Praktisch - Übungsaufgaben mit Lösungen - Mechanik, Wärmelehre, Elektrizitätslehre, Schwingen Wellen, Optik PDF

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Übungsaufgaben mit Lösungen - Mechanik, Wärmelehre, Elektrizitätslehre, Schwingen Wellen, Optik...

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Inhaltsverzeichnis

Aufgabe

Thema

Inhalt

Kategorie

1.

Anwendungsaufgaben

1. Schwimmer und Flussströmung 2. Standseilbahn am Hang 3. Temperatur von druck-komprimiert Luft 4. Strom fließt durch Widerstand 5. Gegenstand vor Sammellinse

Mix

2.

grundlegende physikalische Phänomene

1. vektorielle undskalare Kennzeichen und Größen 2. Größen der Kreisbewegung zu Translationsbewegung 3. Prinzip des Archimedes 4. elektrische Ladungen und Wechselwirkungen

Basic

3.

Flugzeug in Luftströmung

Flugzeug in Luftströmung

Mechanik

4.

Zur geradlinigen gleichförmigen Bewegung

Auto bremst

Mechanik

5.

Überlagerung von Bewegung

Ball rollt vom Dach

Mechanik

6.

Kreisbewegung

Kran mit Antriebsrolle

Mechanik

7.

Freier Fall

Stein fällt in Brunnen

Mechanik

8.

Potentielle und kinetische Energie

Pendel an Stange

Mechanik

9.

Elastischer Stoß

Zusammenstoß zweier Gummibälle

Mechanik

10.

Impulserhaltung

Luftkissenfahrzeug gleitet

Mechanik

11.

Ballistisches Pendel

Ballistisches Pendel wird getroffen

Mechanik

12.

Newtonsche Axiome (Kräfte an der schiefen Ebene)

Standseilbahn am Hang

Mechanik

13.

Newtonsche Axiome

Tauziehen auf Wagen

Mechanik

14.

Trägheitskräfte

Steinschleudern an Schnur auf horizontaler Kreisbahn

Mechanik

15.

Kräftegleichgewicht - Kreisbewegung

Bahngeschwindigkeit eines Satellit

Mechanik

16.

Gravitation

Gravitationsfeld Erde und Mond

Mechanik

17.

Drehmoment

Brett im Gleichgewicht

Mechanik

18.

Drehmoment - Trägheitsmoment

Schwungrad auf Welle wird gebremst durch Reibung der Lager

Mechanik

19.

Rotation einer Kugel

Kugel rollt auf schiefer Bahn

Mechanik

20.

Rotationsenergie

Rotationsenergie einer Hohlkugel

Mechanik

21.

Potentielle und kinetische Energie

wassergefülltes Gefäß mit Öffnung für maximalen Wasserstrahl

Mechanik

22.

Hydrostatischer Druck

Kraft von Wasserinhalt auf Seitenwände eines Gefäßes

Mechanik

23.

Dichte eines Stoffes - Auftrieb

Kupferzylinder in Wasser und in Benzol

Mechanik

24.

Auftrieb

Mensch mit Schwimmweste in Wasser

Mechanik

25.

Strömung von Flüssigkeiten

Rohr mit ungleichen Querschnitten

Mechanik

26.

Boyles Gesetz

Geschwindigkeit von Teilchen im idealen Gas

Wärmelehre

27.

Barometrische Höhenformel

Vernachlässigbarkeit des Höhenunterschieds zu Abhängigkeit von Luftdichte zu Druck

Wärmelehre

28.

Mischtemperatur

Gefäß mit 2 unterschiedlich temperierten Wassermengen

Wärmelehre

29.

Thermische Ausdehnung

Ausdehnung von Bahnschienen-Stahl

Wärmelehre

30.

Kalorien

Gewichte stemmen

Wärmelehre

31.

Wärmestrahlung

Nettoabstrahlungsleistung des menschlichen Körpers

Wärmelehre

32.

Energieumwandlung

Wassertemperatur nach Aufschlag eines Wasserfalls

Wärmelehre

33.

Zustandsgleichung idealer Gase

Dichte von Stickstoff und Luft

Wärmelehre

34.

