Achsen & Wellen Dauerfestigkeit - Lösung PDF

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ME Übung Maschinenelemente

Prof. Dr. K. Tooten

Musterlösung zur Berechnung einer Becherwerkswelle/1

DS

d

d1

Kupplungszapfen

T

F1

FA

F2

B la

Gegeben: Antriebswelle eines Becherwerkes mit mäßiger Stoßbelastung (KA = 1,2) Motor:

P = 6 kW n = 80 min-1

Achskraft:

FA = 9,17 kN

Werkstoff:

E295 (St 50-2)

Oberfläche: Rz = 16 μm

Lagerabstand: la = 560 mm

Gesucht: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Maximale äußere Belastungen Ersatzsystem, Auflagerkräfte Schnittreaktionen grafisch und rechnerisch Vordimensionierung der Welle im kritischen Querschnitt Spannungsberechnung für einen gewählten Wellendurchmesser d = 70 mm Dauerfestigkeitsnachweis für Dauerbruchsicherheit SD = 1,5

1

ME Übung Maschinenelemente

Prof. Dr. K. Tooten

Musterlösung zur Berechnung einer Becherwerkswelle/2 1. Ermittlung der äußeren Belastungen:

FA = F1 + F2 F A ,max = K A * FA = 9,17 KN * 1,2 = 11 KN

TNenn =

P

ω

=

PN

ω

=

6 * 10 3 Nm s * 60s = 716,19 Nm 2 * π * 80

T max = TNenn * K A = 716,19 Nm * 1,2 = 859,44 Nm = 860 Nm

2.

Mechanisches Ersatzsystem:

y

FA,max x

T FAy

FA = FB =

FA,max 2

=

FBy

11 KN = 5,5 KN 2

2

ME Übung Maschinenelemente

Prof. Dr. K. Tooten

Musterlösung zur Berechnung einer Becherwerkswelle/3

3.

Schnittreaktionen ( graphisch und rechnerisch )

…………………………………………………………………………………………………………… Querkraft FQ :

5,5 KN 5,5 KN

…………………………………………………………………………………………………………… Biegemoment:

M b ,max =

F A * l a 11 KN * 560 mm = = 1540 Nm 4 4

…………………………………………………………………………………………………………… Torsionsmoment:

T = 859,44 Nm = 860 Nm

3

ME Übung Maschinenelemente

Prof. Dr. K. Tooten

Musterlösung zur Berechnung einer Becherwerkswelle/4 4. Vordimensionierung der Welle:

d =3

M v * 32 π *σ bzul

d=3

1625,85 Nm * 32 = 64,25mm π * 61,25 N mm2

M v = M b 2 + 0,75 * (α 0 * T )2

M v = 1540 Nm 2 + 0,75 * (0,7 * 860 mm )2 = 1625,85 Nm

σ bzul = 0,25 − 0,33 * σW

σ bzul = 0,25 * σ bW = 0,25 * 245 N mm2 = 61,25 N mm 2

d gewählt = 70 mm

Passfeder = 7,5 mm

5. Spannungsberechnung:

d = 70 mm − 7,5 mm = 62,5 mm (abzüglich Paßfedernuttiefe) A=

π ⋅d 2 4

Wb =

π* d3 32

π * d3

Wt =

16 FAy

τS =

A

σb =

τt =

=

=

π ⋅ 62,5 2 4

= 3068 mm2

π * ( 62,5 mm )

3

=

=

= 23968,45 mm 3

32

π * ( 62,5 mm )3 16

3 = 47936,90 mm

5500 = 1,8 N mm 2 3068

M b 1540 Nm * 10 3 = = 64,25 N mm 2 3 Wb 23968,45 mm

T 860 Nm * 10 3 2 = = 17,94 N mm 3 W t 47936,90 mm

4

ME Übung Maschinenelemente

Prof. Dr. K. Tooten

Musterlösung zur Berechnung einer Becherwerkswelle/5

2 2 σ v = σ b + 3 * (α 0 * τ t ) = 64,25 N mm 2 + 3 * (0,7 * 17,94 N mm 2 ) = 67,83 N mm 2

2

6. Dauerfestigkeitsnachweis

σ v ≤ σ bzul =

Werkstoffkennwert: Oberflächenbeiwert:

σ w * K 0σ * Kt * K g β K * S D min

σ W = σ bW = 245 N mm 2 16 μ ; Rm = 500 K0 σ = ⎯Rz ⎯= ⎯m⎯ ⎯⎯→ 0,89

siehe Skript oder Tabellenbuch aus Tabellenbuch

Kt = 0,94 K g = f * ( d = 62,5 mm ) = 0,86

für Baustähle siehe Skript

Kerbwirkungszahl:

