformatik

Integralrechnu ralrechnung 4 – Analysis: Integ ralrechnu ng Während die Differentialrechnung das Veränderungsverhalten einer Funktion analysiert, widmet sich die Integralrechnung folgenden beiden Fragen: o

Wie lautet die Funktion, deren Ableitung der gegebenen Funktion entspricht (1. Hauptaufgabe der Integralrechnung, Stammfunktion oder unbestimmtes Integr Integral al einer Funktion, Umkehrung des Ableitens)?

o

Welche Fläche wird durch die Kurve einer Funktion, der Horizontalachse und zwei vertikalen Grenzen gebildet (2. Hauptaufgabe der Integralrechnung, bestimmtes Integr Integral al einer Funktion)?

Im ökonomischen Umfeld ist die Interpretation des Integrals als Flächenberechnung wesentlich bedeutsamer. Die Flächenberechnung kommt im ökonomischen Um feld in vielfältiger Weise zum Einsatz.

Integral 4–1 Das unbestimmte Inte gral einer Funktion Das unbestimmte Integral wird, da es sich aus der Umkehrung des Ableitens ergibt, auch als Aufleitung einer Funktion bezeichnet, und da das unbestimmte Integral letztlich zur Berechnung von Flächen dienen soll, wird die Stammfunktion einer Funktion durch eine Schreibweise kundgetan, welche an eine Summe von Rechtecks flächen erinnert. Unbestimmtes Integral von

y (x )

∫ y ( x ) ∙ dx

:

Beispiel 4-14-1-A: A: Stammfunktion (unbestimmtes IIntegral, ntegral, Aufleitung) einer Funktio Funktion n Wie lautet die Stammfunktion der Funktion

y ( x ) =4 ∙ x

3

? allgemein

Stammfunktion von

y ( x ) =4 ∙ x 3

Kontrolle der Stammfunktion

¿

:

∫ y ( x ) ∙ dx

:

d ∫ y ( x ) ∙ dx

4∙ x

dx

spezifisch

¿

∫ ( 4 ∙ x3 ) ∙ dx

( x)

¿

Resultat

¿

4

x +C

d ( x 4 +C ) (x ) dx

3

1

Wirtschaftsmathematik I 4 – Analysis: Integralrechnung

Weil die Aufleitung einer Funktion nur bis auf eine additive Konstante (C) eindeutig festgelegt ist, nennt man

y ( x) .

Studiengang Wirtschaftsinformatik

∫ y ( x ) ∙ dx

auch das unbestimmte Integral von

2

Wirtschaftsmathematik I 4 – Analysis: Integralrechnung

Studiengang Wirtschaftsinformatik

Anhand einiger Aufleitungsbeispiele werden die Regeln des Integrierens deutlich. Auftr Auftrag ag 4-1-B: Stammfunktionen Versuchen Sie herauszufinden wie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen lauten. A)

y ( x ) =3∙ x 2

B)

y ( x ) =x

C)

y ( x ) =x5

D)

y ( x ) =5

E)

y ( x ) =x−2

F)

y ( x) =

G)

y ( x ) =x

H)

y ( x ) =5∙ x 4−3∙ x 3+ 2∙ x+ 7

2

1 x −3

3

Wirtschaftsmathematik I 4 – Analysis: Integralrechnung

Studiengang Wirtschaftsinformatik

Lösungen zum Auftr Auftrag ag 4-1-B Absichtserklärung allgemein

Resultat

spezifisch

Stammfunktion (Aufleitung)

A)

∫ y ( x ) ∙ dx

¿

∫ ( 3 ∙ x2 ) ∙ dx

¿

x +C

B)

∫ y ( x ) ∙ dx

¿

∫ x 2 ∙ dx

¿

1 3 ∙ x +C 3

C)

∫ y ( x ) ∙ dx

¿

∫ x 5 ∙ dx

¿

1 6 ∙ x +C 6

D)

∫ y ( x ) ∙ dx

¿

∫ 5 ∙ dx

¿

5 ∙ x +C

E)

∫ y ( x ) ∙ dx

¿

∫ ( x−2 ) ∙ dx

¿

1 2 ∙ x −2 ∙ x + C 2

F)

∫ y ( x ) ∙ dx

¿

∫ x ∙ dx

¿

ln ( x ) + C

G)

∫ y ( x ) ∙ dx

¿

∫ x−3 ∙ dx

¿

−1 −2 ∙ x +C 2

H)

∫ y ( x ) ∙ dx

¿

∫ (5 ∙ x4−3 ∙ x3 +2 ∙ x +7 ) ∙ dx

¿

1 5 x −3 ∙ ∙ x 4 + x 2+7 ∙ x + C 4

1

3

Schwierigkeiten beim Int Integrieren egrieren Zwar bedeutet das Integrieren einer Funktion einfach die Umkehrung des Differenzierens, und für diesen Prozess existiert bekanntlich eine ganze Palette von Re geln, aber das bedeutet keineswegs, dass deshalb das Integrieren immer und grundsätzlich einfach vor sich geht oder überhaupt möglich ist.

