Integrarechnung - Merkzettel PDF

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Online Prüfungsvorbereitung youtube.com/mathepeter c 2020 MathePeter 

Integralrechnung F (x )

f(x)

Grundintegrale xn

(n 6= −1)

x−1 =

1 x

ex , ax

Lineare Verkettung

Bestimmte Integrale Uneigentliche Integrale

1 xn+1 n+1

ln |x| 1 ax ln(a)

ex ,

sin(x) cos(x)

− cos(x) sin(x)

sinh(x) cosh(x)

cosh(x) sinh(x)

1 cos2 (x)

tan(x)

1 1+x2

arctan(x) 1 · F (m x + n) + c m

ˆ

f(m x + n) dx =

ˆb

f(x) dx = [F (x)]a = F (b) − F (a)

b

a

Typ 1: Unbeschränkter Integrationsbereich ˆ∞ ˆp f(x) dx = . . . 1) f(x) dx = lim p→∞

a

2)

a

ˆb

f(x) dx = lim

p→−∞

ˆb

f(x) dx = . . .

p

−∞

Typ 2: Polstelle im Integrationsbereich 1)

2)

ˆb

f(x) dx = lim

p→b−

ˆp

a

a

ˆb

ˆb

a

f(x) dx = lim+ p→a

p

f(x) dx = . . .

f(x) dx = . . .

Online Prüfungsvorbereitung youtube.com/mathepeter c 2020 MathePeter 

Partielle Integration

ˆ

′

u ·v =u·v−

ˆ

u·v

′

ˆ

oder

′

u·v =u·v−

ˆ

u′ · v

Beispiele: Typ 1: „Polynome ableiten“ ˆ x · ex dx ˆ (x2 − x) · cos(2x) dx ˆ (x3 − 8) · sin(x) dx .. .

Substitution

ˆ

f(g(x)) · g ′ (x) dx



Typ 2: „Polynome integrieren“ ˆ (x + 1)2 ln(x) dx ˆ ln(x) dx ˆ arctan(x) dx .. .



z = g(x) dz = g ′(x) dx

=

ˆ

Typ 3: „Umstellen“ ˆ sin(x) · ex dx ˆ sin(x) cos(x) dx ˆ cos2 (x) dx ...

f(z) dz

Merkregel für Beginner : Substituiere den Term, dessen erste Ableitung ein Faktor im Integranden ist.

Partialbruchzerlegung

ˆ

P (x) dx = . . . Q(x) • grad(P ) < grad(Q) • Q(x) faktorisieren • Ansatz für Partialbruchzerlegung

Hinweis: Anzahl Nul lstellen im Nenner = Anzahl Konstanten Bsp: Q(x) =

(x − x1 ) |

{z

}

·

(x − x2 )2 |

{z

}

·

(x2 + a) |

{z

}

Einfache Polstelle Mehrfache Polstellen Komplexe Polstellen

P (x) A Dx + E B C = + 2 + + x +a Q(x) x − x1 x − x2 (x − x 2 )2

, a ∈ R+...