Integrationstheorie I Wi Ma So Se16 Farwig PDF

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Klausur „Integrationstheorie I für BSc. Mathematik, BSc. MCS neue PO“ Fachbereich Mathematik Professor Dr. Reinhard Farwig

Sommersemester 2016 16. August 2016

Tragen Sie in die nachstehenden Zeilen Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Versehen Sie alle Blätter mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer und nummerieren Sie die Blätter. Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fachrichtung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Aufgabe

1

2

3

4

5

Punktzahl

8

8

9

5

10

P

Note

40

erreichte Punktzahl

Hinweise • Die Bearbeitungszeit beträgt 60 Minuten. • Zugelassene Hilfsmittel sind 2 eigen-handschriftlich beschriebene DIN A4 Seiten. • Alle Ergebnisse sind zu begründen, da insbesondere die Lösungswege und Teilergebnisse bewertet werden. • Mobiltelefone sind ausgeschaltet in einer Tasche zu verstauen. • Bitte legen Sie Ihren Studierendenausweis zusammen mit einem Lichtbildausweis zur Kontrolle bereit. • Viel Erfolg!

1

1. Aufgabe (Multiple Choice)

(8 Punkte)

In jeder der 4 Teilaufgaben werden jeweils vier Antworten vorgeschlagen, von denen genau eine Antwort richtig ist. Für das Ankreuzen dieser einen korrekten Antwort bekommen Sie 2 Punkte; werden ein Kreuz falsch oder mehrere Kreuze falsch gesetzt oder wird kein Kreuz gesetzt, wird die Teilaufgabe mit 0 Punkten bewertet. S a) Sei N ⊂ Rn eine Lebesgue-Nullmenge, (qk ) ⊂ Rn eine unbeschränkte Folge und M = (qk + N ). k

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

✷ Für jedes β > n gilt H (M ) = 0. ✷ Für β = n gilt H (M ) = 0. ✷ Für jedes 0 < β < n gilt H (M ) = 0. ✷ Es gibt eine G -Menge U ⊃ M mit λ (U ) = 0. β

β

β

δ

n

b) Sei f ∈ L 1 (R) nichtnegativ. Welche der folgenden Aussagen ist korrekt? R n+1  Die Folge der Integrale konvergiert monoton fallend gegen 0. f dλ n n∈N R n+1  Die Folge der Integrale konvergiert für n → ∞ gegen 0, aber nicht notwenf dλ n n∈N digerweise monoton fallend. R n+1/n  Die Folge der Integrale konvergiert monoton fallend gegen 0. f dλ n

✷ ✷

✷ ✷ Die Folge der Integrale R

n∈N

n+1/n

n

f 2 dλ konvergiert gegen 0.

c) Sei (Mk ) eine monoton fallende Folge in P (N) mit

∞ T

Mk = ;. Wir betrachten Maße µ auf N, die

k=1

durch die Werte µn = µ({n}), n ∈ N, eindeutig bestimmt sind. Wann gilt µ(Mk ) → 0 für k → ∞?

✷ Für alle Folgen (µ ) mit µ 6= 0 ∀ n ∈ N. ✷ Nur falls µ = 1 ∀ n ∈ N (Zählmaß). ✷ Pµ 1

d) Betrachte die komplexwertige Funktionenfolge ( f k ) = (e ikx )k∈N in L 2 ((0, 2π)). Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?

✷ ( f ) ist eine Cauchy-Folge in L ((0, 2π)). ✷ Die obige Aussage ist falsch! Aber R f g dλ 2

k

2π

⊂ C ist für jede Funktion g ∈ C 0 ([0, 2π]) eine Cauchy-Folge, aber nicht für jedes g ∈ L 2 ((0, 2π)). R 2π  g dλ f ⊂ C ist für jede Funktion g ∈ L 2 ((0, 2π)) eine Cauchy-Folge. k 0 0

k

k

✷ ✷ ( f ) konvergiert punktweise fast überall gegen eine Grenzfunktion f ∈ L ((0, 2π)). k

2

k

2

2. Aufgabe

(8 Punkte)

Zeigen Sie die folgenden Aussagen: a) Für die Abbildung f : R → R2 , f (x) = (x, 0), gilt f −1 (B) ∈ B1 für alle B ∈ B2 . Aber es existiert eine Menge A ∈ L2 mit f −1 (A) ∈ / L1 . b) Sei (X , A , µ) ein Maßraum, a > 1 und f : X → R messbar. f ist genau dann integrierbar, wenn X a n µ({ a n ≤ | f | < a n+1 }) < ∞. n∈Z

3. Aufgabe

(9 Punkte)

Sei (X , A , µ) ein Maßraum. Wir definieren die Abbildung

µ∗ : P(X ) → [0, ∞],

µ∗ (A) = inf {µ(B) | A ⊆ B und B ∈ A }.

Zeigen Sie die folgenden Aussagen: a) Für alle A ∈ A gilt µ(A) = µ∗ (A). b) Für alle A ⊆ X existiert ein B ∈ A mit µ(B) = µ∗ (A). Hinweis: Im Falle einer Menge von endlichem Maß kann eine Approximation hilfreich sein. c) µ∗ ist ein äußeres Maß.

4. Aufgabe

(5 Punkte)

Wir betrachten eine Funktionenfolge f n : R → R mit ( f n ) ⊂ L2 (R) ∩ L∞ (R). Ferner gebe es ein f ∈ L2 (R) und eine Konstante C > 0 mit den Eigenschaften f n → f in L2 (R) und k f n kL∞ (R) ≤ C . a) Zeigen Sie f ∈ L∞ (R). b) Zeigen Sie, dass f n → f in L p (R) für 2 ≤ p < ∞.

5. Aufgabe

(10 Punkte)

Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

P∞ R a) Sei ( f n )n∈N eine Folge messbarer Funktionen auf R mit n=1 R | f n | dλ < ∞. Dann konvergiert die P∞ Reihe n=1 f n fast überall absolut und Z ∞ ∞ Z X X f n dλ = f n dλ n=1

R

R n=1

3

b) Die Funktion f : (0, ∞) → R ist gegeben durch f (x) =

Z

∞

f dλ =

0

1−cos(x ) . x2ex

Zeigen Sie

π ln(2) . − 2 4

Hinweis: Sie können ohne Beweis folgende Darstellungen verwenden: ∞ π X (−1)n = , 4 2n + 1 n=0

∞ X (−1)n ln(2) = n+1 n=0

und

Z

∞

x n e −x dx = n!. 0

4...