4

Wirtschaftsmathematik I 4 – Analysis: Integralrechnung

Studiengang Wirtschaftsinformatik

Beispiele 4-1-C: Grenzen des Integri Integrierens erens Wie lautet das unbestimmte Integral von

√ 2∙ x−1

?

2

Wie lautet das unbestimmte Integral von

z +1 2 z

?

Um diese Integrale zu bestimmen, werden schon sehr einschlägige Methoden benötigt (partielle Integration, Integration durch Substitution), welche nicht Thema dieses Kurses sind.

5

Wirtschaftsmathematik I 4 – Analysis: Integralrechnung

Studiengang Wirtschaftsinformatik

Integrationsregeln 4–2 Integr ationsregeln Die folgenden Regeln müssen bei der Bildung des unbestimmten Integrals (Stammfunktion) angewandt werden. Das unbestimmte Integral spezieller Funktionstypen Funktionstyp Potenzfunktion

Spezialfall

Logarithmusfunktion

Spezialfall

Formelt Formeltyp yp

Bedingungen

y ( x ) =x

r

y ( x ) =x−1=

( r  IR \ {–1} )

1 x

Unbestimmtes Integr Integral al

1

∫ y ( x ) ∙ dx= r +1 ∙ x

r+1

+C

∫ y ( x ) ∙ dx=ln ( x ) +C

y ( x ) =log10 ( x )

∫ y ( x ) ∙ dx=x ∙ log10( xe )+C

y ( x ) =ln (x )

∫ y ( x ) ∙ dx=x ∙ ( ln ( x ) −1 )+ C x

Exponentialfunktionen

y ( x ) =a x

Spezialfall

y ( x ) =e

( a  IR+ \ {0;1} )

∫ y ( x ) ∙ dx= lna(a ) +C ∫ y ( x ) ∙ dx=e x +C

x

Das unbestimmte Integral zusammengesetzter Funktionen Funktionszusammensetzung

Formelstrukt Formelstruktur ur

Summe/Differenz von Funktionen

y ( x ) =f ( x ) ± g ( x )

Konstanter Faktor

y ( x ) =c ∙ f ( x )

Bedingung

Unbestimmtes Integr Integral al

∫ y ( x ) ∙ dx=∫ f (x ) ∙ dx ±∫ g ( x ) ∙ dx ( c konstant )

∫ y ( x ) ∙ dx=c ∙∫ f (x ) ∙ dx 6

Wirtschaftsmathematik I 4 – Analysis: Integralrechnung

Studiengang Wirtschaftsinformatik

7

Wirtschaftsmathematik I 4 – Analysis: Integralrechnung

Studiengang Wirtschaftsinformatik

Auftr Auftrag ag 4-2-A: Bildung des unb unbestimmten estimmten Integrals Bilden Sie mit Hilfe der Integrationsregeln das unbestimmte Integral der folgenden Funktionen: A)

y ( x ) =x

B)

u ( m )=

C)

v ( t ) =8 ∙ t3−6∙ t 2 −3 ∙t +2

D)

z (r )=85 ∙ 0.7

E)

q ( s )=0.5 ∙ ln ( s)

F)

w ( z) =36 ∙

G)

y ( x ) =9.7 ∙ e x , e: Euler-Zahl

7

1 m r

1 4 z

8

Wirtschaftsmathematik I 4 – Analysis: Integralrechnung

Studiengang Wirtschaftsinformatik

Lösungen zum Auftr Auftrag ag 4-2-A Absichtserklärung allgemein

Stammfunktion

spezifisch 8

A)

∫ y ( x ) ∙ dx

B)

∫ u ( m) ∙ dm

C)

∫ v ( t ) ∙ dt

¿

∫ ( 8 ∙ t3 −6 ∙t 2−3 ∙ t +2 ) ∙ dt

¿

D)

