Limites infinitos, radicales y exponenciales PDF

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Matemática II - Curso: Limites infinitos, radicales y exponenciales...

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MATEMÁTICA II LÍMITES

Mg. María V. Hermenegildo Chávez

22

LÍ M I T ES I N FI N I T OS

Existen funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable independiente se aproxima a un valor fijo. Teorema: Si n es cualquier entero positivo: 1 i. lim n = + x 0+ x ii. lim x

0

-

1 xn =

 -    + 

si n es impar si n es par

Teorema: Si a 

y M es una constante real, si lim f(x) = M, donde M x

a

entonces:  i. M > 0 y f(x) si  = +   ii. M < 0 y x a g(x)

a. lim

f(x) = -  si x a g(x)

b. lim

  

i. M > 0 y ii. M < 0 y

g(x) > 0 g(x) < 0 g(x) < 0 g(x) > 0

0 y

lim g(x) = 0 ,

x

a

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23

Asíntota: Es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente. Las asíntotas, tanto verticales como horizontales (tema que se desarrollará más adelante), sirven de ayuda para esbozar la gráfica de una función. Asíntota vertical: Una asíntota vertical es una recta paralela al eje Y. Se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si se cumple al menos uno de los siguientes enunciados: i. lim f(x) = + ∞ a+

x

ii. lim f(x) = - ∞ x

a+

iii. lim f(x) = + ∞ x

a-

iv. lim f(x) = - ∞ x

a-

Ejemplo 17 Dada la función f(x) =

1 x² , hallar xlim0 f(x), si existe.

Solución: 80

60

40

20

-4

a. lim x

0

+

f(x) =

b. lim - f(x) = x

0

1 1 lim + x² = + = +  0 x 0 lim x

0

-

1 1 = + x² = 0+

c. lim f(x) es indeterminado. x

0

-2

0

2

4

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Ejemplo 18 1 Dada la función f(x) = x para x

0, hallar lim f(x), si existe. x

0

Solución: 4 Y 2

-4

0

-2

2

X

4

-2 -4

a.

b.

lim

x

0

+

f(x) =

x

lim - f(x) =

x

1 1 = 0+ =  +x 0

lim

0

1 1 lim - x = 0 x 0

= -

 lim f(x) no existe. x

0

Ejemplo 19 3x + 5

Dada la función f(x) = x - 2

para x

0, hallar lim f(x), si existe. x

Solución: a.

b.

lim

x

2

+

f(x) =

lim - f(x) =

x

2

11 3x + 5 lim + x - 2 = + = +  0 x 2 lim

x

2

3x + 5 - x-2

 lim f(x) no existe. x

0

=

11 = - 0-

2

24

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.

GRUPO DE EJERCICIOS Nº 4 En los siguientes ejercicios determine el límite

2 - 4t³ 5. lim t0 5t² + 3t³ x² - 3 8. lim + x³ + x² x 0

x² + x + 2 9. lim - x² - 2x - 3 x 3

LÍ M I T ES CON RADI CALES Para evitar la indeterminación de los límites que tienen radicales es necesario racionalizar. Para n  Z+ y n

2,

an - bn = (a – b) (an – 1 + an – 2.b + an - 3.b² + . . . + a.bn-2 + bn – 1) El factor racionalizante del binomio: n

A -

n

n

n

n

n

n

B es ( An-1 + An-2 . B + An-3 . B² + . . . +

n

n

n

A . Bn-2 + Bn-1 )

de tal forma que: n

n

n

A - B = ( A - B ).( An-1 +

n

n

n

n

n

n

n

An-2 . B + An-3 . B² + . . . + A . Bn-2 + Bn-1 )

25

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Si n = 2: x–y=( x - y)( x + y) Si n = 3: 3

3

3

3

3

3

3

3

x – y = ( x )³ - ( y )³ = ( x - y ) ( x² + x . y + y² ) Ejemplo 20 Calcular: L = lim x

1

5 3x + 1 - 10 x - 1

Solución: 0

Tiene la forma indeterminada: 0 , se evita la indeterminación racionalizando: 5( 3x + 1 - 2) 3x + 1 - 2 = 5. lim = 5. lim x 1 x - 1 x 1 x 1 x 1

L = lim

L = 5. lim x

3x + 1 + 2 3x + 1 - 2 x - 1 . 3x + 1 + 2

(3x + 1) - 4 3x - 3 ( 3x + 1)² - 2² = 5. lim = 5. lim 1(x -1)( 3x + 1 + 2) x 1(x -1)( 3x + 1 + 2) x 1(x -1)( 3x + 1 + 2) x-1 = 15 lim 1 (x -1)( 3x + 1 + 2) x 1

