Limites unilaterales e indeterminados PDF

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Matemática II - Tema: Limites unilaterales e indeterminados...

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MATEMÁTICA II LÍMITES

Mg. María V. Hermenegildo Chávez

LÍ M I T ES

Y

1

CON T I N U I DAD

LÍ M I T ES U N I LAT ERALES Existen casos en que las funciones no están definidas a la izquierda o a la derecha de un número real determinado, por lo que no tiene sentido el límite de la función cuando x tiende a ese número contenido en un intervalo abierto. Ejemplo 6: Si f(x)= x  2 no está definida para valores menores que 2; por lo que el lim x  2 no tiene x 2

sentido; pero se pueden tomar valores muy cercanos a 2 pero mayores que 2. En este caso x se aproxima a 2 por la derecha.

Si f(x)= 2  x no está definida para valores mayores que 2; por lo que el lim 2 - x no tiene x 2

sentido; pero se pueden tomar valores muy cercanos a 2 pero menores que 2. En este caso x se aproxima a 2 por la izquierda.

Definición 2: Sea f una función definida en el intervalo (a, c), y sea L un número real. Entonces, el límite de f(x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe:

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2

lim f(x) = L

x

a+

si para cualquier ε >0, tan pequeño como se quiera, existe δ(ε) > 0 tal que: Si 0 < x - a < δ,  | f(x) - L | < ε

Definición 3: Sea f una función definida en el intervalo (d, a), y sea L un número real. Entonces, el límite de f(x), cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe: lim f(x) = L

x

a-

si para cualquier ε >0, tan pequeño como se quiera, existe δ(ε) > 0 tal que: Si 0 < a - x < δ,  | f(x) - L | < ε ▪ Se hará referencia al límite lim f(x) = L como límite no dirigido o bilateral para diferenciarlo x

a

de los límites unilaterales. Teorema de Límite: El límite de la función, cuando x tiende a a, existe y es igual a L, si y sólo si, existen los límites unilaterales por la derecha y por la izquierda y ambos son iguales a L, es decir: lim f(x) = L  x

a

Ejemplo 7: Dada la siguiente función:  2 f(x) =  0  -2

si x > 1 si x = 1 si x < 1

lim f(x) = lim f(x)

x

a+

x

a-

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Solución:

a. b.

x

lim + f(x) = 2 1

lim - f(x) = -2

x

1

c. Como lim + f(x)  lim - f(x)  lim f(x) no existe. x

1

x

1

2-x -3

si x 2 si x > 2

x

1

Ejemplo 8: Dada función:

f(x) =

  

Graficar la función y hallar lim f(x), si existe. x

Solución:

2

3

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a. lim - f(x) = x

2

lim

x

2

2-x =

-

2-2 =0

x 2

b.

lim + f(x) = -3

x

2

x >2

como lim - f(x) x

2

x 2

 lim f(x) no existe. x

2

Ejemplo 9: Dada la función: f(x) =

  

(x-1)² + 3 - (x-1)² + 3

si x < 3 si x ≥ 3

Graficar la función y hallar lim f(x), si existe. x

3

Solución: L1 = lim + f(x) = lim (- (x-1)² + 3) = – ( 3 – 1) 2 + 3 = –1 x

L2 = lim x

x

3

3

-

3

f(x) = lim (x-1)² + 3 = ( 3 – 1) 2 + 3 = 7 x

3

Como L1 ≠ L2 , entonces el lim f(x) no existe. x

3

4

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Ejemplo 10: Dada función:

f(x) =

  

2x+5 si x < -3 7 4 si -3 ≤ x < 4 - x -2 3 1 2 si x ≥ 4 2x - x + 1

Determinar los límites laterales en a = -3 y en a = 4

Solución:

a) Calculando límites laterales cuando a = -3 L1 = lim x

-3

+

4 7 1 7 f(x) = lim ( - 3 x - 2 ) = 4 - 2 = 2 x -3

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L2 = lim x

-3

-

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f(x) = lim ( 2x + 5 ) = 2(-3) + 5 = -1 x

-3

Como L1 ≠ L2 , entonces el lim f(x) no existe. x

-3

b) Calculando límites laterales cuando a = 4 1 lim + f(x) = lim ( 2 x2 - x + 1 ) = 5 x 4 x 4

x

lim - f(x) = lim (4

x

4

4 53 7 = -8.83 3 x- 2 ) =-6

Luego f(x) no tiene límite en a = 4 ■

6

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GRUPO DE EJERCICIOS Nº 2 1.