∫ z ( r ) ∙ dr

¿

∫ ( 85 ∙ 0.7r )∙ dr

¿

E)

∫ q ( s )∙ dx

¿

∫ ( 0.5 ∙ ln ( s ) )∙ dx

¿

F)

∫ w ( z ) ∙ dx

¿

∫ 36 ∙ z14

∙ dz

¿

G)

∫ y ( x ) ∙ dx

¿

∫ ( 9.7∙ e x ) ∙ dx

¿

¿

∫ x 7 ∙ dx

1 ∙ x +C 8

¿ 1

∫ m ∙ dm

¿

(

)

¿ 3

ln ( m ) +C

2

4 t t t 8 ∙ −6 ∙ −3 ∙ +2 ∙ t+C=2 ∙ t 4−2 ∙ t3−1.5∙ t 2+ 2 ∙ t + C 4 3 2

85 ∙

0.7 r +C ln (0.7 )

0.5 ∙ s ∙ ( ln ( s)−1) +C −3

36 ∙

z −12 −3 +C=−12∙ z +C= 3 +C −3 z x

9.7 ∙ e + C

9

Wirtschaftsmathematik I 4 – Analysis: Integralrechnung

Studiengang Wirtschaftsinformatik

Integral 4–3 Das bestimmte Inte gral Die Stammfunktion (die Aufleitung, das unbestimmte Integral) wird dazu verwendet, die von der Horizontalachse und einer Funktionskurve eingeschlossene Fläche zwischen zwei vertikalen Grenzen zu bestimmen. Diese Form der Interpretation der Aufleitung findet ihre Anwendung bei der Ermittlung folgender ökonomischer Kennzahlen: o

periodenbezogener Gesamtabsatz eines saisonalen Artikels,

o

periodenbezogene Lagergesamtkosten bei saisonalen Artikeln,

o

Konsumenten- respektive Produzentenrente beim Verkauf einer Ware,

o

Wohlfahrtsverlust durch einen staatlichen Eingriff in die Preisgestaltung einer Ware,

o

Lorenzkurve und Gini-Koeffizient.

Das zur Bezeichnung eines Integrales verwendete Zeichen « ∫» soll daran erinnern, dass die mittels des Integrales vorgenommene Flächenberechnung auf der Summe von unendlich vielen Flächen von unendlich schmalen Säulen (Breite dx , Höhe y ( x ) , Fläche y ( x ) ∙ dx ), basiert. Jede

einzelne .

Säule

hat

die

Fläche

y (x )∙ x

Je geringer x gewählt wird, desto mehr Säulen ergeben sich und desto genauer repräsentiert die Summe aller Säulenflächen

Diese Säulengesamtfläche liefert eine eher schlechte Näherung der Fläche unter der Kurve.

Diese Säulengesamtfläche liefert eine bessere Näherung der Fläche unter der Kurve.

10

Wirtschaftsmathematik I 4 – Analysis: Integralrechnung

Studiengang Wirtschaftsinformatik

Zusammenhang zwischen Flächenberechnung und Ableitung Es soll die Fläche unter der Kurve einer positiven Funktion (stets über der y-Achse verlaufend) zwischen der x-Achse, der y-Achse und einer Vertikalachse beim Wert x(>0) berechnet werden. Rechteckfläche F1

Rechteckfläche F2

F1 = y ( x ) ∙ ∆ x

F2 = y ( x +∆ x ) ∙ ∆ x

Flächenvergleich

F1 ≤ A ( x +∆ x ) − A ( x ) ≤ F 2 y ( x ) ∙ ∆ x ≤ A ( x+ ∆ x ) −A ( x ) ≤ y ( x +∆ x ) ∙ ∆ x Teilt man diese Ungleichungen durch x, ergeben sich die Ungleichungen

A ( x+ ∆ x )− A ( x ) ≤ y ( x +∆ x ) ∆x

y (x )≤

Differenzenquotient von A(x)

Beurteilt man diese Ungleichung unter der Grenzbetrachtung x0, ergibt sich:

y (x )≤

dA ( x )≤ y ( x ) dx

Dann muss aber gelten:

y (x )=

dA ( x) dx

Diese Gleichheit besagt, dass die Funktion y(x) die Ableitung der gesuchten Flächenfunktion A(x) darstellt. Umgekehrt muss somit die gesuchte Flächenfunktion A(x) durch die Aufleitung (Umkehrung des Ableitens) von y(x) gegeben sein. Diese Funktion A(x) nennt man das (unbestimmte) Integr Integral al von y(x) y(x). 11

Wirtschaftsmathematik I 4 – Analysis: Integralrechnung

Studiengang Wirtschaftsinformatik

Beispiel 4-34-3-A: A: Flächenberechnung unter einer K Kurve urve

Welche Fläche wird durch die x-Achse, die 2 Kurve y ( x ) =2∙ x +3 ∙ x+5 und die beiden Vertikalen bei den x-Werten x=2 und x=5 eingeschlossen?