Zustandsgleichung idealer Gase

Glaszylinder luftdicht abgeschlossen durch Kolben

Wärmelehre

35.

Isotherme Zustandsänderung

Temperatur von druck-komprimiert Luft

Wärmelehre

Inhaltsverzeichnis Seite 1

36.

Kräfte zwischen Ladungen

Kraft zwischen zwei geladenen kugeln

Elektrizitätslehre

37.

Kapazität

Kapazität eines Plattenkondensators

Elektrizitätslehre

38.

Elektron im elektrischen Feld

Geschwindigkeit eines Elektrons in Braunscher Röhre

Elektrizitätslehre

39.

Elektrische Energie

Heizspirale in elektrischem Wasserkocher

Elektrizitätslehre

40.

Elektrische Ladung, Energie, Leistung

Entladung einer Autobatterie

Elektrizitätslehre

41.

Induktion

Urspannung an einer Spule

Elektrizitätslehre

42.

Elektrische Schaltung

Strom fließt durch Widerstand

Elektrizitätslehre

43.

Ungedämpfte Schwingung

Frequenz der ungedämpften harmonischen Bewegung eines Massenpunktes

Schwingungen und Wellen

44.

Gedämpfte Schwingung

Abklingkoeffizient einer harmonischen gedämpften Schwingung eines Massenpunktes

Schwingungen und Wellen

45.

Pendel

Pendeluhr auf Meereshöhe

Schwingungen und Wellen

46.

Lichtbrechung

Lichtstrahl auf Glasplatte

Optik

47.

Lichtbrechung

Lichtstrahl auf Wasser und Küvette

Optik

48.

Abbildung mittels Sammellinse

Reelles Bild durch Brennweite einer dünnen Linse

Optik

49.

Abbildung mit Hilfe von zwei Sammellinsen

Reelles Bild durch Brennweite zweier dünner Linse

Optik

Inhaltsverzeichnis Seite 2

Übungsaufgaben zur Mechanik

Übungsaufgaben zur Mechanik 3. Flugzeug in Luftströmung Ein Flugzeug fliegt mit einer Eigengeschwindigkeit von 360 km⋅h-1 in östlicher Richtung. Gleichzeitig befindet sich das Flugzeug in einer Luftströmung, wobei der Wind mit einer Geschwindigkeit von 20 m⋅s-1 aus Richtung Südwest bläst. a) Welche tatsächliche Fluggeschwindigkeit besitzt das Flugzeug? b) Welcher Kurs ergibt sich durch das Zusammenwirken beider Bewegungen (Angabe in Grad). c) Welchen Kurs muss das Flugzeug fliegen, um die Abdrift durch die Luftströmung zu kompensieren und genau in Ostrichtung zu fliegen? Hinweis: Osten entspricht einem Winkel von 0°, Norden entspricht einem Winkel von 90°. geg.: r f = 360 km⋅h-1 = 100 m⋅s-1

1

km 1000m 1 m = = h 3600s 3,6 s

αf = 0° r -1 w = 20 m⋅s

ges.: r r a) v result = r b) αr c) αkorr.

αw = 45° Lösung Skizze

y

Norden

r w α

r r r f

Osten

x zu a) Es liegt ein Kombination zweier geradlinig gleichförmiger Bewegungen vor. Die erste ist r die Eigenbewegung des Flugzeugs. Sie ist gekennzeichnet durch den Vektor f . Komponentenschreibweise: r m⎞ m ⎞ ⎛ ⎛ r ⎛ f x ⎞ ⎛⎜ f ⋅ cosα f ⎞⎟ ⎜100 ⋅ cos 0° ⎟ ⎜ 100 ⎟ s ⎟. s ⎟ =⎜ =⎜ f = ⎜⎜ ⎟⎟ = r ⎜ f ⋅ sin α ⎟ ⎜ m m f ⎟ ⎜ ⎟ y ⎝ ⎠ ⎝ f ⎠ ⎜ 100 s ⋅ sin 0° ⎟ ⎜ 0 s ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝

