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Operaciones elementales

Herramientas Matemáticas I Álgebra

Operaciones elementales Sobre una matriz se pueden realizar tres tipos de operaciones muy importantes que preservan ciertas características de la matriz y que permiten obtener información útil a la hora de resolver sistemas de ecuaciones como veremos más adelante. Las operaciones elementales por fila son: 1) Intercambiar dos filas paralelas; 2) Multiplicación de una fila por una constante no nula; 3) Adición a una fila otra fila paralela previamente multiplicada por una escalar distinto de cero. (Stanecka, 2007,p .39). Ejemplos Dada la matriz: 2 𝐴 = [−1 −2

4 𝑓1 0] 𝑓2 3 𝑓3

Si aplicamos la primera operación elemental -por ejemplo, intercambiando la fila1 con la fila 3-, obtenemos la matriz A*: −2 3 𝑓3 𝐴 = [−1 0 ] 𝑓2 2 4 𝑓1 ∗

Si en la matriz A aplicamos la segunda operación elemental -por ejemplo, multiplicando a la fila 2 por una constante (- 3)-, obtenemos la matriz A**: 2 4 𝑓1 𝐴 = [−1 0] 𝑓2 −2 3 𝑓3 𝑓1 2 4 ∗∗ 𝐴 = [ 3 0] 𝑓2 . (−3) 𝑓3 −2 3

2

Si a la matriz A le aplicamos la tercer operación elemental, obtenemos la matriz A ***; por ejemplo, a la fila 1 le sumamos la fila 3 previamente multiplicada por la constante 2: 2 𝐴 = [−1 −2

𝐴

∗∗∗

𝑓1= 𝑓1 + 𝑓3 . (2) 𝑓1= 2 + (−2). (2) 𝑓1= 2 − 4 𝑓1= − 2

4 𝑓1 0] 𝑓2 3 𝑓3

−2 10 𝑓1= 𝑓1 + 𝑓3 . (2) 𝑓2 = [ −1 0 ] 𝑓3 −2 3

𝑓1= 𝑓1 + 𝑓3 . (2) 𝑓1= 4 + 3. (2) 𝑓1= 4 + 6 𝑓1= 10 Las matrices obtenidas A*, A** , A***no son iguales a la matriz A, pero sí son equivalentes por filas a la matriz A.

Matrices equivalentes por fila Dos matrices A y B se dicen equivalentes por filas si una se obtiene a partir de la otra, a través de una cantidad finita de operaciones elementales por fila. En símbolos: 𝐴~𝐵 En los ejemplos anteriores:

𝐴~𝐴∗ 𝐴~𝐴∗∗ 𝐴~𝐴∗∗∗

Se puede demostrar que esta relación de equivalencia es transitiva, es decir: Si 𝐴~𝐴∗ 𝑦 𝐴∗~𝐴∗∗, entonces 𝐴~𝐴∗∗. 3

Matrices elementales Se llama matrices elementales a las matrices que se obtienen a partir de la matriz identidad realizando alguna de las operaciones elementales: 1) intercambiando dos líneas paralelas cualesquiera entre sí; 4) multiplicando a los elementos de una línea cualquiera por una constante no nula; 5) sumando a los elementos de una línea cualquiera los correspondientes elementos de otra línea paralela a la anterior, previamente multiplicados por un escalar distinto de cero. Por ejemplo: 1 Siendo 𝐼 = ⌈ 0 0 Entonces:

0 1 0

0 0⌉ 1 0 1 0 𝐴 = [ 1 0 0] 0 0 1

A es una matriz elemental que se obtiene al intercambiar en la matriz identidad I la fila 1 por la fila 2.

Propiedades de las matrices elementales Cuando se premultiplica a una matriz A por una matriz elemental, el efecto de las operaciones elementales realizadas sobre las filas de la matriz identidad se producirá también en las filas de la matriz A. A su vez, y cuando se posmultiplica a una matriz cualquiera B por una matriz elemental, el efecto de las operaciones elementales efectuadas sobre las columnas de la matriz identidad se producirá también en las columnas de la matriz B. Analicemos el siguiente ejemplo. Sean las matrices: 𝑎 𝑏 𝑐 1 0 0 𝐴 = [ 𝑑 𝑒 𝑓 ] ; 𝐼 = [ 0 1 0] 𝑔 ℎ 𝑖 0 0 1 Si construimos la matriz elemental P que se obtiene intercambiando la fila 2 por la fila 3, obtenemos:

4

1 𝑃 = [0 Si efectuamos el producto P x A:

0

0 0 1

0 1 𝑓𝑓31 ] 𝑓2 0

𝑎 𝑏 𝑐 1 0 0 𝑃𝑥𝐴 = [ 0 0 1] 𝑥 [𝑑 𝑒 𝑓 ] 𝑔 ℎ 𝑖 0 1 0 𝑎 𝑃𝑥𝐴 = [ 𝑔 𝑑

𝑐 𝑏 ℎ 𝑖] 𝑒 𝑓

Si construimos la matriz elemental Q que se obtiene multiplicando a la fila 1 por α, obtenemos: 𝛼 0 0 𝑄 = [ 0 1 0] 0 0 1 Si efectuamos el producto P x A: 𝛼 𝑄𝑥 𝐴 = [ 0 0

𝑎 𝑏 𝑐 0 0 1 0] 𝑥 [𝑑 𝑒 𝑓 ] 𝑔 ℎ 𝑖 0 1

𝛼𝑎 𝑄𝑥𝐴 = [ 𝑑 𝑔

𝛼𝑏 𝑒 ℎ

𝛼𝑐 𝑓] 𝑖

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Referencias Checa, J. C. (2009). Matrices. En Checa, J.C Algebra lineal para economía y administración (pp.119-138). Córdoba: Ediciones Eudecor. Stanecka, N. (2007). Herramientas matemáticas I Álgebra. Córdoba: Dpto. de Ciencias Exactas.

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