2.

3.

4.

5.

6.

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7

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7.

8.

9.

10.

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LÍ MI TES I NDETERM I N ADOS

Definición: Un límite es determinado si al evaluar la función en el valor hacia el que x tiende se obtiene el valor del límite. En caso contrario se dice que es indeterminado. Formas indeterminadas: Si al reemplazar el valor al cual tiende x directamente en el límite, toman la forma:  0 , 1  ,  o pueden ser 0.  ,  -  , 00 y   ; las cuales son formas indeterminadas. 0 Con la finalidad de levantar la indeterminación se utiliza los conocimientos del álgebra básica tales como operaciones con fracciones racionales, factorización de polinomios, racionalización y simplificación de expresiones algebraicas en general. Al calcular límites haga primero la evaluación en el punto dado, porque si el límite no es indeterminado no es necesario realizar ninguna transformación a la función.

Funciones racionales: Si el numerador y el denominador tienden a aproximarse a 0 cuando x tiende a x0 entonces (x - x0 ) es un factor del numerador y del denominador, luego: f(x) = (x- x0 ) f1(x)



y

g(x) = (x- x0 ) g1(x)

f(x) (x- x0 )f1(x) = lim = g(x) (xx0 )g1(x) xx0 xx0 lim

con (x- x0 ) diferente de 0.

f1(x0) f1(x) lim g (x) = g 1 1(x0) xx0

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Ejemplo 11 Calcular: x2 +2x - 15 2 x -5 x +12x + 35

L = lim Solución:

Reemplazando directamente el límite: 52 + 2(-5) - 15 x2 +2x - 15 0 = = 0 2 2 x +12x + 35 5 +12(-5) + 35 x -5 lim

es una forma indeterminada, para levantar la indeterminación, se debe factorizar el numerador y denominador de la siguiente manera: x2 +2x - 15 ( x + 5)( x - 3) = lim 2 x +12x + 35 x -5 ( x + 5)( x + 7) x -5

L= lim

Entonces para x ≠5, se procede a simplificar: -8 -5-3 x-3 = -5+7 = 2 =-4 x + 7 x -5

L = lim

Ejemplo 12 Calcular: x3 - 5x + 6 L= lim x3 +7x2 - 8 x1 Solución: 13 - 5(1)+4 x3 - 5x + 4 0 = L= lim x3 +7x2 - 8 = 0 3 2 1 + 7(1) 8 x1 es una forma indeterminada, para levantar la indeterminación, se debe factorizar el numerador y denominador y se obtiene: ( x - 1)( x2 + x - 4) x2 + x - 4 12 + 1 - 4 = lim = 2 2 12 + 8(1) + 8 x1 ( x - 1)( x +8 x + 8) x1 x +8 x + 8

L = lim

-2 = 17

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para x ≠1, se ha efectuado la simplificación. -2  L= 17 Ejemplo 13 ( x  h) 3  x 3 h 0 h

Calcular: L= lim Solución:

Procediendo a la evaluación: ( x  h) 3  x3 ( x  0) 3  x3 x3  x3 0    h 0 h 0 0 0

L= lim

Al evaluar se obtiene un límite indeterminado, para tal efecto se factoriza la diferencia de cubos a fin de eliminar el término que hace indeterminado el límite: ( x  h) 3  x 3 [( x  h )  x ][( x  h) 2  x( x  h)  x 2 ]  lim h 0 h 0 h h 2 2 .[( ) ( ) ] h x h  x x h  x 2 2  lim  lim[( x  h)  x( x  h)  x ] h 0 h 0 h 2 2 2 2 2 2  ( x  0)  x ( x  0)  x  x  x  x  3 x L  lim

