Praktisch - Interferenz, Stehende Wellen, Schallgeschwindigkeit PDF

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Interferenz, Stehende Wellen, Schallgeschwindigkeit...

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Interferenz, Stehende Wellen und Schallgeschwindigkeit Interferenz, stehende Wellen und Schallgeschwindigkeit sind wichtige Themen im Bereich der Wellenlehre. Daher möchten wir mit Hilfe der nächsten Versuche diese Themen erklären. Dabei werden konstruktive und destruktive Interferenz, stehende Wellen, transversale und longitudinale Schwingungen sowie Schall, seine Ausbreitung und die Schallgeschwindigkeit, erläutert. Weblinks: Interferenz: • Wikipedia: Interferenz • Java-Applet • Java-Applet • Grundlagen Beugung und Interferenz Stehende Wellen: • Wikipedia: Stehende Wellen • Animationen zum Thema der stehenden Welle • Java-Applet • Java-Applet mit Modulation der Enden Schall und Schallgeschwindigkeit • Wikipedia: Schallgeschwindigkeit • pdf mit Grundlagen der Schallgeschwindigkeit in Gasen und Festkörpern • Grundlagen zum Schall

1 Konstruktive und destruktive Interferenz von Wellen Möchte man in der Schwingungs- und Wellenlehre die Interferenz, also Überlagerung, von einzelnen Wellen beschreiben, so macht man sich das Superpositionsprinzip zu nutze. Diese sagt aus, dass sich lineare Wellen überlagern, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. Die resultierende Auslenkung ergibt sich dann aus der Addition der Auslenkungen jeder Welle an einem Ort ~r zur Zeit t. Das Superpositionsprinzip gilt allerdings nicht bei nichtlinearen Wellen wie zum Beispiel Stoßwellen oder auch Scherwellen. Somit gilt für eine Welle, welche sich durch Interferenz von mehreren Wellen ergibt: ~ = E~1 + E~2 + E~3 + ... E Im folgenden betrachten wir nur zwei Wellen, welche sich überlagern: E~1 = E~1,0 exp(i(k~1 · ~r − ωt + φ1 )) E~2 = E~2,0 exp(i(k~2 · ~r − ωt + φ2 )) Hierbei hat man nun die Amplitude betrachtet. Man kann aber auch die Intensität betrachten, wobei folgender Zusammenhang zwischen der Intensität und der Amplitude gilt: ~ 2| = E ~E ~∗ I = |E Dabei bezeichnet das * das konjugiert komplexe der Amplitude und man erhält für beiden Wellen: ∗ E~1 = E~1,0 exp(−i( k~1 · ~r − ωt + φ1 )) ∗ E~2 = E~2,0 exp(−i( k~2 · ~r − ωt + φ2 ))

Setzt man nun alles in die Gleichung für die Intensität ein und führt die Rechnung aus, so ergibt sich für die Intensität:

1

I = I1 + I2 + 2E~1,0 E~2,0 cos(Θ) Dabei ist Θ die Phasendifferenz zwischen den Wellen für welche gilt: Θ = k~1 · ~r − k~2 · ~r + φ1 − φ2 = ∆~k · ~r + ∆φ Wie man an der Gleichung für die Intensität sehen kann, ergibt sie sich nicht einfach aus der Summe der einzelnen ~ , E~2,0 orthogonal zu einander stehen ergibt sich die Intensitäten. Nur wenn die beiden anfänglichen AmplitudenE1,0 Intensität aus der Summe: I = I1 + I2 . Für den Fall, dass die Amplitude und die Richtung beider Wellen gleich sind E ( ~1 = E~2 ) folgt für die Intensität: I = 2I0 · (1 + cos(Θ)) wobei I0 = I1 = I2 ist. An diesem Term kann man nun sehr gut sehen, wann es zu konstruktiver (Verstärkung) und wann zu destruktiver Interferenz (Auslöschung) kommt: konstruktive Interferenz Θ = 2π destruktive Interferenz Θ=π Sind die beiden Wellen senkrecht zueinander polarisiert können sie nicht miteinander interferieren. Man bezeichnet sie dann auch als inkohärent.

