Praktisch - Lösen von Differentialgleichungen mit Potenzreihenansatz PDF

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Lösen von Differentialgleichungen mit Potenzreihenansatz...

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Lösen von DGL’n mit Potenzreihenansatz Für x0=0 ∞

(1)

∑ an x

y=

Ansatz:

n

n= 0

∞

∑n * an * x

y' =

n −1

n= 1 ∞

∑ n * (n − 1) * an * x

y' ' =

n −2

n =2

⇒

Ansatz für x0 ≠ 0 Mertziger Seite 71

⇒ y,y’,y’’ ... in Ausgangsgleichung (DGL) einsetzen ⇒ allgemeine Lösung für an mittel Koeff.-vergleich ⇒ AW in (2) einsetzen → Bestimmung von best. (a0,a1) ⇒ mittels Koeff.-Vergleich restliche benötigte an bestimmen ⇒ a0 bis a n in Ansatz einsetzen

(2) (3) (4) (5) (6)

Beispiel: y' ' = ( x² + 2) * y

;AW:

y(0)=1 y’(0)=0 Entwicklungstelle: x0=0

∞

∞

n= 2

n= 0

∑ (n(n − 1)) * an * xn −2 = (x² + 2) * ∑ an xn

nach (2):

y’’

y

∞

⇒ ausmultiplizieren

∑ n(n − 1) * an * x n =2

n-2

(3)

x

(4)

y(0) = 1 ⇒ a0 = 1 y’(0) = 0 ⇒ a1 = 0 .... ....

(5) (6)

: n(n-1)an = 2an-2 + an-4

⇒

n− 2

=

∞

∞

n=0

n= 0

∑ 2a n x n + ∑ a nx n +2

2a n −2 +a n −4 an = n(n − 1)...