L =5(.3) lim x

1 1 15 = 15 = 4 3x + 1 + 2 ( 3(1) + 1 + 2)

Ejemplo 21 Calcular: L = lim x

2 - 4 + x² x² 0

Solución: 0

Tiene la forma indeterminado0 , entonces se evita la indeterminación racionalizando: L = lim

(2 - 4 + x²) (2 + 4 + x²) 4 - (4 + x²) 2² - ( 4 + x² )² = lim ) = lim 0 x 0 x² (2 + 4 + x²) x 0 x² (2 + 4 + x²) x² (2 + 4 + x²)

L = lim

-x² -1 -1 1 = lim = lim =4 0 x² (2 + 4 + x²) x 0 2 + 4 + x² x 0 2 + 4 + 0²

x

x

Ejemplo 22

26

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3

Calcular: L = lim x

0

3

8 + x³ - 8 x³

Solución: 0 Tiene la forma indeterminado0 , luego: 3

L = lim x

0

3

3

8 + x³ - 8 (8 + x³)² + . x³ 3 (8 + x³)² + 3

L = lim x

L =

3

0

x³ (8 + x³)² +

3

3

8 + x³. 8 +

3

3

8 + x³. 8 +

3

x³ 3

0

3

8²

,

8²

3

= lim x

8²

(8 + x³) - 8 3

0

3

x³ ( (8 + x³)² + 8 + x³.2 + 4)

=

3

x³ ( (8 + x³)² + 8 + x³.2 + 4) 1 = 12

1 3

3

3

8 + x³. 8 +

( 8 + x³)³ - ( 8)³

L = lim x

3

(8 + 0³)² +

3

8 + 0³.2 + 4

Ejemplo 23 3

5x - 4 - 1 x - 1 1

Calcular: L = lim x

Solución: 0

Tiene la forma indeterminada: 0 , luego: 3

3

5x - 4 - 1 (5x - 4)² + L = lim . x-1 3 x 1 (5x - 4)² +

1

3

(x -1)( (5x - 4)² +

1 3

Ejemplo 24 Calcular

5x - 4.1 + 1

3

( (5(1) - 4)² +

3

(5x - 4) - 1

= lim x

1

3

(x -1)( (5x - 4)² +

5x - 4 + 1)

5(1) - 4 + 1)

x

1 3

5 1 = 5. ( 3 ) = 3

3

5x - 4 + 1)

1

= 5. lim

1

L = 5. lim x

3

5x - 4.1 + 1

x-1

L = 5. lim x

3

( (5x - 4)² +

3

5x - 4 + 1)

27

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28

Solución: 0

Tiene la forma indeterminada: 0 , luego: En este caso procedemos por "doble racionalización", del siguiente modo:

MÉTODO PRÁCTICO Cuando en el numerador existe la suma de 3 o más términos con radicales, entonces para evitar 0

la indeterminación: , la fracción original debe separarse en dos o más quebrados , cada uno 0 con límites indeterminados, dependiendo del número de ceros (dos o más) que pueden formarse en el numerador.

Ejemplo 25 Calcular: L = lim x

 ( x - 2) ( x - 2) + x - 2 + = lim  x 2 x-2  2 x 2

x - 2  x-2

Solución: Aplicando el límite: L = L1 + L2 =

0 0 2-2 2- 2 + = + 0 2-2 2-2 0 0

Se obtienen dos expresiones con límites indeterminado de la forma 0 , luego se calcula el límite de cada una en forma independiente y finalmente se suman.

MATEMÁTICA II LÍMITES

Luego: lim x

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( x - 2) x- 2 x+ 2 = lim . x 2 x+ 2 2 x 2 x-2

x - 2 ( x)² - ( 2)² = lim 2 (x - 2) ( x + 2) x 2 (x - 2) ( x + 2)

L1 = lim x

Simplificando x – 2 y luego aplicando el límite cuando x  2: 1 x +

L1 = lim x

2

2

=

1 2 +

2

=

1 = 2 2

2 4

Calculando L2: L2: lim x

x-2 x-2 x-2 ( x - 2)² x-2 = lim = lim = lim . 2 x-2 x 2 x-2 x-2 x 2 (x - 2) ( x - 2) x 2 (x - 2) ( x - 2) 1 = x-2

L2 = lim x

2

1 1 =  = 0 2 -2

Luego: 2 L = L1 + L2 = 4 +  = 

GRUPO DE EJERCICIOS Nº 5 3

4 x+8 lim x -8 x + 8

2.

1. 3

4. lim

x+1 lim x + 1 x -1

3.

x

x2 - 9 3 2x+3 - 3 3

lim

5.

x

x2 +3x + 2 -1 2x + 6 - 2

lim

7.

9.

