13 Radicales y su simplificacion PDF

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Fundamentos de algebra...

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! ! !

Los$radicales$y$su$simplificación$ ! Por: Sandra Elvia Pérez Márquez

$ ¿Te!suena!familiar!la!expresión!raíz$cuadrada?! El concepto de raíz cuadrada se relaciona con elevar un número al cuadrado. Por ejemplo, si dices que quieres sacar la raíz cuadrada del número 9, debes pensar en un número que multiplicado por sí mismo te dé como resultado el número 9. En este caso sería (3)(3) = 9, por lo tanto, la raíz cuadrada de 9 es 3, ya que el 3 es el número que multiplicado por sí mismo te proporciona el 9. En esta lectura aprenderás a determinar raíces de diferentes índices, mediante un proceso específico. Primero, vas a analizar cuáles son los elementos de una raíz: Índice

Símbolo radical

n am Radicando El radicando es la expresión que se encuentra dentro del símbolo radical. El índice significa la raíz que estás determinando. En la tabla 1 se analizan algunos ejemplos.

3

7

9

Raíz cuadrada de 9

8

Raíz cúbica de 8

286

Raíz séptima de 286

No aparece ningún número como índice y el radicando es 9. El índice es 3 y el radicando es 8. El índice es 7 y el radicando es 286. Tabla 1. Ejemplos de diferentes raíces.

*Nota: en el caso de las raíces cuadradas el índice es 2, pero no se acostumbra escribirlo. Todos los demás índices siempre deben escribirse.

Una expresión radical se puede expresar en forma exponencial, teniendo como base la siguiente igualdad:

!

1

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

! ! !

n

m

a =a

m n

Observa que: • •

El exponente del radicando ( m ) se transforma en el numerador del exponente fraccionario. El índice ( n ) pasa a ser el denominador del exponente fraccionario.

! Observa!algunos!ejemplos! Escribe cada expresión con exponentes racionales: Ejemplo 1.

3

x2

Ejemplo 2.

7

56

Ejemplo 3.

5

y3

! Para!!el!!Ejemplo!1:!! ! 3

x2 !

Comienza determinado los valores del exponente del radicando (m) y el índice (n). Para este ejemplo: m = 2 y n = 3 Una vez que has identificado los valores de m y n, sólo falta sustituirlos en la expresión:

Entonces:

3

x2 = x

n

am = a

m n

2 3

Para!!el!!Ejemplo!2:! 7

56

En este caso, m = 6 y n = 7 . Aplicando

!

n

m

am = a

n

2

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! ! ! Obtienes:

7

56 = 5

6 7

!Para!!el!!Ejemplo!3:! 5

y3 !

Para este ejemplo, m = 3 y n = 5 . Aplicando

m

n

am = a

y3 = y

5

Obtienes:

n

3 5

n

m

m

Como la expresión a = a n es una igualdad, entonces puedes hacer la operación contraria, es decir, cambiar de una expresión exponencial a una expresión radical.

! Observa!algunos!ejemplos! Escribe cada expresión en forma de radical: a) x

3 5

2

, b) 5 3 , c) z

3 8

Para!!el!!inciso!!a)!! ! 3

x 5! Determina el valor del numerador (m) y el valor del denominador (n).

Para este ejemplo m = 3 y n = 5 .

Aplicando

n

m

3

Es decir:

!

x

5

m

m

a =a

n

o en su forma contraria

a

n

= n am

= 5 x3

3

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! ! ! Para!!el!!inciso!!b)! 2

5

3

Determina el valor del numerador (m) y el valor del denominador (n). Para este ejemplo m = 2 y n = 3 . m

Aplicando

a

Es decir:

5

n

2

= n am = 3 52

3

! Para!!el!!inciso!!c)! ! 3

!z

8

!

Determina el valor del numerador (m) y el valor del denominador (n). Para este ejemplo m = 3 y n = 8 . m

!

