5.5. Aufgaben und Lösungen zur Integralrechnung PDF

Preview

Summary

Mitschrift...

Description

5.5. Aufgaben zur Integralrechnung Aufgabe 1: Stammfunktionen Bestimmen Sie jeweils alle Stammfunktionen für die folgenden Funktionen: k) f(x) = xn mit n ∊ℝ\{−1}

f) f(x) = x2

a) f(x) = 0

p) f(x) = 16x4 + x − 7 +

5 x

b) f(x) = 1

g) f(x) = x3

l) f(x) = 5x2 − 3x + 6

c) f(x) = 2

h) f(x) = x−3

m) f(x) = x4 − x3 + x2 − x + 1

d) f(x) = a∊ ℝ

i) f(x) = x−2

e) f(x) = x

j) f(x) = x−1

n) f(u) = 4u3 − 3u2 + 7u 3 o) f(x) = x2 − 3x  x − 5 2

2

−

30 x3

1 3 t− 2 2 t r) f(x) = anxn + an−1xx−1 + ... + a1x + a0 s) f(t) = sin t

q) f(t) =

t) f(t) = cos t

Aufgabe 2: Hauptsatz und Eigenschaften des Integrals Berechnen Sie die folgenden Integrale: 1

a)

1

3 2

2

d)

3

1

2

3

,

und 2

(Intervalladditivität) 1

1

b)

e)

(Vertauschung der Grenzen bzw. dx < 0) 2 3

c)

(Flächen unterhalb der x-Achse bzw. f(x) < 0)

f) 0

Aufgabe 3: Flächen unterhalb der x-Achse Berechnen Sie den Gesamtinhalt F aller Flächen, die von den Senkrechten x = a bzw. x = b sowie von der x-Achse und dem Schaubild von f begrenzt werden: a) f(x) = x2 − 1 mit a = −1 und b = 2 d) f(x) = x3 − x mit a = −1 und b = 1 2 b) f(x) = −x − 4x −3 mit a = −4 und b = −1 e) f(x) = x3 − x mit a = −1 und b = 2 3 c) f(x) = x mit a = −1 und b = 2 f) f(t) = sin t mit a = −π und b = π Aufgabe 4: Flächen unterhalb der x-Achse Berechnen Sie den Gesamtinhalt der Flächen, die durch das Schaubild von f und die x-Achse eingeschlossen werden. a) f(x) = −x2 + 1 b) f(x) = x3 − 4x c) f(x) = −x4 + x2 d) f(x) = x3 − 3x2 + 2x Aufgabe 5: Flächen zwischen zwei Schaubildern Berechnen Sie den Gesamtinhalt A aller Flächen, die durch die Schaubilder der Funktionen f und g sowie die Senkrechten x = a und x = b eingeschlossenen werden. a) f(x) = −x2 + 2, g(x) = −x2 + 3, a = −1 und b = 1 d) f(x) = x2, g(x) = x, a = 0 und b = 2 b) f(x) = x2, g(x) = 2, a = −1 und b = 1 e) f(x) = x2, g(x) = x3, a = −2 und b = −1 c) f(x) = 3x, g(x) = −x + 2, a = 0 und b = 1

f) f(t) = sin t, g(t) = cos t, a = − , b = 4 4

Aufgabe 6: Flächen zwischen zwei Schaubildern Berechnen Sie den Gesamtinhalt A der Flächen, die durch die Schaubilder der Funktionen f und g eingeschlossen werden. a) f(x) = x2, g(x) = 2 − x2 b) f(x) = x3, g(x) = x2 c) f(x) = x3, g(x) = x d) f(x) = x3 − 3x, g(x) = 2x2 Aufgabe 7: Variable Grenzen Geben Sie an, für welches t die Fläche A(t) genau 2 FE groß wird. t

7

a) A(t) =

t

c) A(t) =

0

1

t

t

b) A(t) = 0

4

d) A(t) = 2

1

2

e) A(t) = 1

4

t

f) A(t) =

2

0

1

Aufgabe 8: Substitutionsmethode Berechnen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe der Substitutionsmethode: 3

9

1

1

f)

a)

p)

0

0

0

2

1

3

b)

4x

g) 1

0

1

0

5

1

2x x

0

0

0

4

e)

3

11x

q)

m) n)

x

2

x

2

2

ln x

r)

0 1

2

(ln x)