1

2 - x - 1+ x - x x-1

x

lim

x

-2

6 + x - 8 + 2x 9 + 4x2 - 1

2

6.

8.

8+x lim x x 0 lim

x

10. lim x

0

6

3

8-x

x + 1 - 1-x x +2 - 2- x 10 - x -2 x+3 - 3

29

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3

x2 + x - 6

12. lim

x +7 - 2 11. lim 2-x-1 x 1

x

-3 3 4

13. lim x

2

6-x - 2+ x 2x - 3 - 1

14. lim x

1

30

2+ x + 1 x- 1 x-1

Respuestas: 1 1. - 3

1 2. 3 1 6. 6 3 10. 2 1 14. 2

5. 0 1 9. 8 1 13. - 2

1 3. 3

4. 18

7. 2

8.

11. -

1 6

2

12. -15

LÍ M I T ES AL I N FI N I T O La expresión obtiene la forma:   Sea f(x) =

an x n bm xm , así:

an x n a. lim f(x) = lim m = L1 x  x  bm x b.

y,

an x n lim f(x) = lim m = L2 x  x   bm x

Proposición: 1.

Si n m, se debe dividir el numerador y denominador entre xn, y el resultado del límite será: an Si n = m, L = , bm

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pero si n > m, L = +  2.

Si n < m, dividir el numerador y denominador entre xm, y el resultado del límite será: 0 L = b = 0 m

En resumen: Si el numerador y denominador son polinomios de grado n y m, dividir el numerador y denominador entre la máxima potencia. MÉTODO PRÁCTICO Eliminar los términos del numerador y denominador que no tienen la mayor potencia. Asíntota horizontal: Una asíntota horizontal es una recta paralela al eje X. Se dice que la recta y = b es una asíntota horizontal de la gráfica de la función f, si al menos uno de los enunciados siguientes es verdadero: i.

x

ii.

lim f(x) = b ∞+ lim f(x) = b ∞-

x

Ejemplo 26 Calcular: L =

x² - 1 lim 7 - 2x + 8x² x 

Solución: Desarrollando según la proposición: La mayor potencia tanto en el numerador y denominador es n = m = 2, luego dividiendo entre x² al numerador y denominador: x² 1 x² - x² L = lim 7 2x 8x² x  x² - x² + x²

1 1 - x² 1 1 - 0 = lim = = 8 0-0+8 x  7 2 +8 x² - x

Desarrollando por el método práctico: Eliminado los términos: –1 en el numerador y 7 –2x en el denominador:

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L =

Mg. María V. Hermenegildo Chávez

x² - 1 lim 7 - 2x + 8x² x 

=

x² lim 8x² x 

=

32

1 1 lim = 8 x  8

Ejemplo 27 x Calcular: L = lim x  (3x - 1)² Solución: x x L = lim (3x - 1)² = lim 9x² - 2x + 1 x  x  Desarrollando según la proposición: Se observa que la mayor potencia está en el denominador y es m = 2, luego dividiendo entre x² al numerador y denominador: x x² L = lim 1 2x 9x² x  x² - x² + x²

1 x 0 = lim = 9-0+0 1 6 x  9 - x + x²

= 0

Usando el método práctico: x L = lim x  9x² - 2x + 1

=

x lim = x  9x²

1 1 = 0 lim = - x  9x

Ejemplo 28 Calcular: L =

x5 - x4 lim 4 3 x  x -x +2

Solución: Desarrollando según la proposición: Se observa que la mayor potencia está en el numerador y es n = 5, luego dividiendo entre x5 al numerador y denominador: 1 x4 x5 1 5 - 5 x x x 1 - 0 L = lim x4 x3 2 = lim 1 1 = 0- 0 +0 2 x  x  x5 - x5 + x5 x x2 + x5 Usando el método práctico:

= 

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L =

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x5 - x4 lim 4 3 = x x -x +2

x5 lim 4 x  x

=

x

33

lim x =  

Ejemplo 29 2 |x| Sea f(x) = 1 + x , x

-1. Hallar: lim f(x) y lim f(x) x  x +

Solución:  x   -x

Por definición: |x| =

Así: f(x) =

si x 0 si x < 0

 12x+ x  -2x  1 + x

si x

0 , para x

si x < 0

Luego, calculando el límite de f(x) para x

2x lim x + 1 + x

=

x

-1

2x x

lim

+

x 1 x + x

=

0

x

lim

+

2 = 0+1 = 2

2 1 x +1

Ahora, calculando el limite de f(x) para x < 0 -2x lim 1 +x x -

=

2x - x lim x x - 1 + x x

=

-2 lim 1 x - x +1

=

-2 0 + 1 = -2

Ejemplo 30 Calcular: 7 - 2x - x4 lim 4 x  9 - 3x + 2x² Solución: Usando el método práctico, consideramos sólo los términos de mayor potencia tanto del numerador como del denominador, Así: 7 - 2x - x4 lim 9 - 3x4 + 2x² = x 