β K = 1,85

siehe Skript

Sicherheitsbeiwert:

S D = 1,5

siehe Skript

Größenbeiwert:

σ bzul =

siehe Tabellenbuch

σ w * K0 σ * K t * K g 245 N mm 2 * 0,89 * 0,94 * 0,86 2 = = 63,52 N mm 1,85 *1,5 β K * S Dmin

Vergleich:

σ v = 67,83 N mm 2 ≥ σ bzul = 63,52 N mm2

5

ME Übungen - Lösung

Achsen u. Wellen: Schwenkstütze /1 Dauerfestigkeitsberechnung der Welle einer Schwenkstütze z y x 200 ?

A ø65

5

ø50

R

350

A

Kegel 1 : 10

Fx

Fy Fz

Die im Bild gezeigte Skizze einer schwenkbaren Prüfvorrichtung wird mit der räumlichen Kraft F schwellend belastet Gegeben: Fy = 450 N Fz = 8700 N F x = 1250 N Wellenwerkstoff St 60-2 bzw E335, Rauhtiefe Rz = 10 μm Sicherheitsbeiwert SD = 1,25 Gesucht: 1. Mechanisches Ersatzmodell und Schnittreaktionen rechnerisch im Querschnitt A – A 2. Schnittreaktionen für den Wellenzapfen (Länge 200) graphisch 3. Dauerfestigkeitsnachweis für den Querschnitt A – A (Schubspannung infolge Querkraft vernachlässigbar): Sicherheit ausreichend?

1

ME Übungen - Lösung

Achsen u. Wellen: Schwenkstütze /2 1.

Ersatzmodell:

z y

FAy

l2

x

FAz

l1

FAx

My

Mx Mz

Fx

Fy Fz

2.

Schnittreaktionen rechnerisch:

∑F

=0

FAx = Fx = 1250 N

∑F

=0

FAy = Fy = 450 N

∑F

=0

FAz = Fz = 8700 N

x

y

z

∑M

x

= 0 = − M x + F y * l1

∑M

y

= 0 = − M y + Fx * l1 + Fz * l 2 =>

=>

M x = Fy * l1 = 450 N * 350 mm = 157500 Nmm

M y = Fx * l1 + Fz * l 2 M y = 1250 N * 350 mm + 8700 N * 200 mm = 2177500 Nmm

∑M

z

= 0 = M z − Fy * l 2

=>

M z = Fy * l2 = 450 N * 200 mm = 90000 Nmm

2

ME Übungen - Lösung

Achsen u. Wellen: Schwenkstütze /3 3.

Schnittreaktionen für den Wellenzapfen graphisch: z – x Ebene:

z 200 mm x

350 mm

1250 N

Fl = Fx

8700 N

FQz = Fz

Fx * 350 mm = 437,5 Nm

M by = 2178 Nm

M by

3

ME Übungen - Lösung

Achsen u. Wellen: Schwenkstütze /4 y – x Ebene:

y 200 mm x

FQy = Fy

450 N

M by = 90 Nm

M x = T = 157,5 Nm

4.

Dauerfestigkeitsnachweis für den Querschnitt A – A:

Resultierende Schnittreaktionen:

FQres = FAy + FAz = 2

2

4502 N + 87002 N = 8711,63 N

M bres = M by 2 + M bz 2 = 2178 2 N + 90 2 N = 2179,86 Nm T = 157,5 Nm Fl = 1250 N

Querschnittsgrößen:

A=

π * d2 4

=

π * 502 mm 4

= 1963,50 mm 2 4

ME Übungen - Lösung

Achsen u. Wellen: Schwenkstütze /5

Wb =

π*d 3 32

=

π * 50 3 mm 32

= 12271,84 mm 3

Wt = 2 * Wb = 2 * 12271,84 mm 3 = 24543,68 mm 3

Spannungen:

σ zd =

τ=

1250 N Fl = = 0, 63 N mm2 2 A 1963, 50 mm

FQres A

σb= τt =

=

8711,63 N = 4,44 N mm 2 1963,50 mm 2

Mbres 217500 Nmm = = 177,6 N mm2 12271,84 mm3 Wb T 157500 Nmm = = 6,42 N mm 2 W t 24543,68 mm3

σ v = σ 2 + 3 * (α 0 *τ ) 2

5.

