Teorema de Limites Elementales PDF

Preview

Summary

limites finitos e infinitos...

Description

Facultad de Ciencias – Departamento de Formaci´on B´asica – EPN 2019

´ ESCUELA POLIT ECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS ´ BASICA ´ DEPARTAMENTO DE FORMACION ´ Apuntes tomados del Prof: Angel Villota Profesor de C´ a tedra: Azucena Caicedo 2019-B

Teoremas de l´ımites finitos (convergencia) 1. ∀c, ∃ l´ım k = k y k ∈ R. x→c

umero real. 2. ∃ l´ım x = c en este caso el punto c es un n´ x→c

3. Sean ∀c, ∃ l´ım f (x) = L1 y ∃ l´ım g(x) = L2 y L1 , L2 ∈ R. x→c

x→c

a) ∀c, l´ım kf (x) = l´ım k · l´ım f (x) = k · L1 . x→c

x→c

x→c

b) ∀c, l´ım (f (x) ± g(x)) = l´ım f (x) ± l´ım g(x) = L1 ± L2 . x→c

x→c

x→c

c) l´ım f (x) · g(x) = l´ım f (x) · l´ım g(x) = L1 · L2 . x→c

x→c

x→c

l´ım f (x) f (x) L1 x→c = . = x→c g(x) L2 l´ım g(x)

d) ∀c, l´ım g(x) = L2 y L2 6= 0 entonces l´ım x→c

x→c

4. ∃ l´ım xk = ck y k ∈ Z+ . En este caso c ∈ R. Generalizando este teorema: x→c

k  k a) ∀c, Si ∃ l´ım f (x) = L ∈ R y k ∈ Z+ entonces l´ım (f (x)) = l´ım f (x) = Lk . x→c

x→c

x→c

5. Si n ∈ Z+ , n ≥ 2 y ∀c, ∃ l´ım f (x) = L > 0, entonces l´ım

x→c

x→c

p n

f (x) =

q n

l´ım f (x) =

x→c

√ n L.

6. Si n es impar, n ≥ 3 y ∀c, ∃ l´ım f (x) = L ∈ R y ∀c, ∃ l´ım f (x) = L > 0, entonces l´ım x→c x→c x→c q √ n n l´ ım f (x) = L.

p n

f (x) =

x→c

7. ∃ l´ım

x→+∞

1 1 = 0+ y ∃ l´ım = 0− . Generalizando este teorema: x→−∞ x x

1 = 0+ . f (x) 1 = 0− . b) ∀c, l´ım f (x) = −∞ → ∃ l´ım x→c f (x) x→c

a) ∀c, l´ım f (x) = +∞ → ∃ l´ım

x→c

x→c

8. Si 0 < a < 1 entonces l´ım ax = 0. Para generalizar este teorema lo podemos hacer tanto para la x→+∞

base (a) como para el exponente x de la siguiente forma: a) Si 0 < a < 1 y ∀c, l´ım f (x) = +∞ entonces l´ım af (x) = 0. x→c

x→c

b) ∀c, l´ım g(x) = L y 0 < L < 1 y ∀c, l´ım f (x) = +∞ entonces l´ım g(x)f (x) = 0. x→c

x→c

x→c

9. Si a > 1 y k ∈ Z+ entonces l´ım

x→+∞

xk = 0. Podemos generalizar este teorema. ax 1

Facultad de Ciencias – Departamento de Formaci´on B´asica – EPN 2019

´ ESCUELA POLIT ECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS ´ BASICA ´ DEPARTAMENTO DE FORMACION ´ Apuntes tomados del Prof: Angel Villota Profesor de C´ a tedra: Azucena Caicedo 2019-B

k

a) a > 1 y k ∈ Z+ y ∀c, l´ım f (x) = +∞ → l´ım x→c

x→c

(f (x)) = 0. af (x) k

b) ∀c, l´ım g(x) = L, L > 1, k ∈ Z+ y l´ım f (x) = +∞ → l´ım

x→c

x→c

x→c

(f (x))

f (x)

(g(x))

= 0.

10. Si a > 0 y c ∈ R entonces l´ım ax = ac . Generalizando este teorema tenemos. x→c

l´ım f (x) = aL . a) a > 0 y l´ım f (x) = L, L ∈ R → l´ım af (x) = ax→c x→c

x→c

f (x)

b) ∀c, l´ım g(x) = L1 > 0 y ∀c, l´ım f (x) = L2 ∈ R, → l´ım (g(x)) x→c

x→c

x→c

L

= (L1 ) 2 .

11. Si a > 0 y a 6= 1 entonces l´ım loga x = loga c y c > 0. Generalizando este teorema tenemos. x→c

  a) Si a > 0, a 6= 1 y ∀c, l´ım f (x) = L > 0 → l´ım loga f (x) = loga l´ım f (x) = loga L. x→c

x→c

x→c

b) Si ∀c, l´ım g(x) = L1 > 0, L1 6= 1 y ∀c, l´ım f (x) = L2 , L2 > 0 entonces x→c

x→c

l´ım logg(x) f (x) = logL1 L2

x→c

.   1 x 1 12. l´ım 1 + = e, l´ım (1 + y) y = e. Generalizando este teorema. x→∞ y→0 x  a x = ea . Adicionalmente, generalizando este teorema a) Si a ∈ R −{0} entonces l´ım 1 + x→∞ x tenemos:  f (x) a = ea . b) a ∈ R −{0} y ∀c, l´ım f (x) = ∞ → l´ım 1 + x→c x→c f (x) f (x)  g(x) = eL . c) ∀c, l´ım g(x) = L ∈ R y ∀c, l´ım 1 + x→c x→c f (x)

