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FAL-02_M2AA1L4_ExpresionesComplejas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez

Simplificación de expresiones complejas Por: Sandra Elvia Pérez Márquez

Una expresión compleja es aquella que tiene una expresión fraccionaria en el numerador, en el denominador o en ambos.

A continuación, ve algunos ejemplos de expresiones complejas. Expresión fraccionaria en el numerador

3 5 2

Expresión fraccionaria en el denominador

3x 2 4x

Expresión fraccionaria en el numerador y en el denominador

Expresión fraccionaria en el numerador y en el denominador

2 x 3 x x 5 4 x 2

3 x 1 3x  5 2 1

Para realizar la simplificación de expresiones racionales, lleva a cabo los siguientes pasos: 1) Si en el numerador o denominador de la fracción principal, ésta se compone por una suma o resta, primero se realiza esa operación. 1 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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2) Se multiplican extremos por extremos y medios por medios. 3) Si se puede simplificar, se simplifica al máximo. Observa los ejemplos que se muestran a continuación.

Ejemplo 1

9 3  2 Simplifica la siguiente fracción compleja: x x 1 3 x Realiza las sumas tanto del numerador como del denominador. 1.- Comienza con la suma del numerador:

9 x 3 9 3  x x2 x2  1 1 3 3 x x 2.- Haz la suma del denominador:

9 3 9 x  3 9 x 3  x x 2  x 2  x2 1 3 1 3x 1 3  x x 1 x 3.- Multiplica los extremos y coloca el resultado en el numerador y el resultado de los medios en el denominador:

4.- Observa que antes de realizar la multiplicación algebraica se puede simplificar, utilizando leyes de los exponentes:

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5.- Y la expresión del numerador se puede factorizar para simplificar al máximo la expresión:

6.- La simplificación de la expresión compleja es:

9 3  x x2  3 1 x 3 x

Ejemplo 2 Simplifica la siguiente fracción compleja:

a b  b a ab a

1.- Realiza la diferencia del numerador:

a b a a   b b  a2  b2  b a ab   ab a b a b ab a a a 2.- Multiplica los extremos y coloca el resultado en el numerador y el resultado de los medios en el denominador.

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a 2  b2 2 2 ab  a a  b a b aba  b  a





3.- Observa que antes de realizar la multiplicación algebraica se puede simplificar:

Y la expresión del numerador se puede factorizar para simplificar al máximo la expresión:

4.- Por lo tanto, la simplificación de la expresión compleja es:

a 2  b2 ab  a  b a b ba  b a





Ejemplo 3

1 1 y 1 Simplifica la siguiente fracción compleja: 1 1 y 1 1.- Realiza las operaciones del numerador y del denominador:

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y y 1 1 1  1y 1 1 1 y  1  1 y 1 y 1 1 y 1 y 1 y 1 y 1      1 1 1 1  1y 1 1  y  1 1  y 1  y  1 y 1 y 1 1 y 1 y 1 y 1 y 1 2.- Multiplica los extremos y coloca el resultado en el numerador y el resultado de los medios, en el denominador.

y y y  1 y  1  y y  1   y  y y  1   y y  1 y 1 Observa que antes de realizar la multiplicación algebraica se puede simplificar:

Observa cómo al simplificar el signo permanece en el denominador, pero si quitas los paréntesis cambiarán los signos del binomio y se puede reacomodar para que el término positivo quede al inicio de la expresión del denominador:

y y  1  y  1  y  1 y  1  y y 1   y  y y  1  y  1  y  1 1  y y 1

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3.- La simplificación de la expresión compleja es:

y y  1 y 1   y 1 y y 1 Ejemplo 4 1 1  Simplifica la siguiente fracción compleja: x  1 x  1 x 1  x 1 x  1 1.- Realiza las operaciones del numerador y del denominador.

x  1  x 1 x  1 x  1 2 1 1  x 1 x  1   x 1 x 1  x  1x  1   x  1 x  1 x x x  1  x 1 x 2  x  x 1 1 x2 1  x 1 x 1  x 1 x 1 x  1x  1  x  1 x  1 2.- Multiplica los extremos y coloca el resultado en el numerador y el resultado de los medios en el denominador:

Observa que antes de realizar la multiplicación algebraica se puede simplificar:

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2 x  1x  1  2  x2  1 x2 1 x  1x  1





3.- La simplificación de la expresión compleja es:

2 x  1x  1  2 x2  1 x2 1 x  1x  1

Ejemplo 5 2 1 3  2  a 1 Simplifica la siguiente fracción compleja: a a 2 a 1 1.- Realiza las operaciones del numerador y del denominador:

 

2 a a  1  1 a  1  3 a 2 2a 2  2a  a  1  3a 2 5a2  a  1 2 1 3   a2 a  1 a2 a  1 a 2 a 1 a a 2 a 1    2 2 2 2 a 1 a 1 a 1 a 1 2.- Multiplica los extremos y coloca el resultado en el numerador y el resultado de los medios, en el denominador.