τ = τ t + (τ = 0 )

σ = σb + σ z

Dauerfestigkeit Prüfstütze:

α 0 = 1 da alle Belastungen schwellend ( keine Umlauf biegung) σ = σ b + σ z = 177, 44 N mm2 + 0,63 N mm 2 = 178,07 N mm 2

τ = τQ vernachlässigen, da in der Randfaser = 0 σ v = 178,07 2 N mm 2 + 3 * (1* 6,42 N mm 2 ) = 178,42 N mm 2 2

5

ME Übungen - Lösung

Achsen u. Wellen: Schwenkstütze /6 6.

zulässige Spannung:

σ bzul =

σ bsch * K 0σ * K t * K g β K * SD

2 Werkstoffkennwert: σ bsch = 400 N mm

Tabellenwert

μm ; Rm =400 Oberflächenbeiwert: K 0σ = ⎯Rz ⎯=10⎯ ⎯ ⎯⎯→0,9

Tabellenwert

Größenbeiwert:

K t = 0,95 K g = 0,87

Tabellenwerte

Kerbwirkungszahl:

βK = 1,36

Tabellenwert

βK =

R 50 = = 0,1 5 d

βK (2,0 ) = 1,6

D 65 = = 1,3 d 50 cb = 0,6

βK = 1 + cb * ( β K ( 2,0 ) −1 ) = 1 + 0,6 * (1,6 −1 ) = 1,36 Sicherheitsbeiwert:

σ bzul =

SD = 1,25

σ bsch * K 0σ * K t * K g 400 N mm 2 * 0,90 * 0,95 * 0,87 = = 175,02 N mm 2 β K * SD 1,36 * 1,25

Vergleich σ v ≥ σ bzul :

σ v = 178,42 N mm 2 ≥ σbzul = 175,02 N mm 2

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6

ME Uebung Maschinenelemente

Wellen: Dauerfestigkeitsberechnung einer Riffelwalze Gegeben: Riffelwalze eines Mahlwerkes mit: Lagerabstände l=310mm, l1=120mm, l2 =190mm Teilkreisdurchmesser der Riffelwalze d=364mm Wellendurchmesser in Mitte Zahnrad (Passfeder) dw = 68 mm Wellendrehzahl n=315 / min. P=40kW

Fr=10,6kN

Fa=2kN

Lh10 =20000h

Festlager bei B

St50 (E295),

SD=1,5,

Rz=12,5μm

Betriebsfaktor K A = 1; Anstrengungsverhältnis αo= 0,7

Fr Fa l A

B d1

d d1

T

l1

l2

Gesucht: 1. Dauerfestigkeitsnachweis im kritischen Querschnitt inkl. Ersatzmodell u. Schnittreaktionen 2. Lagerberechnung (Wellendurchm. d1 = 55 mm)

Quelle: Roloff Matek

Prof. Dr.-Ing. K. Tooten

Bild

ME Übung Maschinenelemente

Prof. Dr. K. Tooten

Musterlösung zur Berechnung einer Mahlwalze/1 Übungsaufgabe: Walze mit Axialkraft ( Mahlwalze )

1. Mechanisches Ersatzsystem:

y

Fr

z

x

T

Ft

A

Fa d 2

FAz

FAy FBz

l1

B

FBx

l2

FBy

2. Unbekannte äußere Kräfte P

T =

ω

=

40 *10 3 Nm * 60 s = 1212,6 Nm 2π * 315

3. Ermittlung der Lagerreaktionen:

∑F

x

= 0 = FBx + Fa = 0

∑F

y

= 0 = FAy + FBy − Fr = 0

∑F

z

= 0 = FAz + FBz + Ft = 0

=>

FBx = −Fa = −2 KN

Momente um Punkt B:

∑M

x

∑M

y

∑M

z

1 = 0 = T − Ft * * d 2

=>

Ft =

= 0 = Ft * l 2 + FAz * ( l1 + l 2 )

=>

FAz =

− F t *l 2 l1 + l 2

d = 0 = Fa * − Fr * l2 + FAy * (l1 + l2 ) 2

=>

FAy =

Fr * l2 − Fa * d 2 l1 + l3

2 *T d

ME Übung Maschinenelemente

Prof. Dr. K. Tooten

Musterlösung zur Berechnung einer Mahlwalze/2

Ft =

2 *T 2 * 1212,6 * 10 3 Nmm = = 6662,64 N 364 mm d

F Az =

− Ft * l 2 − 6662,64 N * 190 mm = = − 4083,55 N l1 + l 2 120 mm + 190 mm

F Ay =

Fr * l2 − Fa * d 2 10600 N * 190 mm − 2000 N * 182 mm = = 5322,58 N l1 + l 3 310 mm