2 Stehende Wellen

Die stehende Welle Stehende Wellen ergeben sich aus der Überlagerung zweier Wellen welche die gleiche Frequenz, gleiche Amplitude und auch den gleichen Phasenwinkel haben. Nur die Richtung, in die sie laufen ist entgegengesetzt. Im nachfolgenden Text finden sich Beipiele für solche stehenden Wellen die entstehen, wenn eine Welle an einer Grenzfläche reflektiert wurde. Da die Wellen in entgegengesetzte Richtungen laufen sind ihre Wellenzahlvektoren zwar betragsgleich, aber antiparallel: ~k, − ~k. Im folgenden betrachtet man nur den Realteil der Welle und erhält zunächst für beide Wellen einzeln: x1 (~r,t) = x0 cos(~k · ~r − ω · t) x2 (~r,t) = x0 cos(−~k · ~r − ω · t) Durch die Überlagerung ergibt sich dann: x(~r,t) = x0 cos(~k · ~r − ω · t) + x0 cos(−~k · ~r − ω · t) = −2 · x0 cos(ω · t) cos(~k · ~r) Dabei kann man ein Additionstheorem verwenden. Ausserdem muss am Ort ~r = 0 folgende Randbedingung erfüllt werden: x(~r,t) = x0 cos(−ωt) + x0 cos(−ωt) = 0 Betrachtet man die hergeleitete Gleichung für die gesamte Auslenkung, so entstehen Schwingungsknoten als auch Schwingungsbäuche. Ein Schwingungsknoten ist ein ortsfestes Minimum bei einer stehenden Welle und ein Schwingungsbauch ein ortsfestes Maximum. Knoten enstehen an den Positionen, an denen gilt: k · x = n2π → x = n · λ/2 Je nachdem, wie die Enden der stehenden Welle geschaffen sind, ergeben sich verschiedene Gleichungen für die Wellenlängen, bei denen stehende Wellen entstehen: • Ein freies und ein festes Ende: λn =

4l 2n + 1

Dieses sind zum Beispiel stehende Wellen in einseitig eingespannten Stäben. Die stehende Welle bezeichnet man dann auch als Eigenschwingung des Stabes. l ist die Stablänge und n die Knotenzahl, also der Anzahl an Schwingungsknoten ohne den Knoten am eingespannten Ende.

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• Zwei feste Enden: Dieses ist zum Beispiel eine Seil, welches an zwei Seiten eingespannt ist. Auch hier bezeichnet man die stehende Welle als Eigenschwingung. Die Bedingung für die Wellenlänge lautet: λn =

2l n+1

mit der Länge des Seils l. • Zwei freie Enden: Treten zwei freie Enden wie zum Beispiel in einem Kundtschen Rohr auf, so ergibt sich als Bedingung für die Wellenlänge: λn =

2l n+1

Das Resonatorprinzip Betrachtet man eine stehende Welle zwischen Punkten mit der Amplitude x0 = 0, so muss für die Phasenverschiebung bei der Reflexion gelten: k·L=n·π Die Phaseverschiebung ist also ein Vielfaches von π. Für die Wellenlänge ergibt sich damit 2·L n Durch dieses Prinzip kann man die Amplitude einer Welle durch Reflexion erhöhen. Dieses macht man sich zum Beispiel bei Vielfachreflexionen zunutze, wie sie in einem Resonator oder Laser auftauchen. Durch diese Formel ist zudem gegeben, dass die Resonatorlänge L ein Vielfaches der halben Wellenlänge sein muss. Durch die Anzahl der Knoten der stehenden Welle kann man die Ordnung der angeregten Moden bestimmen. Für die Differenz der Frequenz zweier benachbarter Moden gilt: λ=

c 2·L Im Versuch „Frequenzmessung bei einem He-Ne-Laser“ (vgl. Kap. 2.3) wird dieses Prinzip experimentell gezeigt. ∆ν =