1

t

2

2e

s)

ln x

e

x

j) 2

1

dx

1

i)

d)

l)

0

2

h) 0

x

(x

0,5

c)

1

k)

x

2

1

o)

x

t) 1

ln(x

0

Aufgabe 9: Produktregel Berechnen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe der Produktregel: 2

1

a)

1

c)

3

e)

0

g) 0

1

e2

2

d)

b) 0

2

f)

h) e

1

x 1

ln x

1

Aufgabe 10: Substitutions- und Produktregel mit beliebigen Grenzen Zeigen Sie durch Integration von f(x) über ein beliebiges Intervall [a; b], daß F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist. a) f(x) = 4e2x mit F(x) = 2e2x j) f(x) = (x + 3)e−x mit F(x) = −(x + 4)e−x −0,5x − 1 −0,5x − 1 b) f(x) = e mit F(x) = −2e k) f(x) = (−3x + 11)e3x mit F(x) = (−x + 4)e 3x −3x + 1 −3x + 1 c) f(x) = −6e mit F(x) = 2e l) f(x) = −(6x + 1)e −3x + 1 mit F(x) = (2x + 1)e −3x + 1 d) f(x) = 2x∙ e

0,5 x 2

e) f(x) = −6x∙ ex

2

f) f(x) = (4x − 2) e

mit F(x) = 2 e

0,5 x 2

mit F(x) = −3 e x

2

mit F(x) = −2 e

g) f(x) = (x + 3)e x mit F(x) = (x + 2)ex h) f(x) = (−2x − 1)ex mit F(x) = (−2x + 1)e x i) f(x) = x2ex mit F(x) = (x2 − 2x + 2)ex

m) f(x) = (2x − 5)e 2x + 1 mit F(x) = (x − 3)e2x + 1 1 x 2 n) f(x) = mit F(x) = ln(x + 1) 2 2 x

1

o) f(x) =

mit F(x) = −

1 4x

(2x p) f(x) = 1 + ln(x) mit F(x) = x∙ln(x) q) f(x) = (ln(x))2 mit F(x) = x∙(ln(x))2 − 2x∙ln(x) + 2x r) f(x) = 1 − (ln(1 − x)) 2 mit F(x) = (1−x)∙(1−ln(1−x)) 2

Aufgabe 11: Uneigentliche Integrale Schreiben Sie die folgenden uneigentlichen Integrale als Grenzwert und berechnen sie ihn: 0

a)

c) 1

x

e) 1

dx 0

(x

g) 0

1

d) 0

x

x

1

b)

1

x

Aufgabe 12: Uneigentliche Integrale Geben Sie alle n > 0 an, für die die Flächen A bzw. B zwischen der Hyperbel f(x) = x−n und der y-Achse bzw, x-Achse endlich sind und berechnen Sie ihren Inhalt in Abhängigkeit von n.

1

f)

1

h) 0

0

1

x

y f(x)

A 1 1

x B 2

5.5. Lösungen zu den Aufgaben zur Integralrechnung Aufgabe 1: Stammfunktionen (c ∊ ℝ) k) Fc(x) =

b) Fc(x) = x + c c) Fc(x) = 2x + c d) Fc(x) = ax + c

1 2 x +c 2 1 3 Fc(x) = x + c 3 1 4 Fc(x) = x + c 4 1 Fc(x) = − x−2 + c 2 Fc(x) = −x−1 + c Fc(x) = lnx + c

e) Fc(x) = f) g) h) i) j)

1

xn+1 + c n 5 3 3 2 l) Fc(x) = x − x + 6x + c 3 2 1 5 1 4 1 3 1 2 m) Fc(x) = x − x + x − x + x + c 5 3 4 2 7 n) Fc(u) = u4 − u3 + u + c 2 1 3 3 2 2 1,5 o) Fc(x) = x − x + x − 5x + c 2 2 3 16 5 1 2 5 15 p) Fc(x) = x + x − 7x + c − + 5 2 x x2 3 q) Fc(t) = t2 − t + c 4 a a a r) Fc(x) = n xn+1 + n xn + ... + 1 x2 + a0x + c 2 n n s) Fc(t) = − cos t + c t) Fc(t) = sin t + c

a) Fc(x) = c

Aufgabe 2: Hauptsatz und Eigenschaften des Integrals 1

a)

1

3 2

=

=

2

b)

=

= (4 +

c)

= 2

d)

