Limites (GUIA DE Ejercicios) PDF

Preview

Summary

Download Limites (GUIA DE Ejercicios) PDF

Description

2018 - GUIA MATEMÁTICA – PROF. RICARDO BILBAO

LÍMITES Limite: Es el estudio de la tendencia de una función cuando el argumento o variable independiente “x” varia de un modo determinado. Sea la función: f(x) = 2 x 2 – 3 x – 2 , con x ≠ 2 x–2 Si bien la función no está definida en x = 2, lo cual se denomina “Asíntota Vertical”, si lo está en valores próximos a él, observe como va variando el resultado a medida que varía el valor de x: x 1,9 1,99 1,999 … 2,001 2,01 2,1

f(x) 4,8 4,98 4,998 … 5,002 5,02 5,2

Valores próximos a 2 del lado de la izquierda

Valores próximos a 2 del lado de la derecha

O sea que cuanto más cerca a x = 2, f(x) está más próximo al 5. Se determina así que el límite de f(x) a medida que x se aproxima a 2 es igual a 5: Lim f(x) = 5 x2

Estos límites se denominan “limites finitos” y para establecer sus resultados se reemplaza a x por el valor de la tendencia, y muchas veces puede presentarse lo que se conoce como “una indeterminación del tipo 0/0”. Y cuando ocurre esto será necesario operar matemáticamente para “romper” con dicha indeterminación (factorear, racionalizar, o utilizar identidades o propiedades de diferentes índoles) 1) Calcular los siguientes límites finitos: a) lim x 2 – x x0 x

i) lim √ x – 2 x4 x–4

b) lim x 2 + x – 6 x2 x–2 4 c) lim x – x 3 – x 2 + x x1 x3–x d) lim x 2 – 2 x1 x–1 e) lim x 3 + 1 x  –1 x+1

j) lim

x–2  x– 2

p) lim

f) lim

x2

1–x2 x – x –2 k) lim 1 x0 1–2x l) lim x + 2 x  –1 x+1 n) lim x 2 – 3 x x0 x3 x  –1

x 1

2

x3–1 x–1

g) lim  x 2 + 1 x0 x

q) lim 1 – x x1 √x–1

h) lim e 1/x

r) lim

x0

x2

x2–4 √x–2

1

2018 - GUIA MATEMÁTICA – PROF. RICARDO BILBAO Otro de los límites que es de interés, es el límite que tiene como tendencia a infinito (positivo y negativo) dado que dicho límite nos otorgara la tendencia que tiene la función a medida que los valores de la x aumentan. En funciones polinómicas, por ejemplo, sabemos que la tendencia de la gráfica a partir de su raíz más grande lo determina el signo del coeficiente principal, pero en funciones, por ejemplo, fraccionarias esto no es tan simple. Sea la función: f(x) = 2 x – 1 , con x ≠ –3 x+3 Observemos como va variando el resultado a medida el valor de x toma valores cada vez mayores (en el sentido positivo y negativo): x f(x) x f(x) –5 5 1,125 5,5 –6 6 1,22 4,33 –7 7 1,3 3,75 –8 8 1,36 3,4 –9 9 1,42 3,17 –10 10 1,46 3 –100 100 1,93 2,07 –1000 1000 1,993 2,007 (tabla 1)

(tabla 2)

Tabla 1: O sea que cuanto mayor es el valor de x en sentido positivo los resultados obtenidos son cada vez mayores y cada vez más próximo a 2. Se determina así que el límite de f(x) a medida que x crece en sentido positivo, el resultado es 2: Lim f(x) = 2 x  +

Tabla 2: O sea que cuanto mayor es el valor de x en sentido negativo los resultados obtenidos son cada vez menores y cada vez más próximo a 2. Se determina así que el límite de f(x) a medida que x crece en sentido negativo, el resultado es 2: Lim f(x) = 2 x  –

