Ejercicios DE Simplificacion DE Ecuaciones Logicas 1 PDF

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7. Leyes del Condicional: a) p → q ≡ ~p ٧ q b) ~ (p → q) ≡ p ٨ ~q 8. Leyes del Bicondicional: a) p ↔ q ≡ (p → q) ٨ (q → p) b) p ↔ q ≡ (p ٨ q) ٧ (~p ٨ ~q) 10. Leyes de Transposición: a) (p → q) ≡ (~q → ~p) b) (p ↔ q) ≡ (~q ↔ ~p) 11. Ley de Exportación: (p ٨ q) → r ≡ p → (q → r) 12. Formas normales: • Para la Conjunción: V ٨ V ≡ V; V ٨ P ≡ P; F ٨ P ≡ F • Para la Disyunción: F ٧ F ≡ F; F ٧ P ≡ P; V ٧ P ≡ V 13. Elementos Neutros para la Contradicción y Tautología: P ٨ C = C; C ٧ T = T; P ٧ T = T; C ٨ T = C donde: T= Tautología (Verdad), C = Contradicción (Falso), P = Esquema Molecular Cualquiera

A. si B. si C. si D. no E. no F. no G. si

H. no I. no J. si K. no L. no M. no N. no O. no P. no Q. no R. no S. no SIMPLIFICACIÓN DE PROPOSICIONES La simplificación de una proposición, o dicho de otra manera, la simplificación de una expresión lógica consiste en reducir la expresión lógica a una forma más simple mediante el uso de los axiomas y/o leyes lógicas. La simplificación consiste en ir desarrollando la expresión paso a paso mediante la sustitución en cada paso de una expresión lógica equivalente a la anterior, hasta llegar a una expresión lógica irreducible. A través de la simplificación podemos también demostrar una equivalencia lógica sin usar tablas de verdad. 1.-

Simplificar la expresión:

[(p→ p) ∨ q] ∧ [~q ∨ (r ∧ q)] ∧ [p → (p ∨ ~q)] Ubicar la ley que utiliza [(~p ∨ p) ∨ q] ∧ [~q ∨ (r ∧ q)] ∧ [~p  ∨ (p ∨ ~q)] [(~p ∨ p) ∨ q] ∧ [~q ∨ (r ∧ q)] ∧ [(~p  ∨ p) ∨ ~q] (V ∨ q) ∧ [~q ∨ (r ∧ q)] ∧ (V  ∨ ~q)

Recuerde

Condicional Asociativa Forma Normal

V ∧ [~q ∨ (r ∧ q)] ∧ V

Forma normal

V ∧ V ∧ [~q ∨ (r ∧ q)]

Asociativa

V ∧ [~q ∨ (r ∧ q)]

Forma normal

~q ∨ (r ∧ q) 

Distributiva

(~q ∨ r) ∧ (~q  ∨ q)

Elemento neutro

(~q ∨ r) ∧ V 

Forma normal

~q ∨ r 2.- Simplificar

[~(p ∨ q) ∨ (~p ∧ q)] → (~p ∧ q)

Ley de Morgan

[(~p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q)] → (~p ∧ q)

Distributiva

[~p ∧ (~q  ∨ q)] → (~p ∧ q)

Complemento

(~p ∧ V) → (~p ∧ q) ~p → (~p ∧ q)

Forma Normal Condicional

~ (~p) ∨ (~p ∧ q)

Doble negación

p ∨ (~p ∧ q) 

Distributiva

(p ∨ ~p) ∧ (p ∨ q)

Complemento

V ∧ (p  ∨ q)

Forma Normal

p∨q

3.

[(p➔ ~q) ➔ ~p ] ➔ q  ~ [~ (~p v ~q) v ~p ] v q

Condicional Morgan

[~~  (~p  v ~q) ˄ ~~p  ]vq

Doble negación

[ (~p v ~q) ˄ p ] v q

Conmutativa

[ p ˄ (~p v ~q) ] v q

Distributiva

[ (p ˄ ~p ) v (p ˄ ~q) ] v q

Complemento

[F  v (p ˄ ~q) ] v q

Forma Normal

(p  ˄ ~q) v q

Conmutativa

 q v (p ˄ ~q) 

Distributiva

(q v p) ˄ (q  v ~q)

Complemento

(q v p) ˄ V 

Forma Normal

(q v p)

4. [(p  ˄ q) ➔ ~r] v [p  ➔ (q➔ ~r)]

Condicional

[~ (p ˄ q) v ~r] v [~p v (~q v ~r)]

Morgan

[(~p v ~q) v ~r] v [~p v (~q v ~r)]

Elimino signos de agrupación

~p v ~q v ~r v ~p v ~q v ~r 

Asociación

(~p v ~p) v (~q  v ~q) v (~r  v ~r)