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Wirtschaftsmathematik I 4 – Analysis: Integralrechnung

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Vorgehen bei der Flächenb Flächenberechnung erechnung unter einer Kurve

∫ y ( x ) ∙ dx=∫ ( 2 ∙ x2 +3 ∙ x +5 ) ∙ dx=2 ∙ 13 ∙ x3 +3 ∙ 21 ∙ x2 +5 ∙ x +C

1.

Stammfunktion bestimmen

:

2.

Einsetzen der Obergrenze in die Stammfunktion

:

x=5

1 5 1 2∙ ∙ 53 +3 ∙ ∙ 52+5 ∙ 5 +C=145 +C 6 2 3

3.

Einsetzen der Untergrenze in die Stammfunktion

:

x=2

1 2 1 1 3 2∙ ∙ 2 + 3∙ ∙2 +5 ∙ 2+C=21 +C 3 2 3

4.

Differenzbildung (Obergrenzenwert–Untergrenzenwert)

:

( 145 65 +C ) −( 21 31+C )=145 56 +C−21 26 −C =145 65 −21 62 =124 63 =124 12

Um zu betonen, dass eine Fläche berechnet werden soll, wird das Integrationszeichen durch die Angaben der Unter- und Obergrenze (für x) ergänzt:

Die Fläche unter der Kurve

5

5

2

2

∫ y ( x ) ∙ dx=∫ ( 2 ∙ x2 +3 ∙ x +5 ) ∙ dx=124.5

Berechnung der Fläche (Schreibweise)

y ( x ) =2∙ x +3 ∙ x+5 2

zwischen x=2 und x=5 beträgt 124.5 Masseinheiten.

Allgemeine Schreibweise des bestimmt bestimmten en Integrals Soll die Fläche unter der Kurve kundgetan:

y ( x)

zwischen der x-Achse und den x-Werten a und b ermittelt werden, wird diese Absicht durch folgende Schreibweise

b

∫ y ( x ) ∙ dx a

Auftrag 4-3-B: W Auftrag Weitere eitere Flächenberechnungen Welche Flächen werden durch die Kurve

y ( x ) =3∙ x 2 , die x-Achse und die beiden Vertikalachsen

A) bei x=0 und x=3,

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Wirtschaftsmathematik I 4 – Analysis: Integralrechnung

Studiengang Wirtschaftsinformatik

B) bei x=3 und x=5 gebildet? C) Wie gross fällt die Fläche unter der Kurve

y ( x ) =3∙ x

zwischen x=0 und x=6 respektive zwischen x=–3 und x=+3 aus?

14

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Lösungen zum Auftr Auftrag ag 4-3-B Funktion

y ( x ) =3∙ x 2

A)

Stammfunktion

Untergrenze

Obergrenze

Bestimmtes Integral

Wert

3

∫ ( 3 ∙ x2 ) ∙ dx=x 3 +C

x=0

∫( 3 ∙ x2 ) ∙ dx

x=3

¿

27

¿

98

¿

54

¿

0

0

5

B)

dito

dito

x=3

∫( 3 ∙ x2 ) ∙ dx

x=5

3

y ( x ) =3∙ x

C1)

∫ ( 3 ∙ x ) ∙ dx=3 ∙ 21 ∙ x

6

2

+C

x=0

∫( 3 ∙ x ) ∙ dx

x=6

0 +3

C2)

dito

dito

x=−3

∫ ( 3 ∙ x ) ∙dx

x=+3

−3

Hinweis Die Übung 4-3-B, C2) offenbart ein Problem bei der Ermittlung von Flächen unter Kurven. Sobald nämlich eine Kurve auch unter der x-Achse verläuft, heben sich die Flächen unter und über der x-Achse teilweise (oder wie im eingangs genannten Beispiel vollständig) gegenseitig auf. Die Berechnung der Gesamtfläche muss dann über die Berechnung der beiden Teilflächen unter der Kurve (wird negativ) und über der Kurve (wird positiv) erfolgen, wobei sich die Gesamtfläche als Summe der beiden Teilflächen ohne Berücksichtigung des negativen Vorzeichens ergibt. Übersicht