Estos límites se denominan “limites infinitos” y para establecer sus resultados se reemplaza imaginariamente a x por un valor grande, y la mayoría de las veces se presenta lo que se conoce como “una indeterminación del tipo ∞/∞”. Y cuando ocurre esto se puede aplicar las siguientes reglas cuando se trate de cocientes polinómicos: lim P(x) = Número x Q(x)

Cuando P(x) posee igual grado que Q(x)

P(x) = Q(x)

lim P(x) = x Q(x)

0

Cuando P(x) posee menor grado que Q(x)

P(x) < Q(x)

lim P(x) = Q(x)

∞

Cuando P(x) posee mayor grado que Q(x)

P(x) > Q(x)

x

Lo cual es de fácil deducción si tomamos sólo el cociente de los términos dominantes del numerador y denominador. 2) Calcular los siguientes límites infinitos: a) lim x  +

b) lim x  +

c) lim x  –

d) lim

x  –

3x2 2 x 2 – x+1

g) lim 1 x  – x +2

3x2+4x 1–x x x2+1

h) lim

x – 1 x 2 +2 x

j) lim e  x

x2–6x+9 x  + 2 x 2– 2 i) lim x 3 – 2 x 2 + 1 x  + x+1 x  +

2

2018 - GUIA MATEMÁTICA – PROF. RICARDO BILBAO e) lim

x  +

               

1 2x

k) lim

x –

1 x 2– 1

l) lim e 1/x

f) lim 5 x + 4 x  + x+1

x  + 

Según sea el caso las discontinuidades que presentan las diferentes gráficas se pueden clasificar de la siguiente manera: -

Discontinuidad Evitable:

Existe el Lim f (x) , Lim f (x) = Lim f (x) xa

-

Discontinuidad de Salto Finito:

x  a+

xa–

No Existe el Lim f (x) , Lim f (x) ≠ xa

-

Discontinuidad de Salto Infinito:

x  a+

No existe f (a) , Lim f (x) = + ∞ . x  a+

xa–

Lim f (x) = + ∞ xa–

3) Realizar un estudio esquemático completo, graficar las funciones y clasificar el tipo de discontinuidad: a) y = x 2 + 2 x – 3 x–1

f) y = 2 x – 1 x–2

b) y = – 3 x + 1 x + 1

g) y =

x2 x–2 x2 + x–6

h) y =

2x x + x

c) y =

x2–2x x2–4x+4

2

d) y = x 2 – 3 x + 2 x2–4

i) y = 2 x 2  5 x + 2 x2

e) y =

j) y = x – 2 x 2 – 2x

x+1 x2–1

4) Observando la gráfica de f(x) calcule, de ser posible, lo indicado: a)

–2 –1 –2 –3

Lim f(x) = . . . . . .

Lim f(x) = . . . . . .

Lim f(x) = . . . . . .

Lim f(x) = . . . . . .

x →+∞

x → –∞

x → –1

x → –2

Lim f(x) = . . . . . .

Lim f(x) = . . . . . .

f(–1) = . . . . .

f(–2) = . . . . . .

x → –2

x → –2

3

2018 - GUIA MATEMÁTICA – PROF. RICARDO BILBAO b)

-7

-4

-3

0

1

-1

Lim f(x) = . . . . . .

Lim f(x) = . . . . . .

Lim f(x) = . . . . . .

x →+∞

x→ 1

x → –∞

Lim f(x) = . . . . . . x→1

Lim f(x) = . . . . . .

Lim f(x) = . . . . . x → –3

f(-3) = . . . . . .

f(1) = . . . . . .

Lim f(x) = . . . . .

x→ 1

c)

-2

-1

Lim f(x) = . . . . . .

Lim f(x) = . . . . . .

Lim f(x) = . . . . . .

x →+∞

x→ 0

x → –1

Lim f(x) = . . . . . . x → –1

Lim f(x) = . . . . . .

f(1) = . . . . . .

x → –∞

f(0) = . . . . . .

x → –1

4...