2.1 Darstellung einer stehenden Welle Um das Prinzip einer stehenden Welle zu verdeutlichen, kann man verschiedene Aufbauten benutzen: Die Wellenmaschine: Die Wellenmaschine kann man per Hand oder mit Hilfe eines Exzenters antreiben. Durch Wählen einer bestimmten Frequenz erhält man eine stehende Welle. Dafür versetzt man ein Gummiband in Bewegung, dessen Schwingung mit Hilfe von angebrachten Stäben vergrößert dargestellt wird. Dabei können die Stäbe um eine gemeinsame Achse schwingen. Durch das Gummiband ist ein Stab jeweils mit seinen beiden Nachbarn verbunden, so dass es zu einer elastischen Kopplung kommt. Da das linke Ende der Wellenmaschine fest ist, erhält man durch Reflexion eine stehende Welle.

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Festes Ende führt zu Reflexion Durch Gummiband verbundene Plastikringe sich fortpflanzende Welle

Gelbe Punkte zeigen die Auslenkung aus der Ruhelage an

Exzenter

PHYWE

Abbildung 1: Phywewellenmaschine

Abbildung 2: Wellenkanal [Hinweis: In der Online-Version ist hierzu ein Video verfügbar] Stehende Welle auf einem Seil: Bei diesem Aufbau betrachtet man ein Seil, welches am linken Ende fest mit einer Stange verbunden ist. Am rechten Ende ist hingegen ein Faden angebracht, der durch einen Motor in Bewegung versetzt wird. Dadurch beginnt das Seil zu schwingen und man erhält eine stehende Welle mit einer bestimmten Anzahl von Knoten. Durch Variation der Frequenz des anregenden Motors kann man nun die Welle ändern. Je höher die Frequenz, desto mehr Wellenknoten und -bäuche werden sichtbar. Knoten

stehende Wellen

Faden

Gummiseil Motor

Frequenzgenerator

Abbildung 3: Gummiseil

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Abbildung 4: Wellen [Hinweis: In der Online-Version ist hierzu ein Video verfügbar] Die Lecherleitung: Bei der Lecherleitung handelt es sich um zwei parallele Drähte, welche an ihren Enden offen sind. Schließt man an beide Drähte einen Sender an, der ein Signal von 700 MHz ausgibt, so bilden sich zwischen den Drähten elektrische und magnetische Felder, so dass man eine stehende elektrische Welle entsprechend der Frequenz des Signals erhält. Die bei der stehenden Welle entstandenen Strombäuche kann man mit Hilfe von Glühbirnen abtasten. Schiebt man eine einzelne Lampe entlang der Schiene, die auf beiden Drähten läuft, so leuchtet die Lampe mal auf und mal nicht, je nachdem welchen Ort der stehenden Welle sie passiert. Auf diese Weise kann man aber nur das elektrische, nicht das magnetische Feld betrachten. Statt einer einzelnen Lampe, kann man aber eine ganze Schiene von Lampen betrachten. Diese setzt man auf die Drähte und erkennt, das die Lampen, wo sich Spannungsbäuche befinden aufleuchten und die an den Knoten nicht. Man erkennt somit die Form der stehenden Welle und ihre Knoten und Bäuche werden dargestellt. Man kann diesen Aufbau nun noch variieren: • Durch Herbeiführen eines Kurzschlusses -in dem man ein festes Ende der beiden Drähte simuliert- tauschen die Knoten und Bäuche, und die zuvor aufgeleuchteten Lampen werden dunkel und die anderen leuchten auf. Denn durch das feste Ende kommt es zu einer Reflexion der stehenden Welle mit umgekehrtem Vorzeichen der Amplitude. • Legt man am Ende einen Widerstand mit einer bestimmten Impedanz an (50 Ohm), so leuchten alle Lampen auf der Schiene gleichmäßig und man erkennt nicht mehr die Form einer stehenden Welle. Die Reflexion am Ende der Leitung ist durch die Anpassung des Wellenwiderstandes („Impedanzanpassung“) unterdrückt.

