Coeficiente angular, derivadas e limites PDF

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Anotações referentes à aula que aborda conceitos e definições a respeito de coeficiente angular, derivada de uma função e limites, rica em exemplos e problemas resolvidos que ajudam a fixar o conteúdo....

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MAT2110 Cálculo I para Química - 2015 Coeficiente angular, derivada e limite Sabe-se que a equação da reta é: y − y0 = m(x − x0 ) Onde m é o coeficiente angular da função, dado por 𝑚 =

y−y 0 (x−x 0 )

Exemplo Dado h ≠0,definamhcomosendoocoeficienteangularda

reta que passa pelos pontos (1 , 1) e (1+h , (1+h)²). Aplicando a definição de coeficiente angular:

1 + h2 − 1 y − y0 h2 + 2h + 1 − 1 h2 + 2h = ; h≠0 = mh = = h h x − x0 1+h−1 mh = h + 2; h ≠ 0 Pode-se dizer que o limite de m(h) quando h tende a zero é igual a 2, isto é: lim mh = 2 h→0

Ou seja, o coeficiente angular é igual a 2.

Exemplo Encontrar o coeficiente angular da tangente à curva y=x² no ponto (a , a²). a + h2 − a2 mh = a+h−a

a + h2 + 2ah − a h2 + 2ah = = ; h≠0 h h mh = 2a + h; h ≠ 0 lim mh = 2a h→0

Resposta: o coeficiente da tangente é 2a

De Defin fin finiçã içã ição: o: Se limh→0

f a+h −f(a) h

existe, ele é chamado de "derivada de f

no ponto a), e pode ser denotada como f '(a). Sig Signif nif nifica ica icad do geo geomé mé métr tr trico ico ico:: f '(a) é o coeficiente angular da tangente à curva y=f(x) no ponto (a , f(a)). Vimos,portanto,que,parafx=x²,x∈ℝ,f'x= 2x. Exemplo f(x) = |x|, x∈ℝ f '(a) = 1, se a > 0 f '(b) = -1, se b < 0 Dado a > 0, seja m(h) o coeficiente angular da reta que passa por a,|a|ea+h,|a+h|,h≠0 mh =

|a + h| − a a+h−a = =1 a+h−a a+h−a

|a| = a

|a+h| = a+h, se h > - a

Resumindo, derivada: fa + h − f(a) h→0 h

f ′ a = lim

= mtg

Exemplo Seja f(x)=x³, qual é sua derivada, em função de x? Dado a ∈ℝ, defina mh =

a+h 3 −a 3

h

=

h 3 +3a²h+3ah ² h

; h≠0

mh = h² + 3a² + 3ah; h ≠ 0 lim mh = 3a² h→0

Logo, f(x)=x³ é derivável em todo a ∈ ℝ, e f '(a) = 3a² ou f(x)=3x² ou d

dx

x³ = 3x² ou

df

dx

= 3x².

Pergunta Em que ponto a reta tangente a y=x³ no ponto (1,1) encontra (novamente) a curva y=x³? A reta tangente a y=x³ em (1,1) tem equação

𝑦−1

𝑥−1

=3

Os pontos que pertencem à reta y=3x-2 e à curva y=x³ são os pontos (x,y) que satisfazem o sistema: 𝑥³ = 3𝑥− 2 𝑦 = 𝑥³ ⟹ 𝑦 = 3𝑥− 2 𝑦 = 3𝑥 − 2 𝑥³ − 3𝑥 + 2 = 0 𝑥 − 1(𝑥 2 + 𝑥− 2) = 0 𝑥 − 1𝑥 − 1(𝑥 + 2) = 0 Portanto, as raízes são 1 e -2. Aplicando-as na curva y=x³: Quando x=1 ⟹ y=1, isto é, se encontram ponto (1,1). Quando x=-2⟹y=8, isto é, se encontram novamente no ponto (-2,8).

PROBLEMA DE VELOCIDADE INSTANTÂNEA (QUEDA LIVRE) 1

y = gt² (partícula em queda livre) 2 Qual a velocidade média da partícula entre os instantes t1 e t1+h? t1 =

qualquer tempo yt1 + h − y(t1 ) h

1 1 2 2 − g t + h 1 2 gt1 ² = g t1 + h − t1 ² =2 2 h h

=

g t1 ² + 2t1 h + h² − t1 ² g = (2t1 + h) 2 h 2 g (2t1 + h) = gt1 h→0 2

y ′ t1 = lim

Podemos escrever v(t)=g(t), sendo v a "velocidade" da partícula no instante t. Ou seja, v(t) é a derivada de y(t). Ob Obs. s. derivada é um

limite de quocientes....