9

r Die zweite Bewegung ist die Luftströmung w : m⎞ ⎛ m ⎞ ⎛ r r ⎛ wx ⎞ ⎛ w ⋅ cos αw ⎞ ⎜ 20 s ⋅ cos 45° ⎟ ⎜14,14 s ⎟ ⎟= ⎜ ⎟ =⎜ ⎟. w = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ r ⎟ ⎜ m m⎟ w α sin w ⋅ ⎟ ⎜ y w ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ 20 ⋅ sin 45° ⎟ ⎜14,14 ⎟ s s ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Um die Gesamtgeschwindigkeit (resultierende Geschwindigkeit müssen beide Vektoren addiert werden: r r r r=f+w

r r ) zu bestimmen,

Vektoren werden addiert, indem man die einzelnen Komponenten addiert: m m⎞ ⎛ m⎞ ⎛ r ⎛ f x + w x ⎞ ⎜ 100 s + 14,14 s ⎟ ⎜114,14 s ⎟ ⎟ =⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎟ r = ⎜⎜ m m ⎟ ⎜ m⎟ + f w y y ⎜ ⎠ ⎜ 0 + 14,14 ⎝ ⎟ ⎜ 14,14 ⎟ s ⎠ ⎝ s ⎠ ⎝ s r Der Betrag der resultierenden Geschwindigkeit entspricht der Länge des Vektors r . Man erhält ihn mit dem Pythagoras: 2

2

r m⎞ ⎛ m⎞ m m m ⎛ r = rx 2 + r y2 = ⎜ 114,14 ⎟ + ⎜ 14,14 ⎟ = 13028 + 200 = 13228 = 115 s⎠ ⎝ s⎠ s s s ⎝ r m r = 115 s Die resultierende Geschwindigkeit des Flugzeuges beträgt 115 m⋅s-1. zu b) Bestimmung des sich ergebenden Kurses αr:

y

r r

ry

αr rx x Der Kurs, der sich durch die Überlagerung der beiden Bewegungen ergibt, läßt sich mit Hilfe der Komponenten des resultierenden Vektors bestimmen: ry 14,14 αr = arctan 0,124 = 0,124 → tan α r = = rx 114,14 α r = 7,07 ° ≈ 7° Der sich durch die Abdrift ergebende Kurs weicht von der östlichen Richtung um rund 7° in Richtung Norden ab.

10

Übungsaufgaben zur Mechanik zu c) Bestimmung des korrigierten Kurses αkorr. des Flugzeugs, um die Abdrift durch die Luftströmung zu kompensieren und damit genau Richtung Osten zu fliegen. Die resultierende Bewegung rverläuft genau dann in Richtung Osten, wenn die Summe der r beiden y-Komponenten von f und w null ist. 0 = ry = f y + w y

Die Luftströmung kann nicht verändert werden, also wird für wy der unter a) ermittelte Wert eingesetzt: 0 = f y + 14,14

m s

f y, korr. = −14,14

m s

Die negative Geschwindigkeit bedeutet, dass das Flugzeug bezogen auf die y-Achse in negative Richtung fliegen muss (Kurs in südöstliche Richtung).

y

r w r f korr.

r rOst α korr. fy,korr. x

r Der korrigierte Kurs ergibt sich aus der Betrachtung des zum Vektor f gehörenden rechtwinkligen Dreiecks. Es werden nur die Beträge berücksichtigt. m f y ,korr . − 14,14 s sin α korr . = r = = − 0,1414 m f 100 s α korr . = arcsin(− 0,1414) α korr . = −8,13° ≈ −8 ° Um die Abdrift aufgrund der Luftströmung zu kompensieren, muss das Flugzeug von der Ostrichtung um etwa 8° in Richtung Süd abweichend gesteuert werden.