 L  3x2

Ejemplo 14 x3  3x  2 x 1 x 4  4x  3

Calcular: L = lim Solución:

Procediendo con la evaluación del límite a fin de comprobar si es determinado o indeterminado: L = lim x1

x3  3 x  2 13  3(1)  2 0   x 4  4x  3 1 4  4(1)  3 0

Se observa que es de la forma indeterminada, por lo que factorizando y eliminando el término que indetermina el límite: L = lim x 1

x3  3 x  2 x2 ( x  1)2 ( x  2) 1 2 1 lim   lim 2  2  4 2 2 x 1 x  2x  3   x  4x  3 x 1 ( x  2x  3)( x  1) 1 2(1) 3 2

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L=

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12

1 2

Ejemplo 15 Calcular: L = lim x1

x 3  12 x 2  10 x  3 x 3  9x 2  6x  4

Solución: x 3  12 x 2  10 x  3 13  121  10(1)  3 0   3 2 0 x 3  9x 2  6 x  4 1  91  6(1)  4 2

L  lim x1

Para levantar la indeterminación, se debe factorizar el numerador y denominador. (x 1 )(x 2  13 x  3 ) x 2  13 x  3 ( 1) 2  13( 1)  3 17    lim 2 2 2 x  1 (x 1 )(x 10 x  4 ) x  1 x  10 x  4 ( 1)  10( 1)  4 15 17 L= 15 L  lim

Ejemplo 16 Calcular: L = lim x2

x4  x3  7 x 2  8 x  4 x4  2 x3  x2  4 x  12

Solución: Procediendo con la evaluación de la función en el punto indicado: L = lim x2

x 4  x3  7 x 2  8 x  4 24  23  7(2)2  8(2)  4 0   x 4  2 x 3  x 2  4 x  12 2 4  2(2) 3  2 2  4(2)  12 0

Evaluando se tiene que el límite es indeterminado, por lo que se procede a factorizar, de tal manera que se elimine el término que hace indeterminado el límite: L  lim x 2

 lim x2

( x  2) 2 ( x 2  3 x  1) x 4  x3  7 x 2  8 x  4  lim x4  2 x3  x2  4 x  12 x2 ( x  2)2 ( x 2  2 x  3)

x 2  3x  1 22  3(2)  1 1  x 2  2 x  3 22  2(2)  3

L=1

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GRUPO DE EJERCICIOS Nº 3 Resolver los siguientes límites levantando la indeterminación si es necesario. 2x3- 5 x 2 - x+ 6 2x² + x - 6 3/2

x 3 - 6x 2 + 3x + 10 2. lim x3 - 4 x2 - 17x + 60 x 5

x3 - x2 - 10x - 8 2 -2 2x + x - 6

4. lim

1. lim x

3. lim x

5. lim h

0

7. lim x

x 3 + 6x 2 + 11 x + 6 3 2 -1 x + 7 x + 14 x + 8

x

3x² - x - 10 6. lim x² + 5x - 14 x 2

(3 + h)² - 9 h

x 3- x 2 - 3 x + 2 x2 - 5 x + 6 2

x² - 9 8. lim x² - x - 6 x 3

t² + 2t - 8 9. lim 2t² - 5t + 2 t 2

h3 - 8 10. lim h² - 4 h 2

r2 - r 11. lim 2r²+5r - 7 r 1

12. lim h 0

13. lim x

x4 + x 3 - 16x 2 - 4 x + 48 x2 +2x -15 3

Respuestas: 2. 1 5 1. – 14 6 8. 5

9. 2

(x+h)2 - x2 h

2 x4 + 7x 3 + x 2 - 7 x -3 2x2 +5x -3 -3

14. lim x

6 3. – 7

2 4. 3

5. 6

11 6. 9

10. 3

1 11. 9

12. 2 x

35 13. 8

7. –5

14.

40 7

13...