Aspekt Bezeichnung

Ableitungsfunktion Differe Differentialquotient ntialquotient

dy (x ) dx

Funktion

y (x )

Stammfunktion Unbestimmtes Integr Integral al

∫ y ( x ) ∙ dx

Flächenfunktion Bestimmtes Integr Integral al b

∫ y ( x ) ∙ dx a

15

Wirtschaftsmathematik I 4 – Analysis: Integralrechnung

Grafische Bedeutung

Studiengang Wirtschaftsinformatik

Steigung von

y (x)

Verlauf von

y (x)

Aufleitung von

y (x)

Flächeninhalt unter

y (x)

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Wirtschaftsmathematik I 4 – Analysis: Integralrechnung

Studiengang Wirtschaftsinformatik

bestimmten 4–4 Anwendungen des best immten Integrals Das bestimmte Integral als Flächenberechnungsmöglichkeit findet bei verschiedenen ökonomischen Problemstellungen seine Anwendung. Saisonaler Warenabsatz Beim saisonalen Absatz einer Ware ergeben sich einige Fragestellungen, welche elegant über eine Flächenberechnung beantwortet werden können. Situation 4-44-4-A: A: Gesamt- und Durch Durchschnittsabsatz schnittsabsatz bei einem saisonalen Artike Artikell Eine Ein-Produkt-Unternehmung kann die ungefähren wöchentlichen Absatzmengen ihres Produktes mittels folgender Formel prognostizieren:

m ( w) =0.0011 ∙ w 4 −0.1521 ∙ w 3+ 6.2644 ∙ w2 −71 ∙ w+ 300 w : m :

Kalenderwoche (1, 2, 3, … , 50) Absatzmenge in Mengeneinheiten (ME) pro Woche ❑

A) Wie hoch fällt der Jahresgesamtabsatz aus?

(

dx ∫ ❑

(

dx ∫ ❑

)

B) Wie hoch fällt – über die gesamten 50 Wochen des Jahres betrachtet – der durchschnittliche Wochenabsatz aus? ❑

C) Welcher durchschnittliche Wochenabsatz ist in den Wochen der Artikel-Hochsaison (Wochen 31 bis 38, beide eingeschlossen) zu verzeichnen?

)

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Wirtschaftsmathematik I 4 – Analysis: Integralrechnung

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Die gesamthaft in einem bestimmten Zeitraum abgesetzte Menge entspricht der Gesamtfläche der zugehörigen Säulen, welche wiederum durch das entsprechende Kurvenflächenstück recht genau angenähert werden kann.

Lösungen zur Situation 4-44-4-A A A) Der Jahresgesamtabsatz ergibt sich durch das Aufaddieren aller 50 Wochenabsätze. Da in der Grafik jeder Wochenabsatz durch eine Säule der Breite 1 (1 Woche) und einer Höhe, welche dem Wochenabsatz entspricht, dargestellt wird, repräsentiert die Fläche jeder Säule gerade den Wochenabsatz. Die Gesamtfläche aller Säulen kann deshalb durch die Fläche unter der entsprechenden Polynomkurve recht exakt ermittelt werden. :

∫ m ( w ) ∙ dw=0.00022 ∙ w 5−0.038025 ∙ w4 +2.0881 3 ∙ w3−35.5 ∙ w 2+300 ∙ w +C

Bestimmtes Integral zwischen w=0 und w=50 :

∫ m (w ) ∙ dw

Unbestimmtes Integral von m(w)

50

0 ❑

Resultat (

∫dx

)

:

¿ 18 360.41667

❑

Der Jahresgesamtabsatz beläuft sich etwa auf 18 360 Mengeneinheiten. B) 18

Wirtschaftsmathematik I 4 – Analysis: Integralrechnung

Durchschnittlicher Wochenabsatz

Studiengang Wirtschaftsinformatik

:

18 360.4 =367.2083 50

Der durchschnittliche Wochenabsatz beträgt 367.2 Mengeneinheiten. C) Der durchschnittliche Wochenabsatz in der Artikel-Hochsaison entspricht der durchschnittlichen Höhe der Säulen der Wochen 31 bis 38 (8 Säulen). Zur Ermittl...