11

4. Zur geradlinigen, gleichförmig beschleunigten Bewegung

Ein Auto fährt mit der Geschwindigkeit v = 20 m⋅s-1 an Ihnen vorbei und bremst mit a = 2,3 m⋅s-2. a) Wo befindet es sich nach 2,1 s? b) Wie schnell ist es zu diesem Zeitpunkt noch? c) Wie groß ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit innerhalb dieser Zeitspanne? d) Wie lange dauert es insgesamt, bis das Auto zum Stehen kommt? e) Wie lang ist insgesamt der Bremsweg? Hinweis: Bremsen heißt negative Beschleunigung a. geg.: v = 20 m⋅s-1 a = -2,30 m⋅s-2

ges.: a) s für t1 = 2,1 s b) v1 c) v d) tBrems e) sBrems

Lösung:

Skizze

r −a

r v0 x

a) Ort des Autos nach 2,1 s: 1 s = ⋅ a ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t + s 0 Weg – Zeit – Gesetz 2 mit s0 = 0: 1 ⎛ m⎞ m s = ⋅ ⎜⎜ − 2,3 ⎟⎟ ⋅ ( 2,1s) 2 + 20 ⋅ 2,1s 2 2 ⎝ s s ⎠ x = 36,9 m 2,1 s nach dem Einsetzen des Bremsens befindet sich das Auto in 36,9 m Entfernung. b) Geschwindigkeit des Autos nach 2,1 s: v = a ⋅ t + v0

Geschwindigkeit – Zeit – Gesetz

⎛ m⎞ m v = ⎜⎜ − 2,3 ⎟⎟ ⋅ 2,1s + 20 2 s s ⎠ ⎝ m v = 15,2 s Die Geschwindigkeit beträgt nach 2,1 s nur noch 15,2 m⋅s-1. 12

Übungsaufgaben zur Mechanik c) Durchschnittsgeschwindigkeit v innerhalb der 2,1 s: v + v1 2 m m 20 + 15,2 s s v= 2 m v = 17,6 s v=

Die durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt 17,6 m⋅s-1. Test: Einsetzen der Durchschnittsgeschwindigkeit, um den innerhalb der 2,1 s zurückgelegten Weg zu ermitteln: s = 17,6

m ⋅ 2,1s = 36,9 m s

d) Zeit bis zum Stillstand: Für den Stillstand gilt: v = 0 m⋅s-1, also: v = 0 = a ⋅ t + v0 Umstellen nach t: t=

− v0 a − 20

t=

m 2 s = 8,7 m ⋅ s m s m

− 2,3 2 s t = 8,7 s

Die Zeit bis zum Stillstand beträgt 8,7 s. e) Bremsweg – das ist der bis zum Stillstand des Autos zurückgelegte Weg: 1 sBrems = a ⋅ t 2 + v0 ⋅ t + s0 2 mit s0 = 0 gilt: 1⎛ m sBrems = ⎜⎜ − 2,3 2⎝ s2

m ⎞ ⎟⎟ ⋅ (8,7s )2 + 20 ⋅ 8,7s s ⎠

s Brems = 86,95 m ≈ 87 m Bis zum Stillstand legt das Auto einen Weg von rund 87 m zurück.

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5. Überlagerung von Bewegungen

Ein Fußball rollt horizontal mit einer Geschwindigkeit von 11 m⋅s-1 über das Dach eines 230 m hohen Hochhauses. Sobald er die Kante erreicht, fällt er in die Tiefe. a) Wie lange fällt der Ball? b) Wie weit vom Gebäude kommt er auf dem Boden auf? c) Mit welcher Geschwindigkeit berührt er den Boden? d) Wie groß ist der Auftreffwinkel? Hinweis: Der Radius des Balles ist gegenüber der Höhe des Gebäudes zu vernachlässigen. geg.: v0,x = 11 m⋅s-1 v0,y = 0 m⋅s-1 h = 230 m g = 9,81 m⋅s-2

ges.: a) tFall b) d c) vAufprall d) tBrems

Lösung: Skizze

y

r v0, x

Geradlinig gleichförmige Bewegung

r g

r v0, x

h = y0

r vy

Geradlinig gleichförmig beschleunigte Bewegung

x

r vresult.

d a) Dauer des Fallens des Balls: Der freie Fall ist eine geradlinig gleichförmig beschleunigte Bewegung und wird beschrieben durch: 1 2 s = a ⋅ t + v0 ⋅ t + s0 2 In Bezug auf die Fallrichtung (-y) ist die Anfangsgeschwindigkeit: v0,y = 0 Die Erdbeschleunigung wirkt entlang der negativen y-Richtung: a = -g