Lämpchenschiene Lecherleitung 10

20

30

40

50

60

70

80

90

Skala Frequenzgenerator: 700 Mhz

Bauch Knoten

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Kurzschluss

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Passender Widerstand, hier: 50 Ohm

Abbildung 5: Lecherleitung mit Lämpchen

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Abbildung 6: Stromschiene [Hinweis: In der Online-Version ist hierzu ein Video verfügbar] Pulsreflexion an einem Kabel: Mit Hilfe dieses Aufbaus soll die stehende elektrische Welle demonstriert werden. Man legt hierfür einen Puls an ein Kabel an, welches eine Länge von 50 m hat. Den Puls stellt man dann auf einem Oszilloskop dar. Auch bei diesem Versuch kann man verschiedene Aufbauten betrachten: • Offenes Ende: Lässt man das Ende des Kabels offen, so dass man einen unendlich großen Widerstand hat, erkennt man auf dem Oszilloskop einen Rechteckpuls. • Kurzschluss: Durch Herbeiführen eines Kurzschlusses (festes Ende) am Ende des Kabels kommt es zur Pulsreflexion und auf dem Oszilloskop erkennt man eine Verformung des Pulses. • Anschluss: Legt man an das Ende eine Impedanz von 50 Ohm an, so verschwindet der Puls auf dem Oszilloskop.

Kabelrolle, 50m PulsFrequenzGenerator

?

Offenes Ende/ Kurzschluss/ 50 Ohm Widerstand

Oszilloskop

Abbildung 7: Pulsreflexion an einer Kabelrolle 2.2 Transversale Eigenschwingungen eines Gummibandes

Ziel des Experiments Ein an beiden Enden fest eingespanntes Gummiband schwingt, abhängig von der jeweiligen Anregungsfrequenz, in verschiedenen Eigenschwingungen und zeigt das Phänomen stehender Wellen.

Versuchsaufbau Ein etwa 1,5 m langes elastisches Gummiband ist horizontal an beiden Enden fest eingespannt. Die Anregung zu transversalen Schwingungen erfolgt mit Hilfe eines Exzenterantriebs über einen in kleinem Abstand vom dem einen Endpunkt senkrecht angebrachten Faden. Ein Projektionsinstrument zeigt einen zur Anregungsfrequenz proportionalen Ausschlag. Die Schwingungen selbst lassen sich gut im Schattenriss beobachten.

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Abbildung 8: Eingespanntes Gummiband mit Exzenterantrieb

Durchführung Bei Anregung mit kleiner Frequenz (3 Skalenteile) schwingt das Gummiband mit einem Schwingungsbauch in der ersten Eigenschwingung oder Grundschwingung. Verdopplung der Anregungsfrequenz (6 Skalenteile) führt mit zwei Schwingungsbäuchen zur zweiten Eigenschwingung oder ersten Oberschwingung usw. Im Experiment wird bis zur achten Eigenschwingung angeregt.

Abbildung 9: Transversale Eigenschwingungen eines Gummibandes [Hinweis: In der Online-Version ist hierzu ein Video verfügbar]

Siehe auch: • Pohls Einführung in die Physik - Mechanik, Akustik und Wärmelehre. Lüders, Klaus; Pohl, Robert Otto (Hrsg.) 19. Aufl ., 2005, Springer Berlin Heidelberg New York; S. 185 • Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme. Demtröder, Wolfgang; 4. Aufl., 2006, Springer Berlin Heidelberg New York; S. 357 ff., 390 ff.