Aplicando

a

Es decir,

z

n

3 8

= n am 3

= z8

4

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Figura 1. Uso de fórmulas para cambiar de la forma radical a la exponencial y viceversa.

! Escribe!cada!expresión!con!exponentes!racionales!y!simplifica!el!exponente! a)

4

28

, b)

a)!

4

15

z 20

, c)

3

312

28 !

El valor del exponente del radicando es m = 8 y el índice es n = 4 .

Aplicando

n

am = a

m n

, tienes que:

4

28 = 2

8 4

En este caso, a diferencia de los ejemplos anteriores, el exponente se puede simplificar si realizas la división, es decir:

8 = 2 4

Por lo tanto: 4

8

28 = 2 4 = 22 = 4

En consecuencia, la raíz cuarta de 28 es 4. Como la forma final resultó ser un número entero (y no una expresión exponencial), ya no es posible convertirla nuevamente a su forma radical.

!

5

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! ! ! b)!

15

z 20 !

El valor del exponente del radicando es m = 20 y el índice es n = 15 . n

Aplicando 15

z 20 = z

m

m

n

a =a

, tienes que:

20 15

Simplificando tienes que

20 4 = 15 3

Por lo tanto: 15

20

z 20 = z

4 15

=z

3

En este caso, al simplificar el exponente de la expresión exponencial, éste aún mantuvo su forma 4

fraccionaria, por lo que sí es posible regresarlo (si fuera el caso) a su forma radical inicial

z

3

= 3 z4

.

En consecuencia, la raíz décimo quinta de z20 es igual a la raíz cúbica de z4.

c)!

3

312 !

El valor del exponente del radicando es m = 12 y el índice esn = 3 . n

Aplicando 3

am = a

m n

, tienes que:

12

312 = 3

3

Realizando la división

12 =4 3

Por lo tanto: 3

!

12

312 = 3

3

= 3 4 = 81

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! ! ! En consecuencia: la raíz cúbica de 312 es 81. Como la forma final resultó ser un número entero (y no una expresión exponencial), ya no es posible convertirla nuevamente a su forma radical.

! Determina!el!valor!de!la!raíz!de!las!siguientes!expresiones! a)!

5 2 ,!!!!!!b)! 3 y 6 ,!!!!!!!!c)! 5 z 15 !

a)!

52 ! 2

52 = 5

Convirtiendo a su forma exponencial:

2

2

52 = 5 2 = 5

Simplificando el exponente:

En consecuencia, la raíz cuadrada de 52 es 5.

6 3 b)! y !

Transforma a la forma exponencial: Simplificando el exponente:

3

y6 = y

En consecuencia, la raíz cúbica de 5

c)!

6

= y2

3

y6

3

es y 2.

z 15 !

Cambiando a forma exponencial: Simplificando el exponente:

5

5

15

z15 = z 15 5

z15 = z

En consecuencia, la raíz quinta de

!

6

y6 = y

3

z 15

5

= z3

es z

3

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Hasta%el%momento%has%visto%cómo%puedes%convertir%una% expresión%radical%a%una%expresión%exponencial,%en%donde%al% simplificar%el%exponente%se%presentan%dos%casos:% % 1)%Cuando%al%simplificar%quede%un%número%entero,%lo%que% obtienes%es%el%valor%o%resultado%de%la%raíz.% % 2)%Cuando%al%simplificar%quede%un%número%fraccionario,%lo%que% obtienes%es%una%raíz%equivalente%simplificada.%

Te invito a que practiques el cambio de radical a expresión con exponente fraccionario y viceversa, así como la simplificación de radicales en la sección de ejercicios.

! ! ! ! ! ! !Bibliografía! Allen, A. (2004). Álgebra Intermedia (6ª. ed.). México: Prentice Hall. Baldor, A. (1988). Álgebra. México: Publicaciones Cultural. Barnett, R., Ziegler, M. & Byleen, K. (2000). Álgebra (6ª. ed.). México: McGraw-Hill. Bello, I. (1999). Álgebra elemental. México: Internacional Thomson Editores.

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