F y = 0 = F Ay + FBy − Fr = 0

=>

FBy = Fr − F Ay

Fz = 0 = FAz + FBz + Ft = 0

=>

FBz = − FAz − Ft

FBy = Fr − FAy = 10600 N − 5322,58 N = 5277, 42 N FBz = −FAz − Ft = −( − 4083,55 N ) −6662,64 N = − 2579,09 N

ME Übung Maschinenelemente

Prof. Dr. K. Tooten

Musterlösung zur Berechnung einer Mahlwalze/3 4. Schnittreaktionen 4.1 X-Y-Ebene

Fa d/2=182

Kräfteplan

Fr

T

FBx

FAy

FBy 120

190

Kräfte in X-Richtung

2000 N Kräfte in Y-Richtung

5322,58 N 5277,42 N

10600 N

Momente in der X-Y-Ebene

638,7 Nm = 5322,58 N *120 mm

1002,7 Nm = 5277,42 N *190 mm

ME Übung Maschinenelemente

Prof. Dr. K. Tooten

Musterlösung zur Berechnung einer Mahlwalze/4 4.1 X-Z-Ebene Kräfteplan

T

Fa

Ft

F Bx

FAz 120

FBz 190

Kräfte in Z-Richtung

6662,64 N

4083,55 N

2579,09 N

Momente um Y-Achse

490Nm = 2589,09 N *190 mm

Momente um X-Achse

1212,6 Nm

ME Übung Maschinenelemente

Prof. Dr. K. Tooten

Musterlösung zur Berechnung einer Mahlwalze/5 5. Vordimensionierung nach Vergleichsmoment

MV =

M 2 + 0,75(α0 ⋅T )2

M = M bres = M by 2 + M bz 2 = 490 2 +1002,72

= 1116Nm

Torsionsmoment T = 1213 Nm

α 0 = 0,7 2 ⋅ = 1336,3 Nm M V = 1116 2 + 0,75(0,71213)

d≥ Wellendurchmesser

3

MV ⋅32 π ⋅σbzul

σ bzul = 0, 25 bis 0,33 ⋅ σW hier

σ

W

= σ bW = 240

N mm2

1336,310 ⋅ 6 ⋅32 = 61m m d≥ 3 240 π ⋅( ) 4

Passfedertiefe aus TBRM 7,5mm d = 61mm +7,5mm Î u.U. auf d = 70mm aufrunden

ME Übung Maschinenelemente

Prof. Dr. K. Tooten

Musterlösung zur Berechnung einer Mahlwalze/6 6. Vorhandene Spannungen: Resultierende Schnittreaktionen im gefährdeten Querschnitt:

Längskraft FL = 2000 N Querkraft FQres = FQy 2 + FQz 2 = 53232 + 40842 = 6709N Resultierendes Biegemoment M bres = M by 2 + M bz 2 = 490 2 + 10032 = 1116 Nm Torsionsmoment T = 1213 Nm Spannungen: werden mit dem Ersatzquerschnitt berechnet: Passfedernut tiefe t = 7,5 mm aus TBRM Wellendurchmesser d = 68mm 60,5

A=

π ⋅d 2

Wb =

4

=

π ⋅60,52 4

d ersatz = d − t1 = 68mm − 7,5mm = 60,5mm

= 2875mm 2

π ⋅d3

= 21740 mm 3 32 Wt = 2⋅ Wb = 43481mm 3 2000 FL = = 0, 7 N / mm 2 2875 A FQres 6709 = = 2,33N / mm 2 τs = A 2875 M 1116000 = 51,3 N / mm 2 σ b = bres = Wb 21740 T 1213000 = = 27,9N / mm2 τt = Wt 43481

Druck-Spannung durch die Längskraft: σ d = Schubspannung: Biegespannung: Torsionsspannung:

Vergleichsspannung ohne Schubeinfluß:

σ V = σ 2 + 3 ⋅ (α 0 ⋅ τ t ) 2

mit α0=0,7 wegen Umlaufbiegung

σ v = (51,3 + 0,7) 2 + 3 ⋅ (0,7 ⋅ 27,9) 2 = 62 N / mm 2

ME Übung Maschinenelemente

Prof. Dr. K. Tooten

Musterlösung zur Berechnung einer Mahlwalze/7 7. Zulässige Spannung

σ bzul =

σW ⋅ K 0σ ⋅ Kt ⋅ K g β k ⋅S D σ W = σ bw = 240

N mm 2

(Wechselbiegung)

E 295

[TBRM] Rm = 490

K0σ = 0,91

Oberflächenbeiwert:

N mm2

[TBRM]

Rz = 12,5μm (gegeben) Größenbeiwert:

kt ⋅ k g

kt ⋅ k g = 0,93 ⋅ 0,86 = 0,8

[TBRM]