Idempotencia

~p v ~q v ~r

Morgan

~ (p ˄ q ˄ r) Simplificar las siguientes proposiciones aplicando las leyes: 1. ~{[(~p)  (~q)]   ~q ]}  ≅ ~{[ ~p ∨ (~q  ∨ ~q)] } ≅ ~[~p  ~q]  ≅ ~~p ∧ ~(~q) ≅p∧q

Asociativa Idempotencia Morgan Doble Negación

2. [~p ∨ q] ∨ [~q ∨ ~p] Asociativa [~ p ∨ ~ p] ∨ [q  ∨ ~q] [~ p ∨ ~ p] ∨ V

Negación

Forma normal

V 3. ( p ∨ ~p) ∧ [p ∧ (q ∨ p)] Identidad V ∧ [p ∧ (q ∨ p)] [p ∧ (q ∨ p)]

Forma Normal Absorción

p 4. [~ (p  → q) → ~ (q  → p)]  ∧ (p ∨ q) Condicional [~ (~p ∨ q) → ~ (~q ∨ p)] ∧ (p ∨ q)

Condicional

[~ (~ (~p ∨ q) ∨ ~ (~q ∨ p))] ∧ (p ∨ q) Doble negación [ (~p  ∨ q) ∨ ~  (~q  ∨ p)] ∧ (p ∨ q) Distributiva y Doble negación [ (~p  ∨ ~p) ∨ (q  ∨ q)]  ∧ (p ∨ q) [p v q] ∧ (p ∨ q) (p ∧ p) v (q  ∧ q)

Idempotencia Conmutativa Idempotencia

pvq

5. {[( p → q) ↔ ~q] ∧ ~q} {[(~ p ∧ q) ↔ ~q] ∧ ~q}

Condicional Bicondicionalidad

{[ ((~  p ∧ q) ∧ ~q) ∨ (~(~ p ∧ q) ∨ ~~q)] ∧ ~q} Asociativa {[ ((~  q ∧ q) ∧ ~p) ∨ (~(~ p ∧ q) ∨ ~~q)] ∧ ~q} Negación {[ (F ∧ ~p) ∨ (~(~  p ∧ q) ∨ ~~q)]  ∧ ~q}

Distribución

{[ (F ∧ ~p) ∨ (( p v q ) ∧ (~q  ∨ q))]  ∧ ~q}

identidad

{[ (F ∧ ~p) ∨ (( p v q ) ∧ V )]  ∧ ~q}

Forma

normal {[ ~p ∨ ( p v q )] ∧ ~q}

Asociativa

{[ (~p  ∨ p) v (~p v q )] ∧ ~q}

Identidad

{[ V v (~p v q )] ∧ ~q}

Forma Normal

{V ∧ ~q}

Forma Normal

~q 6. ~ [(p ∨ p) ↔ p]

Bicondicional

~ [((p  ∨ p) ∧ p) v (~ (p  ∨ p) ∧ ~p ) ] idempotencia ~ [(p  ∧ p) v (~  p ∧ ~ p ) ]

idempotencia

~ [p  v ~p ]

Morgan

~ p ∧ ~(~p)

Doble negación

~p ∧ p

Forma Normal

F

7. [(p ∨ ~q) ∧ q] → p [(p ∧ q) ∨( ~q ∧ q)] → p

Distribución Identidad

[(p ∧ q) ∨ F ] → p

Forma Normal

(p ∧ q) → p

Condicional

~ (p ∧ q) v p

Morgan

(~ p v ~q) v p

Asociación

(~ p v p) v ~q

Identidad

V v ~q

Forma normal

v 8. ~ [~ (p ∧ q) → ~q] ∨ q

Condicional

[~ (p ∧ q) ∧ ~(~q)] ∨ q

Doble negación

[~ (p ∧ q) ∧ q] ∨ q

Morgan

[(~p v ~q) ∧ q] ∨ q

Distribución

[(~p ∧ q) v (~q  ∧ q) ] ∨ q

Identidad

[(~p ∧ q) v F] ∨ q

Forma normal

[~p ∧ q] ∨ q

Distribución

[(~p v q ) ∧ ( q  v q)] 

Idempotencia

[(~p v q ) ∧ q ] 9. [(~p ∧ q) → (r ∧ ~r)] ∧ ~q

Condicional

[~ (~p ∧ q) v (r ∧ ~r)]  ∧ ~q

Identidad

[~ (~p ∧ q) v F ] ∧ ~q

Forma normal

[~ (~p ∧ q) ] ∧ ~q

Morgan

[(~ (~p)  v ~q) ] ∧ ~q

Doble negación

[p v ~q] ∧ ~q

Distribución

(p ∧ ~q) v (~q  ∧ ~q)

Idempotencia

(p ∧ ~q) v ~q 10.