= 1

7 FE, 3

1

e)

=− 2

= 2

5 11 8 FE ) − (− ) = 6 6 3

3

= 1

1 6

=

5 FE 6

26 FE, 3

7 FE 3

1

f)

19 FE, 3

= − (−

8 1 1 3 ) − ( − ) = 6 FE 3 3 4 4 =

3

1 6

3

A=

= ∣

+ 0

1

4 4 8 FE ∣ + ∣− ∣ = 3 3 3

Aufgabe 3: Flächen unterhalb der x-Achse 1

a)

2

+

A=

= 1

b) A =

A=

2

+

= 0

0

d) A =

= ∣−

+ 0

c)

4 4 8 + = FE 3 3 3

1 +4 4

=

1

+

= 0

4 4 8 FE ∣+∣ ∣ = 3 3 3

17 FE 4 1 1 1 + = FE 4 4 2

3

0

e)

1

A=

2

+

+ 0

= 1

11 9 1 1 + + = FE 3 4 4 4

π

f)

A=2

= 4 FE 0

Aufgabe 4: Flächen unterhalb der x-Achse 1

a)

= 2∙

A = 2∙

= 2∙

0

2 4 = FE 3 3

2

∣ = 2∙∣

b) A = 2∙∣

∣ = 2∙∣−4∣ = 8 FE

0 1

c)

A = 2∙

= 2∙

= 2∙

0 1

2 4 = FE 15 15

2

d) A=

∣=

+∣ 0

+∣

1

∣=

1 1 1 +∣− ∣= FE 4 4 2

Aufgabe 5: Flächen zwischen zwei Schaubildern 1

a) A =

= 2 FE 1

= 3

b) A = 0,5

1 FE 3

1

c) A =

= 0

0,5

1

1 1 + = 1 FE 2 2

2

+

d) A =

=

0

1

e) A =

= 6

1 5 + = 1 FE 6 6

1 FE 12

0,25

f) A =

= 2 2 FE

Aufgabe 6: Flächen zwischen zwei Schaubildern 1

a) A =

= 1

=

b) A = 0

0

c) A =

8 3

1 12

1

+

= 0

0

d) A =

1 1 1 + = 4 4 2

3

+

= 0

71 7 45 + = 6 12 4

4

Aufgabe 7: Variable Grenzen t

a)

7 1 = − t3 + t = 2 t3 − 7t + 6 = 0 ⇔ t = 1 3 3

7

A(t) = 0 t

4

b) A(t) =

=

0 t

c)

1

A(t) =

1 3 1 1 1 3 t − t− + = 2 t − t − 6 = 0 ⇒ t = 2 3 3 3 3

=

1 t

4

d) A(t) =

=

2 2

e)

A(t) =

= 1 t

f)

A(t) =  (x2  0

1 3 2 2 t + t + t = 2 t3 − 2t2 + 3t − 6 = 0 ⇒ t = 2 3 3

1 3 2 2 8 8 t − t −t− + + 2 = 2 t3 − 2t2 − 3t = 0 ⇒ t = 3 3 3 3 3

2 1 3 t 2 1 3 t 2 7 3 2 + 2 − 1 − 1 = + t = 2 14 + 9t = 12 ⇒ t = − 3 9 3 3 2 2 2

2 1 3 t 2 tx  2)dx = t − t + 2t = 2  2t = 2 ⇒ t = 1 3 3 3

Aufgabe 8: Substitutionsmethode 3

7

= e7 − e−2  1096,50 mit z(x) = x2 − 2

=

a) 0 2

2

b)

0

= 2 1

= 2(1 − e−3)  1,90 mit z(x) = x2 − 4

= 2 1

1

1

0

1 3

5

5

=

c) d)

1 3

= 0

4 1

= −(e−5 − 1)  0,99 mit z(x) = −x

= −

= 0

0

0

0

0

e)

1 4 (e − e)  17,29 mit z(x) = 3x + 1 3

=

1

= −(e − e4) ≈ 51,88 mit z(x) = 1 − x

= −

=

4 9

10

1

f)

x =

0

1

1

4x

g) 0

=

= 0,9 mit z(x) = x + 1

z =−

x =

(x

0,5

0,5

2x

h) 0

1

x

1

0

1

i)

2x

dx =

dx =

2 3 =

(x

1 3

= ln 2

0 4

x

j) 2

=

x

1

1

0

l)

