Ejercicios resuelto de limites indeterminados, infinitos PDF

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ejercicio de limites de limites indeterminados, limites finitos en el punto real, desarro e indeterminacion ejercicios de desarrollo y de seleccion multiple, grafico de funciones en su aplicacion de limites...

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Bloque 4. Cálculo

Tema 2 límites Ejercicios resueltos 4.2-1

Resolver los siguientes límites:

x 1 ; x 1

b) lim x

x 5 ; x  25

e) lim x

x  2x ; x 4x 4

3

a) xlim

2

1

d)

x  2 x

lim x 0

2

x 1 2 ; x 3  x  h  x f ) lim h h c ) lim x

2

5

3

3

2

;

2

2

3

0

Solución x 1 x 1

0   . 0 

3

a) lim

x 1

2

indeterminación

descomponemos

en

de

la

factores

forma

numerador

Para

y

evitarla,

denominador,

simplificamos y por último sustituimos x por -1:

 x  1  x  x  1 x 1 x  x 1 3 lim  lim  lim  x  x  1 x  x  2 x 1  x  1  x  1  2

3

1

b) lim x 5

2

x 5 x  25 2

2

1

1

indeterminación

descomponemos

en

de

la

factores

0   . 0 

forma

numerador

Para

y

evitarla,

denominador,

simplificamos y por último sustituimos x por 5:

lim x 5

c) lim x 3

x 5 x 5 1 1  lim  lim  x x    x  5  x 5  x  25 x  5 10 2

x 1  2 x 3

5

5

indeterminación

de

la

0   . 0 

forma

Para

racionalizamos, simplificamos y por último sustituimos x

lim x 3

x 1  2  lim x x 3 3

 lim x 3

G3w



x 1  2

x  3 



x1 2

x 1  2

x3

 x  3 

Conocimientos básicos de Matem áticas.

x 1  2





  lim x 3

 lim x 3

Bloque 4. Cálculo.

Ana Allueva – José Luis Alej andre – José Miguel González



evitarla,

por 3:

x 1 4

 x  3 

x 1  2

1

1

x 1  2









4

Tema 2. Límites

MATEMÁTI CA APLI CADA- Universidad Zaragoza

Ejercicios resueltos

1

x 2  x

d) lim x 0

2

indeterminación

de

la

0   . 0 

forma

Para

racionalizamos, simplificamos y por último sustituimos x

x 2  x

lim x 0

2

 lim



x2

x 0

x

 lim x 0

x  2x x  4 x 4

x



2

x 2

x2

x  2 2 x 2 



 2



2

2



2

e) lim x 2

indeterminación

2

descomponemos

en

de

la

factores

forma

2

 0  .  0

numerador

1



x 2 

x 0

por 0:

 1

 lim

evitarla,

y

2

2

Para



2 4

evitarla,

denominador,

simplificamos y por último sustituimos x por 2:

x  x  2 x  2x x  lim  lim   x   x 2  x 4 x  4 x   x 2  2

lim x 2

2

x  h  x 3

f) lim h 0

2

2

3

indeterminación

h

realizamos

2

las

operaciones

que

de

la

forma

se

nos

indica

 0  .  0 en

Para el

evitarla,

numerador,

simplificamos y por último sustituimos h por 0:

x  h  x lim 3

h 0

h

3

x  3x h  3xh  h  x  h h 3 x h  3 xh  h  lim  lim 3 x  3 xh  h h h h 3

2

2

3

3

 lim 0

2

2

3

2

0

-2

4.2

Resolver:

lim x 

2

0

 3x

2

x 3 x x 2

3

Solución Indeterminación de la forma



 . 

Para evitarla, dividimos numerador y

denominador por x : 2x  3 3 2 3 x 2 lim  lim x  lim x  x  x x  x  x x  x 1 x x 2x

3

G3w

3

Conocimientos básicos de Matem áticas.

3

Bloque 4. Cálculo.

Ana Allueva – José Luis Alej andre – José Miguel González

Tema 2. Límites

MATEMÁTI CA APLI CADA- Universidad Zaragoza

Ejercicios resueltos

2

3   0 lim  x  x   lim x  lim x  lim 1  0  x  x   x x  x  x 3

3

3

3

4.2-3 Resolver:

lim x x 

2



x 1  x 2



Solución

   .

Indeterminación de la forma

Para evitarla, en primer lugar

racionalizamos:

lim x x 





x 1  x  lim x 2

x





x 1  x 2





x 

2

x  x  1 x



2

x 1  x

2

 lim

x 1 x

2

2

  lim



x  1 x



x 





x



x  1 x 2

En la última expresión dividimos numerador y denominador por x , con lo cual obtenemos:

lim x 

-4

4.2

   

x x  lim x  x 1  x   x  2

Resolver:

1 1



1

x

2

2

x

lim x 

1

1

x x x

Solución Indeterminación de la forma denominador por

G3w



 . 

Para evitarla, dividimos numerador y

x:

Conocimientos básicos de Matem áticas.