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• Physik. Für Wissenschaftler und Ingenieure. Tipler, Paul A., Mosca, Gene (vgl. Kap. 3479) ; 2. Aufl., 2007, Spektrum Verlag München; S. 510 f., 521, 970 • Repetitorium Experimentalphysik für Vordiplom und Zwischenprüfung. Otten, Ernst W. (vgl. Kap. 3476) ; 2. Aufl., 2003, Springer Berlin Heidelberg New York; S. 266 ff., 273 ff. • Gerthsen Physik. Meschede, Dieter (vgl. Kap. 3467) ; 22. Aufl., 2004, Springer Berlin Heidelberg New York; S. 161, 166, 184 ff. • Bergmann Schaefer, Lehrbuch der Experimentalphysik Band 1 - Mechanik, Relativität, Wärme. (vgl. Kap. 3646) 11. Aufl., 1998, Walter de Gruyter Berlin New York; S. 683 ff., 763 2.3 Frequenzmessung bei einem He-Ne-Laser Der Aufbau ist folgender: Ein He-Ne-Laser ist auf eine Photodiode gerichtet, welche an ein Netzteil angeschlossen ist. Zwischen Laser und Photodiode befindet sich ein drehbar gelagerter Filter. Das von der Photodiode empfangene Signal wird dann an ein Oszilloskop und einen Spektrum Analysator weitergegeben. Der Spektrum Analysator startet bei 1 MHz und stoppt bei 800 MHz. Durch den Filter kann man im Folgenden die Intensität des Laserstrahls, der auf die Diode trifft, variieren. Das Signal der Photodiode ist dabei proportional zur Intensität des Lasers. Das Ausgangssignal wird am Oszilloskop als Sinus Funktion der Zeit dargestellt. Der Spektrum Analysator stellt das Signal in Abhängigkeit von der Frequenz dar. Er zerlegt also das Signal in die verschiedenen Frequenzen, so dass man das Spektrum des Lasers erhält. Dabei erscheinen auf dem Spektrum Analysator Peaks im Abstand von jeweils etwa 400 MHz. Diese Frequenzdifferenzen geben die Resonatormoden mit ∆ν = 2Lc des Lasers wieder. Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit und L die Länge des Resonators. Filter

He-Ne-Laser

Photodiode Lichtgeschwindigkeit c

Resonatorlänge L

Lasermoden im Frequenzabstand c __ = 2L Analysator

Abbildung 10: He-Ne-Laser

3 Transversale Schwingungen einer Saite

Ziel des Experiments Die Schwingungen der Saiten von Musikinstrumenten sind viel komplizierter, als man es sich gemeinhin vorstellt (worin sicher auch die Schwierigkeiten für Musiker begründet sind, auf Saiteninstrumenten gut zu spielen). Eine Vielzahl von Oberschwingungen unterschiedlicher Amplitude kann überlagert sein. Die Bewegung einzelner Teilstrecken der Saiten ist entsprechend unübersichtlich. In diesem Experiment werden zeitliche Schwingungsverläufe an einer herausgegriffenen Stelle einer Violinsaite optisch sichtbar gemacht.

Versuchsaufbau Eine Violinsaite ist horizontal auf einer optischen Bank aufgespannt. Sie kann entweder direkt durch Zupfen oder durch Streichen mit einem Bogen zu Schwingungen angeregt werden. Ein mit Hilfe eines Spaltes ausgeblendeter „Punkt“ der Saite wird mit einer Linse an der Hörsaalwand abgebildet. Die zeitliche Darstellung der Bewegung lässt sich durch seitliche Verschiebung der Linse erreichen, was hier kontinuierlich mit einer rotierenden „Linsenscheibe“ erfolgt, die von Hand angedreht wird.

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Abbildung 11: Skizze „Transversale Schwingungen einer Saite“

Abbildung 12: Skizze „Transversale Schwingungen einer Saite“

Durchführung Die Saite wird angezupft, der Ton ist zu hören. An der Projektionswand erscheint zunächst das Bild des Spaltes mit dem schwingenden Punkt der Saite. Bei Rotation der Linsenscheibe sieht man die Zeitabhängigkeit der Schwingung. Es handelt sich keineswegs um eine einfache Sinusschwingung, vielmehr zeigen sich recht komplizierte Schwingungsbilder. Ähnliche Bilder erhält man dann auch für die gestrichene Saite.