Observa que antes de realizar la multiplicación algebraica se puede simplificar:

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3.- La simplificación de la expresión compleja es:

5a 2  a  1 a 2  a  1 5a 2  a  1  2 2 a2 a 1





Aplicación de las expresiones algebraicas Las operaciones con expresiones racionales se pueden encontrar en diversas situaciones de la vida diaria y las operaciones entre ellas también pueden combinarse. Analiza los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

x





 27 x 2  9  x 2  3x  9     x  3 3 x  3 3  x 2  3x 

Realiza la operación indicada y simplifica a la mínima expresión:

3

Como puedes observar, en esta operación están combinadas dos operaciones: una multiplicación y una división, por lo que debes tomar en consideración las reglas para estas dos operaciones. Comienza por factorizar todos los numeradores y todos los denominadores.

x







 

 27 x 2 9  x 2  3x  9   x  3 x 2  3 x  9 x2  3 x  9      x x  3  x  33  x  33  x 2  3x  x  3 3 x  3 3 3



Nota que en este caso los primeros términos se están multiplicando y luego se dividen, así que necesitas aplicar la regla de la división y después simplificar:

Simplifica los términos comunes, utilizando las leyes de los exponentes:

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Realiza la multiplicación con los factores que no se simplificaron utilizando productos notables:

x

3



 27 x 2  9

 x  3  x  3 3

3

   x

x  3x  9   x    2 2 2 4  x  3x  x  3 x  3 x  18 x 2  81   2

El resultado de la división y la simplificación es:

x





x  27 x 2  9  x 2 3 x 9    4   2 3 3  x  3  x  3  x  3x  x  18x 2  81 3

Ejemplo 2 Juan es un estudiante del curso Fundamentos de Álgebra de la UVEG y encontró en una página en Internet que la resistencia total de dos resistencias que se conecten en paralelo (observa la figura 1), se puede calcular con la siguiente fórmula: RT 

1 1 1  R1 R2

y se le ocurrió que como él ya sabe hacer la

simplificación de fracciones complejas, puede hacer una expresión que sea más simple.

Figura 1. Dos resistencias conectadas en paralelo.

Analiza qué hizo Juan. Primero efectuó la suma del denominador:

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RT 

1 1 1  R1 R2



1 R 2  R1 R1R 2

Antes de realizar la simplificación agrego un 1 en el denominador y después llevó a cabo la multiplicación de los extremos para colocarlos en el numerador y la multiplicación de los medios para colocarlos en el denominador.

1 1 1R1 R2   R1 R2  1  RT  R 2  R 1 1R1  R2  R1  R2 1 1  R1 R2 R1R 2 Por lo tanto, la expresión simplificada de la fórmula para encontrar la resistencia total de dos resistencias colocadas en paralelo es:

RT 

R1 R2 R1  R2

¿Estás de acuerdo con Juan que esta es una expresión más sencilla de aplicar que la expresión inicial? ¿Qué te parece si le das valores a cada una de las resistencias? Si R1  5 y R2  3

Figura 2. Dos resistencias conectadas en paralelo.

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Sustituyes (es decir cambias) cada uno de los valores en las dos expresiones que tienes: Expresión original

RT 

1 1 1  R1 R2

Sustituyendo R1  5 y R2  3

RT 

Expresión simplificada

RT 

R1R 2 R1  R 2

Sustituyendo R1  5 y R2  3

1

RT 

1 1  5 3

(5)(3) 15   5 3 8

De esta forma, si te cambian los valores de las resistencias, es más sencillo calcular el valor de la resistencia total con la expresión simplificada que con la expresión original. ¿Estás de acuerdo con Juan? Si todavía tienes alguna duda, te invito a que resuelvas esta expresión:

RT 

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1 1 1  5 3

y compruebes que el resultado es

15 . 8

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Bibliografía Allen, A. (2004). Álgebra Intermedia (6ª. ed .). México: Prentice Hall. Baldor, A. (1988). Álgebra. México: Publicaciones Cultural. Barnett, R., Ziegler, M. & Byleen, K. (2000). Álgebra (6ª. ed.). México: McGraw-Hill. Bello, I. (1999). Álgebra elemental. México: Internacional Thomson Editores.

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