Kerbwirkungszahl für Paßfedernut

βk = 1,86

σ b, zul =

240

[TBRM]

N ⋅ 0,93 ⋅ 0,86 ⋅ 0,91 mm2 1,86 ⋅ 1,5

σ b, zul = 64

N mm 2

Lagerberechnung gewählt:

Rillenkugellager 6311 ∅55mm

[FAG-Lagerkatalog]

C = 76,5kN C0 = 47,5kN

rs min = 2mm ⇒ hmin = 5,5mm Berechnung von Lager B (weil durch Axialkraft insgesamt höher belastet):

d + D 55+ 120 = = 87,5 ⇒ f 0 = 13,1 2 2

ME Übung Maschinenelemente

Prof. Dr. K. Tooten

Musterlösung zur Berechnung einer Mahlwalze/8

f 0 ⋅ Fa 13,1 ⋅ 2 = = 0 ,55 C0 47 ,5 ⇒ e = 0,24

2 Fa = = 0 ,34 Fr 5 ,8739 ⇒

FrB = 5,27742 + 2,57912 = 5,8739 kN

Fa >e Fr

⇒ X = 0,56

Y = 1,8

P = X ⋅ Fr + Y ⋅ Fa P = 0,56 ⋅ 5,8739 + 1,8 ⋅ 2

P = 6,889 kN

⎛C⎞ L10 = L = ⎜ ⎟ ⎝P⎠

p

[106 Umdrehungen]

L ⋅106 n ⋅60 p ⎛C ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ 10 6 ⎝ P⎠ = n ⋅ 60

Lh10 =

Lh 10

[h]

[h]

p = 3 für Kugellager C in kN P in kN n in min-1

3

Lh10

⎛ 76,5 ⎞ 6 ⎟ ⋅ 10 ⎜ ⎝ 6,889⎠ = 315 ⋅ 60

Lh10 = 72453h

⇒ L h10 > 20000h

ME Übungen - Lösung

Achsen u. Wellen: Topfzahnrad /1 Getriebewelle mit Topfradzahnrad (Schrägverzahnung) Die zeitlich konstante Leistung wird über das Zahnrad in die Welle eingeleitet, wobei die Verzahnungskräfte in die angegebenen positiven Koordinatenrichtungen wirken sollen. Der Festigkeitsnachweis ist für den Übergangsradius in Querschnitt 1 durchzuführen. Antriebsleistung, Drehzahl

P = 5,2 kW , n = 667/min

Schräge Evolventenverzahnung (DIN 867, α=20°)

ß = 30°

Lastfaktoren für die Rillenkugellager

X = 0,56

Lagerlebensdauer

L10h = 50000 h

Y = 1,6

Rz = 6,3 μm

Oberflächengüte im Übergangsradius R = 2,5 mm Wellenwerkstoff

St 50 bzw. E 295

Betriebsfaktor KA=1

Antrieb Abtrieb

B

A ø30

ø20

ø150

R2 ,5

20

1 50

x

150

y

Gesucht:

z

1. Zahnkräfte: Ft = ________________ Fa = ________________ Fr = _________________ 2. Komponenten d. Lagerkräfte A : FAx = ____________ FAy = ___________FAz = _________ 3. Komponenten d. Lagerkräfte B : FBx = ____________ FBy = ___________FBz = _________ 4. Resultierende d. Lagerkräfte A :

FAr = ________________ FAa = ________________

5. Resultierende d. Lagerkräfte B :

FBr = ________________ FBa = ________________

6. Erforderl. Dynam. Tragzahl C des höher beanspruchten Lagers _______________________

7. Dauerfestigkeitsnachweis mit SD = 1,5 in Querschnitt 1 (ohne Berücksichtigung der Schubspannungen aus Querkraft)

________________________

ME Übungen - Lösung

Achsen u. Wellen: Topfzahnrad /2 1.) Berechnung der Zahnkräfte:

Ft =

T=

2 *T 2*P 2* P 2 * 5000 * 10 3 Nmm * 60s = = = = 993 N 150 mm ω * 150 mm 2 * π * n * 150 mm 2 *π * 150 mm * 667 min−1

P

ω

=

P *30 5200 ∗ 30 = = 74,5 Nm π *n π *667

Fa = Ft * tan β = 993 N * tan 30 ° = 573,3 N

Fr =

Ft * tan α 993 N * tan 20° = = 417,5 N cos β cos 30°

2.) Mechanisches Ersatzsystem:

.

y

Ft .

x

Fr

z

Fa

A

B

FAz