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Ejercicios resueltos

3

x

lim x 

x x

 lim x 

x x x

1

 lim

x x x x

x 

1

x x 1 x

n

-5

4.2

Sabemos que

1 lim  1    e n  n

n 5

x

Resolver:

 1 a) lim 1   ; x   x

 1 b) lim 1   n   n

x

d)

 x 3  e ) lim  x   x  1 

 2 lim  1   ; x   x

3x

 1 ; c) lim 1   x   x

x 3

Solución  1 a) lim  1   x   x

x

1  

Indeterminación de la forma

n

Tenemos que escribirlo de la forma del número e :

Hacemos un cambio de variable:

1 lim  1    e n  n

T    x  1  x  T  1 Si x    T  

Con este cambio:

x

1  1   lim 1    lim 1     x  x  T  T  1 

 T  1  1  lim   T   T 1  1   lim  1   T   T

1 b) lim  1   n   n

T 1

T 1

T 1

1    lim 1    T  T 1 

 T   lim   T   T  1

T 1

T 1

  T  1  lim   T  T 

T 1



T

1  1   lim  1    1    e1  e T   T  T

n 5

Indeterminación de la forma

1  

n

Tenemos que escribirlo de la forma del número e :

G3w

Conocimientos básicos de Matem áticas.

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1  lim  1    e  n n 

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Ejercicios resueltos

4

1  lim  1   n n 

n 5

 1 c ) lim 1   x   x

 lim 1  n 

1

n

5

1    1    e 1  e n  n

3x

1  

Indeterminación de la forma

n

Tenemos que escribirlo de la forma del número e :

1 lim  1   x   x

d)

3

2  lim  1   x   x

3

x x     1 1  lim  1      lim 1     e x   x    x   x  

3x

1 lim  1    e  n n 

x

3

1  

Indeterminación de la forma

n

Tenemos que escribirlo de la forma del número e :

1 lim  1    e n  n

x

  x  1    T  x  2T  2  lim  1    lim 1    2  x   x  x  x    x    T   2   x

1  lim  1   T   T

 x 3 e ) lim   x   x 1 

2

T   1  lim  1     e T   T  

2T

2

x 3

Indeterminación de la forma

1  

n

Tenemos que escribirlo de la forma del número e :

 x 3 lim   x  x 1  

x 3

x 1 4   lim  x   x 1      1  lim  1  x  x 1    4   1  lim  1   T  T

G3w

x 3

x  1 4

4T  4

Conocimientos básicos de Matem áticas.

4   lim1   x   x 1 

x 3

1  lim  1    e n n 

4   lim 1   x   x 1 

 x1 4



x 1   T  x  1  4T    4  x    T   

1  lim  1   T  T

4T

Bloque 4. Cálculo.

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4

1  lim  1    e  1  e T  T 4

4

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Ejercicios resueltos

5

-6

4.2

 n n 1  lim    n n 2   n 1

Resolver:

Solución

  

Indeterminación de la forma

.

Sabemos que el límite de una suma

es la suma de los límites, por lo tanto:

 n n 1  n n 1   lim  lim  1 1  2 lim   n n  2  n n  1 n n  2  n 1 También lo podríamos resolver racionalizando.

-7

4.2

lim

Resolver:

n



n  2n   n  n  4

3

2



Solución Indeterminación de la forma

lim n



n  2n   n 4

3

2

   . Racionalizamos:

  n   lim

n  2n   n  n 4

3



n

n 



n 

2

3

4

4

2

4

3

1

G3w

Conocimientos básicos de Matem áticas.





2





2

Dividiendo numerador y denominador por

1

2

n  2n   n  n 

n

n

3

3

3





n  2n   n  n  n

 lim

lim

2

n  2n  n  2n  n



4

2

2

3

n  2n   n  n

3

n  2n   n  n 4

 lim

4

3

4



n  2n   n  n

n  2n   n  n 4

 lim

2

2

n

1 

2

n

 1

2

obtenemos:

1 2

n

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Ejercicios resueltos

6

-8

4.2

lim

Resolver:

 x 3 x  49

2

2

x 7

Solución  0  .  0

Indeterminación de la forma

Racionalizamos, descomponemos en

factores, simplificamos y finalmente sustituimos x

lim x 7

2

 x 3  lim x x  49 2



2

 lim x 7

 49

2

x 7

3

x

1



 x  7  2  x  3 

1

lim

Resolver:

3

 x 7  x  7  2  x  3 

x 7

-9

2

2

7

  lim

4.2

  x    lim   x   x

 x 3

x

7

x 0

por 7:

x x

  lim x 7

1



14  4

  x  3

4 2

 49 



2

 x 3





x 7

 x  7  x  7  2  x  3 



1 56

1 x

Solución Indeterminación sustituimos x

lim x 0

1

x x

de

la

Racionalizamos,

simplificamos

y

por cero:

1

x

 lim



1

x

x 0

 lim x 0

 lim x 0

G3w

 0 .   0 

forma

x 1

x





1



1

x



x 

 x  1  x  1

x

1

2 1

Conocimientos básicos de Matem áticas.

x

1

x

x





1

x

1x

 lim x 0

1

x

 x



 2x

1

x

1

x





1

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Ejercicios resueltos

7

-10

4.2

lim

Resolver:

x 64

3

x8 x 4

Solución Indeterminación de la forma

 0 .   0 

Vamos ha realizar un cambio de variable. Como el mínimo común de los índices de las raíces es 6:

y x 6

x  64  y 

Si

6

64

2

con lo cual:

x 8 y 8  lim y  y 4 x4 3

lim x 64

3

2

2

Descomponemos en factores, simplificamos y sustituimos y por 2:

 y  2  y  2 y  4  y  2 y  4  3 y 8 lim  lim  lim y y  4 y y y  2 y  2  y 2 2

3

2

G3w

2

2

Conocimientos básicos de Matem áticas.

2

2

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Ejercicios resueltos

8...