0 2

11x

=

2 1

m) 0

1

x2

1

−

=

k) 3

1 ln 5 2

=

11z

=

1

− t ln z t

1 − t(ln(1 + t) − ln t) mit z(x) = x2 + t 2

=

t 2

2

= 11z

z =

= 11 + 7 ln(2)  15,85 mit z(x) = x − 1

1 1

1

dz =

= t

= t

=

1 2

5

1

t

n)

2

t

dx =

2

t

=

2

t

2

= 0

t2

2

o)

= (2ln(2) − 2) − (0 − 1)  0,39 mit Stammfunktion aus Formelsammlung

= x 1 1

1

=

p) 0 3

2

(ln x)

q)

x = =

=

1

ln x

ln 2e

=

=

e

t)

2 (ln(2))1,5  0,38 mit z(x) = ln(x) 3

=

ln 1

2e

ln e

1 1 (ln(2e))2 −  0,93 mit z(x) = ln(x) 2 2

ln(2)

ln(x

=

0

1 1 ln(2) −  0,19 mit z(x) = x2 + 1 2 2

1 1 (ln(3))3 − (ln(2))3  0,33 mit z(x) = ln(x) 3 3

= ln 2

ln x

= 1

ln 2

r)

1

=

ln 3

2 2

s)

2

1 20

= ln(1)

1 (ln(2))2  0,24 mit z(x) = ln(x + 1) 2

Aufgabe 9: Produktregel 2

2

=

a)

=

−

0

0

1

b)

= e2 + 1  8,39

=

−

1

=

=

−

0

= e − 2  0,72

=

− 2

0

(Ergebnis aus a) einsetzen!) 1

c)

1

=

−

=

−

2

d)

1

1

x =

e2

−

=

=

e

1

1

−

=

=

=

e

3

dx =

+ 2

0

3

(x ln(x)

1 x

−

1

1

− (x ln(x)

1

+ 2

= −5e−1 + 2  0,16 (Ergebnis aus d) einsetzen!)

e2



= −3e−2 + 2e−1  0,33

0

=

2

1 2 3 −2 e + e  1,90 4 4

=

=

1

0

h)

−

−

=

g)

x=

=

1

1

f)

−

2

1

e)

=

2 ln(x) l dx =   ln(x)dx = l(x) x x 1

3

−

=

= 1

= 3(ln(3))2 − 6ln(3) + 6 − 2  1,03

= 2

−

1 2 2 e (3e − 1)  39,10 4

1

2

 ln(x)  x dx ⇒  1

1

1 ln(x) ln(x) dx = 2 x

=

(ln(2))2  0,24. 2

6

Aufgabe 10: Substitutions- und Produktregel mit beliebigen Grenzen b

b

2b

=

a)

=

a

a

b

b) a

1

dx =

b

x =

dx =

a

a

a

b

b

0,5b2

=

x =

a

a

b

b

=

a

b

b

=

a b

b

= F(x) a

=

b3

=

b

=

= F(x) a

a3

a

b

h)

=

dx =

a

= F(x) a

a

=

g)

b

=

2

dx =

b

= F(x) a

= F(x) a

b2

= a

b

= b

=

dx =

a

=

0,5a 2

=

f)

b

= F(x) a

=

b

=

e)

=

a

b

d)

b

= F(x) a

=

2a

b

=

c)

=

b

=

−

= a

=

−

b

=

= F(x) a

a

b

b

i)

=

=

−

a

=

−

=

a

b

= F(x) a b

j)

b

=

=

−

a

=

−

b

=

= F(x) a

b

k)

=

−

a

b

=

x =

−

a

−

=

=

a

b

= F(x) a b

b

l)

= a

=

−

b

= F(x) a

b

b

=

1 3

−

a

a

b

−

a

=

−

= F(x) a

b

=

)dx =

b

= n)

=

a

= m)

1

−

1

−

x =

=

=

a

b

= F(x) a b

o)

b

= a

a

1

1

b2

=

= a2

=

b

= F(x) a

7

b

b

p)

= a

a

b

b

q)

1

1

dx =

a

 ln(x) ln(x) dx = (x ln(x)  x) ln(x)

b a

b

b

= x(ln(x))  x ln(x) − x ln(x) a b

= a

= x a

= x

b a

=

b a

−

 (ln(x) 1)dx a

b

=

b

s)

b

1 x

− ...