[(p ∧ q) ∨ (p ∧ ~q)] ∨ (~p ∧ ~q)

Distribución [(p v p) v ( q ∨ p) v (p v ~q) v (p v ~q)] ∨ (~p ∧ ~q) Idempotencia [p v ( q ∨ p) v (p v ~q) v (p v ~q)] ∨ ~p

Asociación

[q v ( p ∨ p) v (p v ~q) v (p v ~q)] ∨ (~p ∧ ~q) Idempotencia [q v p v (p v ~q) v (p v ~q)] ∨ (~p ∧ ~q)

Asociación

[(q v ~q) v (p v p) v (p ∧ ~q)] ∨ (~p ∧ ~q)

Identidad

[V  v (p v p) v (p ∧ ~q)] ∨ (~p ∧ ~q)

Forma normal

V v (~p ∧ ~q)

Forma normal

V

11.

[(~p ∧ q) ↔ (r ∧ ~r)] ∧ ~q

Bicondicional [((~p ∧ q) ∧ (r ∧ ~r)) v ((~(~p  ∧ q) ∧ ~(r  ∧ ~r))]  ∧ ~q Morgan [((~p ∧ q) ∧ (r ∧ ~r)) v ((~(~p) v ~q) ∧ (~r v ~(~  r)))] ∧ ~q Doble negación [((~p ∧ q) ∧ (r ∧ ~r))  v ((p v ~q) ∧ (~r  v r))]  ∧ ~q [((~p ∧ q) ∧ F ) v ((p  v ~q) ∧ V )] ∧ ~q

Identidad Forma normal

[F  v (p v ~q) ] ∧ ~q

Forma normal

(p v ~q) ∧ ~q

Absorción

~q 12.

[(p→ p) ∨ q] ∧ [~q ∨ (r ∧ q)] ∧ [p → (p ∨ ~q)]

13.

[~(p ∨ q) ∨ (~p ∧ q)] → (~p ∧ q)

14.

[( p → ~ q ) → ~p ] → q

15.

[( p Λ q ) → ~r] v [ p → ( q → ~r)]

FUNDAMENTOS DE LOGICA SIMBOLICA 1)

Para describir los diversos restaurantes de la ciudad, denotemos con p “la comida es buena” ; con q “el servicio es bueno” y con r “es de tres estrellas”. Escribir simbólicamente las siguientes proposiciones : a) La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas cosas

b) c) d) e) f)

2)

La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas. La comida es buena y el servicio no. No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres estrellas Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el restaurante es de tres estrellas No es cierto que ser de tres estrellas siempre signifique buena comida y buen servicio.

Denotemos con p “el clima es agradable” y con q “vamos de día de campo”. Traducir las siguientes proposiciones al lenguaje coloquial y, si es posible, simplificar : a) p ∧

b) p ↔ q

c) q → p

q 3)

Construir las tablas de verdad de los siguientes esquemas proposicionales : a) (p ∨ q) ∨ p

b) (p ∨ q) → p

d) (q → p) → (p → q) e) (p ∧ q) ∨ (∼ r)

4)

f) ∼ (r → r)

Los valores de verdad de las proposiciones p ; q ; r y s son respectivamente V ; F ; F y V. Obtener los valores de verdad de : i) [(p ∨ q) ∨ r] ∧ s

5)

c) p ↔ (p ∨ q)

ii) r → (s ∧ p)

iii) (p ∨ r) ↔ (r ∧ ∼ s)

Determinar en cada caso si la información que se da es suficiente para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo, justificarlo. i) (p → q) → r ;

r es V

ii) (p ∨ q) → (∼ p ∧ ∼ q) ; V

q es

6)

Determinar, si es posible, el valor de verdad de las siguientes proposiciones : si a) (p ∨ q) → q si b) p ∨ (p ↔ q) c) [ (p ∨ q) ∧ ∼ q] → q si

7)

p → q es Falso p → q es Verdad p es Verdad y ∼q es Verdad

Simplificar las siguientes proposiciones : a) ∼ (∼ p ∨ ∼ q)

b) ∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q)

8) Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas : i) p ∧ q → r

iii) p ∧ [ p ↔ q ]

ii) [ (p → q) ∧ (q → r) ] → (p → r)

9)

Negar los siguientes esquemas expresiones equivalentes

i) (p ∧ q) → r ii) p ∨ q

proposicionales

y

obtener

iii) ∼q ∨ r iv) p ∧ (q → r)

FUNDAMENTOS DE LOGICA SIMBOLICA 1)

Denotemos con p “el material es interesante” ; con q “los ejercicios son difíciles” y con r “el curso es agradable”. Escribir las siguientes afirmaciones en forma simbólica : a) el material es interesante y los ejercicios son difíciles b) el material no es interesante, los ejercicios no son difíciles y el curso no es agradable. c) Si el material no es interesante y los ejercicios no son difíciles entonces el curso no es agradable.

d) e)

Que el material sea interesante significa que los ejercicios son difíciles y viceversa O el material es interesante o los ejercicios no son difíciles pero no ambas cosas.