1 1 -x4 lim lim 3 = 4 = -3x 3 x  x 

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Ejemplo 31 Se pronostica que la población P de cierta ciudad dentro de t años será: 10 000 P = 20,000 + (t + 2)² , determine la población a largo plazo; es decir, obtenga lim P. t  Solución: 10 000  10 000 10 000  lim P = lim  20 000 + (t + 2)²  = 20 000 + (  = 20 000 +  . + 2)² t  t  = 20,000 + 0 = 20,000 es la población a largo plazo.

Límite de una función cuando x    Para realizar el cálculo de un límite de una función cuando nos acercamos a   , basta con tener en cuenta que

lim f  x   lim f   x , por lo que cada vez que tengamos un x 

x  

lim de una función f x , lo que haremos será cambiar f x  por f   x y calculamos

x  

. entonces su lim x  Ejemplo 32: Calcular:

x

-1 + 2x - x3 3x - x² - 

lim

Solución: f(x)=

-1 + 2x - x3 3x - x²

f(-x)=

-1 + 2(-x) - (-x)3 -1 - 2x + x3 = 3(-x) - (-x)² -3x - x²

Luego:

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lim x -

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-1 + 2x - x3 -1- 2x + x3 = lim 3x - x² -3x - x² = - x lim x 

35

x3 - 2x - 1 x² + 3x

Dividiendo al numerador y denominador entre el término que tiene la potencia más alta: x3

x3 2x 1 x3 - x3 - x3 - lim 2 x  x 3 + 3x x x3

2 1 - x2 = - lim 1 x  x +

1 x3 1 3 = - 0 = -∞ x2

GRUPO DE EJERCICIOS Nº 6 Calcular los siguientes límites:

4.

x² - 1 lim x³ + 4x - 3 x  lim x 

5.

3x5 - x4 +x lim 5 3 x  2x -2 x + 2

6.

7.

2x lim 6 3x -x+4 x 

8.

9.

7 - 2x - x4 lim 4 x  9 - 3x + 2x²

3x³ + x² + 5 11. lim 9x4 + 3 x  13.

11 - x - x4 lim 4 x  2 - 2x + 2x²

Respuestas:

5x² + 2x + 1 4x + 7

3 - x2 - 3 x4 lim 4 x  2 - 3x + 5x²

2x5 - x4 12. lim x4 -2 x3 + 2 x  14.

lim x 

x³ + 2x² + 1 x³ - 4

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a+b 2

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2. – 1

3. 9

3 5. 2

6. 

7. 0

1 3

10. 0

11. 0

1 13. 2

14. 1

7 15. – 3

1.

9.

4. 0 8. 1

12. 

16. – 

LÍ M I T ES DE LA FORM A I N DET ERM I N ADA: 1  Sean f y g dos funciones reales con variable real definidas sobre (a, b):

lim f(x)g(x) = [ lim f(x)]

x

a

x

a

lim g(x), x a

f(x)

0

Uno de los límites importantes más usados es:

lim x 0

1  x 

1 x

= e

.............................(*2)

donde e es la base del sistema de los logaritmos naturales y e = 2.71828... De (*2) se obtiene, 1 Haciendo: u = x  si x  0  u   Reemplazando en (*2):

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u

1  lim  1   = e u u  

Ejemplo 33 Calcular: L = lim 1  x 3 x 2 1

x

0

Solución: Tiene la forma indeterminada: 1 , luego:  L = lim  1  x3 x 0 





1 x

3

x

  = 

1   lim  1  x3 x3  x0 





lim x x0

= e0 = 1

e

Ejemplo 34 4   Calcular: L = lim 1   x 7x   

x

Solución: Tiene la forma indeterminada: 1 , luego: 4

L =

4   lim 1   x 7x   

7x 4 . 4 7

7x  7  4 4 4    = lim  1  = e7  x   7x         e

Ejemplo 35 1

Calcular: L = lim 1  sen 2 x x x

0

Solución: Tiene la forma indeterminada: 1 , luego: sen 2x .

L = lim (1  sen 2x ) x

1 x. sen 2 x

0

1   lim 2 =  lim 1  sen 2 x  sen2 x  x  0 x 0  e

sen2 x 2x

1   = lim 1  sen 2x sen 2 x  x 0  

= e2

2sen 2 x 2x

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GRUPO DE EJERCICIOS Nº 8 Calcular los siguientes límites: 1.

x

 2x - 3  x lim  2...