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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN DIVISIÓN DE LAS CIENCIAS FÍSICO-MATEMÁTICAS Y DE LAS INGENIERÍAS INGENIERÍA MECÁNICA-ELÉCTRICA

APUNTES

ÁLGEBRA EXPONENTES y RADICALES

4

a4 1  m n m ; x x =x  a = 16 2  mn

a = mn a ;

3

45 xy 2 5x

+n

n

x n −n 0 = n =1 ; x =x x



1

1



2

= 3y ;  x 2 + y 2  = ( x + y ) 2 



16 x 4 + 3 54 x 4 − 3 − 128 x 4 = 9 x 3 2 x

Ing. Francisco Raúl Ortíz González ,2009.

APUNTES

ÁLGEBRA EXPONENTES y RADICALES

El objetivo

presente

trabajo

describir

los

tiene

como

conceptos

y

propiedades de los exponentes y los radicales,

con

los

se operan.

cuales

Obviamente no se pretende sustituir a este tema

relacionado

contenidos prestigiadas

en

con

el

álgebra,

publicaciones

relacionadas

con

tan las

matemáticas, ya que solamente es una guía. Por lo que si se quiere profundizar en este

tema

es

necesario

consultar

bibliografía especializada, para tener una información más amplia y con mayor profundidad que la que aquí se presenta.

Ing. Francisco Raúl Ortíz González .

APUNTES

ÁLGEBRA EXPONENTES y RADICALES

CONTENIDO Pág.

1. INTRODUCCIÓN

1 1 4 5 5 6 7 7 9 10 13

1.1. GENERALIDADES 1.2. LOS NÚMEROS ALGEBRAICOS 1.2.1. VALOR ABSOLUTO 1.2.2. NÚMEROS IGUALES, DESIGUALES Y SIMÉTRICOS 1.2.2.1. SUMA o ADICIÓN 1.2.2.2. RESTA o SUSTRACCIÓN

1.3. REGLA DE LOS SIGNOS DEL PRODUCTO 1.4. REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE 1.5. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1.4.1. TÉRMINOS Y COEFICIENTES

2. EXPONENTES

15 15 15 16 16 18 22 23 24 26 27

2.1. POTENCIACIÓN 2.1.1. POTENCIA DE UN MONOMIO 2.1.1.1 PROPIEDADES

2.2. EXPONENTES DE NÚMEROS REALES 2.2.1. REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES 2.2.2. EL EXPONENTE CERO 2.2.3. EXPONENTES NEGATIVOS 2.2.2.4. REGLA DEL COCIENTE

2.3. RESUMEN 2.4. EJERCICIOS

3. RADICALES 3.1. RAÍZ CUADRADA DE a 3.2. RAÍZ CUADRADA PRINCIPAL 3.3. RAÍCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE 3.4. RAÍCES CÚBICAS 3.5. RAÍCES ENÉSIMAS 3.6. EXPONENTES RACIONALES 3.7. EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1

29 30 30 32 33 33 35 37

Ing. Francisco Raúl Ortíz González .

i

APUNTES

ÁLGEBRA EXPONENTES y RADICALES

3.8. EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS 3.9. SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES CON RADICALES 3.10. PROPIEDADES DE LOS RADICALES 3.10.1. PROPIEDAD MULTIPLICATIVA 3.10.2. SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES 3.10.3. SUMA Y RESTA

3.11. RESUMEN

4. RACIONALIZACIÒN

39 43 44 45 46 48 50

4.1 BINÓMIOS CONJUGADOS

50 52

5. BIBLIOGRAFÍA

54

Ing. Francisco Raúl Ortíz González .

ii

APUNTES

ÁLGEBRA EXPONENTES y RADICALES

1. INTRODUCCIÓN Álgebra es una palabra de origen árabe, algiabr, que se utiliza para nombrar el estudio de las operaciones y propiedades de magnitudes representadas por símbolos, que generalmente son literales o letras. El primer introductor del álgebra se cree que fue el griego Diofanto en el siglo III, aunque parece que en la India y Persia ya se conocía anteriormente. En Europa fueron los árabes los que lo introdujeron en el siglo IX. El sabio Al-Khuwarizmi fue el que introdujo símbolos para representar magnitudes, operaciones y expresiones. El italiano Leonardo Pisano recogió en el siglo XIII las enseñanzas de las árabes, las tradujo al latín, y así se extendieron por toda Europa. 1.1. GENERALIDADES El álgebra es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible [BALDOR, A., Pág. 5]. Lo mismo que en aritmética, en el álgebra se efectúan operaciones con los números, pero su modo de representarlos difiere en ambas ramas de la matemática. Para la aritmética, sólo se emplean los signos comúnmente llamados arábigos (0, 1, 2, 3, ….), con la finalidad de escribir los números; mientras que en el Álgebra, para representarlos se utilizan literales (a, b, c, …, x, y, z). Los símbolos empleados en álgebra para representar cantidades son los números y las letras, donde: a) Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinada. b) Las letras se usan para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. c) Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, … , d) Las cantidades desconocidas son expresadas por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z. Consecuencia de la generalización que implica la representación de cantidades por medio de expresiones algebraicas. Para ello se emplean signos de operación, signos de relación y signos de agrupación. Ejemplo: Sean las siguientes dos literales a y b efectuar: Ing. Francisco Raúl Ortíz González .

1

APUNTES

ÁLGEBRA EXPONENTES y RADICALES

1. Signos de Operación: Solución: En álgebra se verifican las cantidades con las mismas operaciones que en Aritmética: suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces. a) Signo de la suma (adición) es + , que se lee más.

a + b (se lee “ a más b ”) b) Signo de la resta (sustracción) es –, que se lee menos.

a − b (se lee “ a menos b ”) c) Signo de la multiplicación (producto) es X, que se lee multiplicado por.

a X b (se lee “ a multiplicado por b ” o “ a por b ”) En lugar del signo X, suele usarse un punto entre los factores o en su caso colocar los factores entre paréntesis, como se indica a continuación:

a • b o ( a )( b) (leyéndose igual que el anterior) Entre factores literales o entre un factor numérico y un literal el signo de la multiplicación suele omitirse. Así, abc equivale a a X b X c ,

7 xy equivale a 7 X x X y , y 5 x equivale a 5 X x . d) Signo de la división (cociente) es /, que se lee dividido entre.

a / b (se lee “ a dividido entre b ”) También esta operación se indica separando el dividendo y el divisor por medio de una raya horizontal, tal como se indica a continuación:

a (se lee “ a dividido entre b o a sobre b ”) b e) Signo de la elevación a potencia (exponente), el cual es un número pequeño colocado en la parte superior de una cantidad o literal. esto indica las veces Ing. Francisco Raúl Ortíz González .

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APUNTES

ÁLGEBRA EXPONENTES y RADICALES

que dicha cantidad será multiplicada por si misma llamada base, la cual se toma como factor.

a 3 = aaa ; b 5 = bbbbb Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es la unidad.

a = a 1 ; mnx = m1 n1 x1 f) Signo de raíz es

, y bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le

extrae la raíz.

a equivale a la raíz cuadrada de a , cuya cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad de a . También 3 b equivale a la raíz cúbica de b , que al ser elevada al cubo reproduce la cantidad de b .

Así,

2. Signos de relación: Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son: a) Signo de igual es = , que se lee igual a.

a = b (se lee “a igual a b ”) b) Signo de mayor es >, que se lee mayor que.

a > b ( se lee “ a mayor que b ”) c) Signo de mayor e igual ≥ , que se lee mayor o igual que.

a ≥ b (se lee “ a mayor o igual que b ”) d) Signo de menor...