Taylorreihen, Integralrechnung, Differentialgleichungen PDF

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Begriffe wie Taylorreihen, Integralrechnung, Differentialgleichungen werden in diesem Skript behandelt ....

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(20.1 Tayloreihen)Erklären Sie folgende Begriffe: Taylorpolynom, Entwicklungspunkt, Restglied, Taylorreihe, Potenzreihe, Konvergenzradius. Taylor ist nach dem britischen Mathematiker genannt. Taylorpolynom: Die Taylor-Formel ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Brook Taylor. Man kann diese Formel verwenden, um Funktionen in der Umgebung eines Punktes durch Polynome, die sogenannten Taylorpolynome, anzunähern. Man spricht auch von der Taylor-Näherung. Entwicklungspunkt: Die Entwicklungsstelle ist die Stelle, in deren Umgebung uns das Verhalten der Funktion interessiert. Restglied: Der Fehler, der bei der Approximtion f(x) =~ Tn(x) gemacht wird, heißt Restglied. Tn(x) ist Näherungswert. Der Fehler "exakter Funktionswert minus N•aherungswert" an der Stelle x, Rn(x) = f(x) - Tn(x); wird das Restglied genannt. Für die Abschätzung des Fehlers, der bei Approximation gemacht wird, schaue Satz auf der Seite 86.

Taylorreihe: Eine Funktion, die unendlich oft differenzierbar ist, bildet eine Taylorreihe. Taylorreihen werden benutzt, um den Wert einer Funktion an einer Stelle näherungsweise zu berechnen (approximieren). So benutzen die meisten Taschenrechner beispielsweise Taylorreihen, um den Sinus und andere trigonometrische Funktionen zu berechnen, da eine genaue Berechnung zu rechenintensiv wäre. Die Taylorreihe ist im Prinzip ein Werkzeug in der Mathematik, mit dem man aus komplizierten Funktionen einfachere machen kann. Grenzverhalten, Grenzbetrachtung: Die Grenzwertbetrachtung dient dazu, das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen entweder im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) zu ermitteln. Das funktioniert, indem man x immer näher an die gewünschten Werte annähert und dabei überprüft, wie sich die zugehörigen y-Werte der Funktion verhalten. Differnzierbarkeit einer Funktion: Ist eine Funktion an einer Stelle x0 nicht differenzierbar, so ist die Tangente an dieser Stelle nicht bestimmbar. Dafür kann es verschiedene Gründe geben. https://de.serlo.org/mathe/funktionen/grenzwerte-stetigkeitdifferenzierbarkeit/differenzierbarkeit/differenzierbarkeit (20.2 Monotonie, Krümmung, Extremwerte)Erklären Sie folgende Begriffe: konvex, konkav, lokales/globales Maximum/Minimum, Extremwert, Wendepunkt, Sattelpunkt. Konvex und konkav: Die Begriffe Konvexität bzw. Konkavität treffen Aussagen über die Krümmungsrichtung einer Funktion. Eine Funktion ist in einem Bereich konkav, wenn sie dort nach rechts gekrümmt ist, und konvex, wenn sie nach links gekrümmt ist. https://studybees.de/mathe/konvex-konkav/

(21 Differntialgleichungen: Stammfunktion)Erklären Sie folgende Begriffe: Stammfunktion, unbestimmtes Integral, Integrand, Integrationsvariable, Integrationskonstante, partielle Integration, Substitution. Definition 21.3 Die Menge aller Stammfunktionen von f nennt man "unbestimmtes Integral" von f und schreibt Z f(x) dx = F(x) + C; wobei F irgendeine Stammfunktion von f und C 2 R eine Konstante ist. Die Funktion f unter dem Integralzeichen heißt "Integrand", x ist die "Integrationsvariable" und C wird "Integrationskonstante" genannt.

Partielle Inegration: Die partielle Integration, auch Produktintegration genannt, ist in der Integralrechnung eine Möglichkeit zur Berechnung bestimmter Integrale und zur Bestimmung von Stammfunktionen. Sie kann als Analogon zur Produktregel der Differentialrechnung aufgefasst werden....