14

Übungsaufgaben zur Mechanik Der Fallweg nimmt ebenfalls mit den negativer y-Richtung zu. Unter Berücksichtigung der gegebenen Größen vereinfacht sich die Gleichung zu: 1 sFall = −h = − g ⋅ t 2 2 Umstellen nach t ergibt: t=

t= t Fall

2⋅ h g 2 ⋅ 230m 460 = ⋅ s = 46,89 ⋅ s m 9 , 81 9,81 2 s = 6,85 s

Die Fallzeit beträgt 6,85 s. b) Abstand d des Auftreffpunktes vom Gebäude: Die laterale Bewegung in Richtung x erfährt keine Beschleunigung, sie ist also eine geradlinig gleichförmige Bewegung:

d = v x ,0 ⋅ tFall + d 0 mit d0 = 0

d = v x, 0 ⋅ t Fall m ⋅ 6,85 s s d = 75,35 m d = 11

In einem Abstand von 75,35 m vom Gebäude trifft der Fußball auf der Erde auf. c) Aufprallgeschwinigkeit: Der Betrag der Geschwindigkeit beim Aufprallen des Balls auf dem Boden folgt aus dem Satz von Pythagoras (vgl. Skizze zu Aufgabenteil d) ): v Aufprall = v x 2 + v y2

v x = v x,0 v y = a ⋅ t Fall = −g ⋅ t Fall v Aufprall =

(v x,0 )2 + (− g ⋅ t Fall )2 15

2

2

m m m ⎛ m⎞ ⎛ ⎞ v Aufprall = ⎜11 ⎟ + ⎜ − 9,81 2 ⋅ 6,85 s ⎟ = 121 + 4516 = 4737 s s s ⎝ s ⎠ ⎝ ⎠ m v Aufprall = 68,8 s Beim Auftreffen auf dem Boden besitzt der Ball eine Geschwindigkeit von 68,8 m⋅s-1. d) Auftreffwinkel: Der Winkel, unter dem der Ball auf dem Boden aufschlägt, ergibt sich aus dem Verhältnis der x- und y-Komponenten der Geschwindigkeit. y x

vAufprall

vy θ vx tan θ =

vy vx

θ = arctan θ = arctan

θ = arctan

vy vx a ⋅t vx −g⋅t vx 9,81

θ = arctan

θ = 80,7 °

m ⋅ 6,85s 67,2 s2 = arctan = arctan (6,1) m 11 11 s

Die Flugbahn schließt mit dem Boden einen Winkel von 80,7° ein.

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Übungsaufgaben zur Mechanik 6. Kreisbewegung Ein Kran läßt eine Last mit einer Geschwindigkeit von 3 m⋅s-1 herab. Der Radius der Antriebsrolle beträgt 0,3 m. a) Mit welcher Drehzahl bewegt sich die Antriebsrolle? b) Wie groß ist ihre Umlaufzeit? c) Welche Winkelbeschleunigung ist erforderlich, um die Last auf einer Strecke von 3 m gleichmäßig verzögert zum Stillstand zu bringen? d) Wie groß ist die Bremszeit bis zum Stillstand? geg.: v = 3 m⋅s-1 r = 0,3 m sBrems = 3 m

ges.: a) N b) T c) α für Abbremsen d) t bis Stillstand

Lösung Skizze r

r ω

r v

x

r v a) Drehzahl bzw. Frequenz der Antriebsrolle: Die gegebene Bahn- (Tangential-) geschwindigkeit v lässt sich schreiben als v = 2π ⋅ r ⋅ N Daraus kann die Drehzahl N abgeleitet werden N =

v 2π ⋅ r

m s N= 2⋅ 3,14⋅ 0,3m N = 1,59 s −1 3

Die Drehzahl der Antriebsrolle ist 1,59 s-1. 17

b) Die Umlaufzeit T ist

T=

1 N

T = 0,63 s Die Umlaufzeit pro Umdrehung der Antriebsrolle ist 0,63 s. c) Winkelbeschleunigung der Bremsbewegung: Nach einer gewissen Zeit t wird das sich drehende Rad bis zum Stillstand abgebremst. Die dazu gehörige Winkelbeschleunigung soll berechnet werden. Betrachtet man die Bewegung der Last am Kran für sich, dann handelt es sich um eine geradlinig gleichförmig beschleunigte Bewegung. Der Zusammenhang zwischen der Beschleunigung von Translations- und Rotationsbewegung lautet:

α=

a r

Für die geradlinig gleichförmig beschleunigte Bewegung gilt: 1 2 s = a ⋅ t + v 0 ⋅ t + s0 2 mit s0 = 0 folgt: 1 s = a ⋅ t 2 + v0 ⋅ t (Gleichung I) 2 In dieser Gleichung stehen zwei unbekannte Größen: a und t. Es muss eine zweite Gleichung gefunden werden, die den gleichen Vorgang beschreibt und ebenfalls die Größen: a und t enthält: v = a ⋅ t + v0 mit v = 0 (am Ende der Bremsbewegung) folgt: 0 = a ⋅t + v 0 Es soll a berechnet werden also wird diese Gleichung nach t umgestellt: v t = − 0 (Gleichung II) a Einsetzen von Glg. II in Glg. I ergibt: 2 1 ⎛ v ⎞ ⎛ v ⎞ s = a ⋅ ⎜ − 0 ⎟ + v0 ⋅ ⎜ − 0 ⎟ a 2 ⎝ ⎠ ⎝ a⎠ 2

2

1 v v s = a ⋅ 02 − 0 a 2 a 2 2 1v v s= 0 − 0 a 2 a 2 1v s =− 0 2 a 18

Übungsaufgaben zur Mechanik Umstellen nach der Beschleunigung a ergibt: 1v2 a =− 0 2 s mit den gegebenen Größen: m v0 = 3 s s = sBrems = 3 m berechnet man: 2 ⎛ m⎞ m2 3 ⎜ ⎟ 9 2 1⎝ s⎠ 1 s 1 m a =− =− = − ⋅3 2 2 3m 2 3m 2 s m a = −1,5 2 s m s2 α = 0,3m

− 1,5

α = −5s −

2

Die gesuchte Winkelbeschleunigung ist –5 s-2. d) Zeit bis zum Stillstand: diese lässt sich mit Gleichung II (siehe unter c) berechnen: t=−

v0 a

m s t=− m −1,5 2 s 3

t = 2s Bis zum Stillstand vergehen 2 s.

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7. Freier Fall

Ein Brunnenbauer läßt einen Stein vom oberen Rand eines Brunnens in die Tiefe fallen. Den Aufschlag hört er 3,2 s nach Loslassen des Steins. Wie tief ist der Brunnen, wenn angenommen wird, daß die Luftreibung keine Rolle spielt? Hinweis: Schallgeschwindigkeit und Erdbeschleunigung werden mit vSchall = 334 m ⋅s-1 bzw. g = 9,81 m ⋅s-2 angenommen. geg.: tges = 3,2 s vSchall = 334 m⋅s-1 g = 9,81 m⋅s-2

ges.: Tiefe des Brunnens s

Lösung

Skizze

r g

s

r v Schall x

Erkenntnis: Die Gesamtzeit des Prozesses setzt sich aus den Zeiten für das Fallen und für die Schallausbreitung zusammen: t ges = t Fall + t Schall

I) Freier Fall (geradlinig gleichförmig beschleunigte Bewegung): g 2 s = t Fall 2 t Fall =

2s g

II) Ausbreitung des Schalls (geradlinig gleichförmige Bewegung): s = vSchall ⋅ t Schall t Schall =

20

s v Schall

Übungsaufgaben zur Mechanik Es folgt für die Gesamtzeit: 2s s t ges = t Fall + t Schall = + g vSchall

Mit Hilfe des Ersetzens von t ges =

s durch τ erhält man eine quadratische Gleichung:

2

τ 2 τ+ g vSchall

Umformung in die Normalform: 2 0 = τ2 + ⋅ v Schall ⋅ τ − t Ges ⋅ v Schall g Allgemeine Form der quadratischen Gleichung:

0 = x 2 + px + q Lösungsansatz: x1, 2 = −

p ± 2

p2 −q 4

2

τ1, 2

2 vSchall v Schall =− ± + t Ges ⋅...