Limites - Teoria PDF

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LIMITES Definición 1. Sea

un punto la bola abierta de radio () {

La bola cerrada de radio

‖

en es el conjunto:

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ‖

}

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ‖

}

en P es el conjunto: () {

‖

Definición 2. Un subconjunto es llamado conjunto abierto si para todo existe un tal que la bola abierta de radio sobre está completamente contenida in A () Se dice que B es cerrado si su complemento de B es un abierto. Dicho de otra manera, un conjunto abierto es una unión de bolas abiertas. Las bolas abiertas son conjuntos abiertos y bolas cerradas son conjuntos cerradas. [0, 1) no está abierto ni cerrado. se dice que es un punto limite si para todo la Definición 3. Sea intersección. () Ejemplo: 0 es un punto límite de { Lema 4. Un subconjunto

}

es cerrado si y solo si B todos sus puntos límites:

Ejemplo: * + es abierto. Uno puede ver esto directamente de la definición o demostrando que el complemento * + es cerrado. Definición 5. Sea y sea un punto límite suponer que es una función. Decimos que se aproxima a L cuando Q se aproxima a P y escribimos () Si para todo implique ( )

nosotros podemos encontrar tal que siempre ( ) . En este caso que L es el límite.

()

Puede ser útil comprender la noción de límite en términos de juegos jugando entre dos personas. Llamaremos al primer jugador Larry ya al segundo jugador Norman. Larry quiere mostrar que L es el límite ( ) cuando Q se aproxima a P y norman no lo hace. Entonces norman puede elegir una vez norman a elegido Larry tiene que escoger El más pequeño que norman elija, Larry tendrá que trabajar más duro para elegir ( normalmente tendrá que escoger muy pequeño).

Proposición 6. Sea y funciones. Sea sea un escalar. Si P es un punto límite de A y () () y Entonces 1. ( )( ) 2. ( )( ) Supongamos que m=1 3. ( )( ) 4. Si entonces ( )( ) () () () 5. Si ( ) ( ) y si

Definición 7. Sea es continua P si

y

es una función, entonces decimos que f

()

()

Teorema 8. Si es una función polinomial entonces f es continua. Resultados similares ocurres si f es una función racional (cociente de dos funciones polinomiales). Ejemplo Si

dada por ( )

es continúa.

Proposición 9: Sea y sea . y Suponer que P es un punto límite de A, L es un punto límite de B y ()

() y ( )( )

Notación sea f un campo escalar definido en un abierto de . Se llama limites iterados a los siguientes límites: ( ( )) y ( ( )) Teorema 9. Se f un campo escalar definido en un abierto de si y si existen los dos limites unidimensionales ( ) ( )( ) ( ) y

( ) entonces los limites iterados son iguales ( ( ))

Ejercicios propuestos:

(

( )) =

Resolver los siguientes limites si existen caso contrario justificar por qué no existen .

1.

( )( )

2.

( )( )

3.

( )( )

4.

( )( )

5.

( )( )

6.

( )( )

7.

( )( )

(

)...