Convergencia Absoluta 13. Si ∀c, l´ım f (x) = L entonces | l´ım f (x)| = l´ım |f (x)|. x→c

x→c

x→c

14. ∀c, Si | l´ım f (x)| = 0 entonces l´ım f (x) = 0. x→c

x→c

2

Facultad de Ciencias – Departamento de Formaci´on B´asica – EPN 2019

´ ESCUELA POLIT ECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS ´ BASICA ´ DEPARTAMENTO DE FORMACION ´ Apuntes tomados del Prof: Angel Villota Profesor de C´ a tedra: Azucena Caicedo 2019-B

Teoremas de l´ımites infinitos (divergencia) 15. ∀c, l´ım (−f (x)) = +∞ si y solo si l´ım f (x) = −∞. x→c

16.

x→c

l´ım x = +∞.

x→+∞

17. l´ım

x→0+

1 1 = +∞ y l´ım− = −∞. x→0 x x

1 1 = +∞ y l´ım− = −∞. x→0 x x Generalizando este teorema tenemos.

18. l´ım

x→0+

1 = +∞. f (x) 1 = −∞. b) ∀c, l´ım f (x) = 0− → l´ım x→c f (x) x→c a) ∀c, l´ım f (x) = 0+ → l´ım

x→c

x→c

19. ∀c, l´ım f (x) = +∞ y ∀c, ∃ l´ım g(x) = L ∈ R → l´ım [f (x) + g(x)] = +∞. x→c

x→c

x→c

20. ∀c, l´ım f (x) = +∞ y ∀c, l´ım g(x) = +∞ → l´ım [f (x) + g(x)] = +∞. x→c

x→c

x→c

21. ∀c, l´ım f (x) = +∞ y ∀c, ∃ l´ım g(x) = L > 0 → l´ım f (x) · g(x) = +∞. x→c

x→c

x→c

22. ∀c, l´ım f (x) = +∞ y ∀c, l´ım g(x) = +∞ → l´ım f (x) · g(x) = +∞. x→c

x→c

x→c

23. Si k ∈ Z+ entonces l´ım xk = +∞. Generalizando este teorema tenemos. x→+∞

a) k ∈ Z+ y ∀c, l´ım f (x) = +∞ → l´ım [f (x)]k = +∞ Tambi´en se puede generalizar el exponente x→c x→c k. b) ∀c, ∃ l´ım g(x) = L y L > 0 y ∀c, l´ım f (x) = +∞ → l´ım [f (x)] x→c x→c x→c teorema se puede generalizar a: c) ∀c, l´ım g(x) = +∞ y l´ım f (x) = +∞ → l´ım [f (x)] x→c +∞

x→c

x→c

g(x)

g(x)

= +∞ y m´ as a´ un el mismo

= +∞, con lo cual la combinaci´ on

(+∞)

no es una indeterminaci´on. √ 24. Si n ∈ Z+ , n ≥ 2 entonces l´ım n x = +∞. Generalizando este teorema tenemos. x→+∞ a) n ∈ Z+ , n ≥ 2 y ∀c, l´ım f (x) = +∞ → l´ım x→c

x→c

p n

f (x) = +∞.

25. Si a > 1 entonces l´ım ax = +∞. Generalizando este teorema en el exponente x y luego en la base x→+∞ a tenemos:

3

Facultad de Ciencias – Departamento de Formaci´on B´asica – EPN 2019

´ ESCUELA POLIT ECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS ´ BASICA ´ DEPARTAMENTO DE FORMACION ´ Apuntes tomados del Prof: Angel Villota Profesor de C´ a tedra: Azucena Caicedo 2019-B

f (x) = +∞. a) a > 1 y ∀c, ∀c, l´ım g(x) = L > 1 y l´ım f (x) = +∞ → l´ım [g(x)] x→c

x→c

x→c

b) ∀c, l´ım g(x) = L y L > 1 y ∀c, l´ım f (x) = +∞ → l´ım [g(x)] x→c

x→c

x→c

f (x)

= +∞ .

ax = +∞. Generalizando este teorema tenemos: xk af (x) 1) a > 1 y k ∈ Z+ y ∀c, l´ım f (x) = +∞ → l´ım = +∞ . k x→c x→c [f (x)] f (x) [g(x)] 2) ∀c, l´ım g(x) = L, L > 1 y k ∈ Z+ y l´ım f (x) = +∞ → l´ım = +∞ . x→c [f (x)] k x→c x→c d) Si a > 1 entonces l´ım loga x = +∞. Las siguientes son generalizaciones de este teorema.

c) Si a > 1 y k ∈ Z+ entonces l´ım x→+∞

x→+∞

1) Si a > 1 y ∀c, l´ım f (x) = +∞ → l´ım loga f (x) = +∞. x→c

x→c

2) ∀c, ∃ l´ım g(x) = L, L > 1 y ∀c, l´ım f (x) = +∞ → l´ım logg(x) f (x) = +∞. x→c

x→c

x→c

e) Sea U (c, ε) cualquier entorno del punto c. Si ∀c, l´ım g(x) = +∞ y ∀x ∈ U (c, δ), f (x) ≥ g (x) x→c entonces l´ım f (x) = +∞. x→c

L´ımites trigonom´ etricos 26. l´ım sen x = 0. x→0

27. l´ım cos x = 1. x→0

Teorema: Infinit´ esimos equivalente 28. l´ım

x→0

sen x =1 x

a) l´ım

x→0

29. l´ım

x→0

arcsin x =1 x

tan x =1 x

a) l´ım

x→0

arctan x =1 x

ex − 1 =1 x→0 x

30. l´ım

4...