2)

Escribir las siguientes afirmaciones en forma simbólica : a) El sol brilla y la humedad no es alta b) Si termino mi tarea antes de la cena y no llueve, entonces iré al partido de fútbol c) Si no me ves mañana significa que habré ido a la playa d) Si el costo de las utilidades crece o se niega la requisición de fondos los adicionales, entonces compraremos una nueva computadora si y solo si podemos mostrar que los recursos de cómputo son, en efecto, insuficientes.

3)

a) Escribir una afirmación compuesta que sea verdadera cuando exactamente dos de tres afirmaciones p ; q y r sean verdaderas. b) Escribir una afirmación compuesta que sea verdadera cuando ninguna, o una, o dos de las tres afirmaciones p ; q y r sean verdaderas.

4)

Determinar en cada caso si la información que se da es suficiente para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo, justificarlo.

i) (p ∧ q) → (p ∨ r) ;

5)

es V

Simplificar los siguientes esquemas proposicionales aplicando las leyes : i) ∼ (∼p ∨ ∼q)

6)

p es V y r es F ii) p ∧ (q → r);(p → r)

ii) ∼ (p ∨ ∼q) ∧ ∼q

Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas i) p → (p ∧ q)

ii) p → (p ∨ q)

7)

Los valores de verdad de las proposiciones p ; q ; r y s son respectivamente : V ; F ; F y V. Obtener los valores de verdad de : a) [ (p ∧ q) ∧ r] ∨ s b) (r → s) ∨ (p → s)

8)

c) (s ∧ q) → p

Demuestre por tablas de verdad las siguientes leyes :

i) [ (p ∨ q) ∧ q ] → ii) ∼q q

∼(p ∧ q) ↔ ∼p ∨ iii) ∼(p ∨ q) ↔ ∼p ∧ ∼q

En los siguientes párrafos transfórmelos a formulas lógicas: 9)

Antonio, Miguel y Juan perteneces al club Alpino. Cada miembro del club esquía, escala o ambas cosas. A ningún escalador le gusta la lluvia y a todos los esquiadores les gusta la nieve. A Miguel le disgusta lo que a Antonio le gusta, y le gusta lo que a Antonio le disgusta. A Antonio le gusta la lluvia y la nieve. ¿ Hay algún miembro del club Alpino que sea escalador pero no esquiador ? Cierto país está habitado por personas que siempre dicen la verdad o que siempre mienten, y que responderán preguntas solo con “si” o “no”. Un turista llega a una bifurcación en el camino, una de cuyas ramas conduce a la Capital y la otra no. No hay un letrero que diga qué camino seguir, pero hay un nativo, el señor z, parado en la bifurcación. ¿ Qué única pregunta deberá hacerle el turista para determinar qué camino seguir ?.

10)

11)

Determine si cada una de las afirmaciones de los ejercicios 1-8 es una proposición. Si la afirmación es una proposición, escriba su negación. (No se le piden los valores de verdad de las afirmaciones que son proposiciones). 1. 2 + 5 = 19 ← 2. Mesero, ¿puede traer las nueces? Es decir, ¿puede servir las nueces a los invitados? 3. Para algún entero positivo n, 19340 = n• 17. 4. Autrey Meadow fue la “Alicia” original en “The Honeymooners”. ← 5. Pélame una uva.

6. La frase “Hazlo de nuevo, Sam” aparece en la película Casablanca. 7. Todo entero mayor que 4 es la suma de dos números primos. ← 8. La diferencia de dos primos.

12)

Ejercicio de aplicación 2 Construir la tabla de verdad de (p →  ~q) ∨ r. El número de casos o filas que tiene la tabla de verdad de una  l número de proposición compuesta es siempre 2n, siendo n e proposiciones simples de que consta. Por ejemplo, si intervienen tres proposiciones habrá: 23 = 8 casos.

13)

Evalúe cada proposición en los ejercicios 1 – 6 con los valores de verdad. p = F, q = V, r= F. 1. p ∨ q V  erdadero 2. ~p ∨  ~q  q 3. ~p ∨  erdadero 4. ~p ∨  ~ (q ^ r) V  q) ^ ( ~p ∨  r) 5. ~ (p ∨ 6. (p ∨   ~ (r ∨   ~r ) ^ ~ ((q ∨   r) ∨   p) )...