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Abbildung 13: Transversale Schwingung einer Saite [Hinweis: In der Online-Version ist hierzu ein Video verfügbar]

Siehe auch: • Pohls Einführung in die Physik - Mechanik, Akustik und Wärmelehre. Lüders, Klaus; Pohl, Robert Otto (Hrsg.) 19. Aufl ., 2005, Springer Berlin Heidelberg New York; S. 185, 186 • Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme. Demtröder, Wolfgang; 4. Aufl., 2006, Springer Berlin Heidelberg New York; S. 407 f. • Physik. Für Wissenschaftler und Ingenieure. Tipler, Paul A., Mosca, Gene (vgl. Kap. 3479) ; 2. Aufl., 2007, Spektrum Verlag München; S. 510, 513, 519 ff. • Repetitorium Experimentalphysik für Vordiplom und Zwischenprüfung. Otten, Ernst W. (vgl. Kap. 3476) ; 2. Aufl., 2003, Springer Berlin Heidelberg New York; S. 281 ff. • Gerthsen Physik. Meschede, Dieter (vgl. Kap. 3467) ; 22. Aufl., 2004, Springer Berlin Heidelberg New York; S. 187, 202 • Bergmann Schaefer, Lehrbuch der Experimentalphysik Band 1 - Mechanik, Relativität, Wärme. (vgl. Kap. 3646) 11. Aufl., 1998, Walter de Gruyter Berlin New York; S. 683, 686 ff.

4 Longitudinale Schwingung einer Spiralfeder

Ziel des Experiments Elastische Spiralfedern lassen sich zu longitudinalen Eigenschwingungen anregen. Die Knoten und Bäuche einer solchen Schwingung werden durch Projektion sichtbar gemacht.

Versuchsaufbau Eine kleine waagerecht aufgehängte Spiralfeder wird mit einer Bogenlampe beleuchtet und an der Hörsaalwand abgebildet. Ein Ende ist mit dem Klöppel einer elektrischen Hausklingel verbunden, womit die Schwingungsanregung erfolgen kann.

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Abbildung 14: Skizze „Longitudinale Schwingung einer Spiralfeder“

Durchführung Die Schwingungsanregung über den Klöppel wird ausgelöst. Wenn die Grundfrequenz der Anregung mit einer der Eigenfrequenzen der Feder übereinstimmt, entsteht eine entsprechende stehende Welle bzw. Eigenschwingung. In der Projektion sind die Schwingungsknoten und -bäuche deutlich zu erkennen: In den Knoten sind die betreffenden Federstöcke scharf gezeichnet, während in den dazwischen liegenden Bäuchen die Federwindungen verwaschen erscheinen.

Abbildung 15: Longitudinale Schwingung einer Spiralfeder [Hinweis: In der Online-Version ist hierzu ein Video verfügbar]

Siehe auch: • Pohls Einführung in die Physik - Mechanik, Akustik und Wärmelehre. Lüders, Klaus; Pohl, Robert Otto (Hrsg.) 19. Aufl ., 2005, Springer Berlin Heidelberg New York; S. 191 • Repetitorium Experimentalphysik für Vordiplom und Zwischenprüfung. Otten, Ernst W. (vgl. Kap. 3476) ; 2. Aufl., 2003, Springer Berlin Heidelberg New York; S. 284 • Gerthsen Physik. Meschede, Dieter (vgl. Kap. 3467) ; 22. Aufl., 2004, Springer Berlin Heidelberg New York; S. 161, 182

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• Bergmann Schaefer, Lehrbuch der Experimentalphysik Band 1 - Mechanik, Relativität, Wärme. (vgl. Kap. 3646) 11 Aufl., 1998, Walter de Gruyter Berlin New York; S. 683 • Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme. Demtröder, Wolfgang; 4. Aufl., 2006, Springer Berlin Heidelberg New York; S. 367, 371

5 Schallwellen und die Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Medien

Allgemeines Da Schallwellen sich nicht nur in Luft, sondern auch in Flüssigkeiten und Festkörpern ausbreiten können, möchten wir diese Thematik näher erläutern. Bei Schallwellen handelt es sich um...