8 - Derivadas Direcionais e Gradiente PDF

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IFCE ENGENHARIA DE MECATRÔNICA – 2017-1 - CÁLCULO III – DERIVADA DIRECIONAL ( Inclinação ) Se z = f(x,y) é uma função diferenciável de x e y com u = u1i + u2j um vetor unitário, então a derivada direcional de f na direção de u é denotada por :

z z .u1 + .u2 x y

Duz =

(I)

A derivada direcional pode ser escrita como: Duf(xo, yo) =  f(xo, yo).u, ou um produto escalar interno. 

Seja o vetor gradiente  z( x0 , y0 ) temos que a derivada direcional é a direção assumida pelo vetor gradiente quando “aplicado” no vetor unitário u, logo, para calcularmos a derivada direcional temos o vetor decomposto 

em  zP 

z z i j e combinado com a equação ( I ) chegamos em : y x 

Duz =  z P .u

Produto Escalar

Definição: Se f(x, y) for uma função de x e y e u  u 1i  u 2 j um vetor unitário. Esse vetor unitário determina uma reta l no plano xy que pode ser expressa por x = xo + su1, y = yo + su2, onde s é o parâmetro comprimento de arco. A variável z será z = f(x o + su1, yo + su2). Então a derivada direcional de f na direção e sentido de u em (xo ,yo) é denotada por Duf((xo ,yo) e definida por:

D uf (x o, y o ) 

d (x o  su 1 , y o  su 2 )]s 0 desde que esse limite exista. ds

De forma alternativa: Duf(xo, yo) = fx(xo, yo)u1 + fy(xo, yo)u2. O mesmo vale para funções com três variáveis, onde o vetor unitário u  u 1 i  u 2 j  u 3 k :

D uf (x o y o,z o ) 

d [f (x o  su1 , y o  su 2 ,z o  su 3 )]s 0 . De forma alternativa: ds

Duf(xo, yo, zo) = fx(xo, yo, zo)u1 + fy(xo, yo, zo)u2 + fz(x o, yo, zo)u3





Se o versor u faz um ângulo com o eixo x, então podemos escrever u = ( cosθ, senθ ), então: Duf(xo, yo) = fx(xo, yo)cosθ + fy(x o, yo)senθ. Ainda podemos ter: Duf(xo, yo) = fx(xo, yo)u1 + fy(xo, yo)u2 = (fx , fy) . ( u1 , u2) = (fx , fy)u, como um produto escalar interno. Duf(xo, yo) = < (fx , fy)u > , onde: < (f x , fy)u > é o vetor gradiente, ou seja: Duf(xo, yo) =

 fu

Exemplos : 1 ) Ache a derivada direcional de f(x,y) = 3x²y no ponto ( 1, 2 ) na direção a = 3i + 4j. Resolução : Como a não é vetor unitário, temos que normaliza-lo, daí : •u=

1 a .a   a a

3i  4 j 2 1

a  a2

2



3i  4 j 3 4 2

2



3i 4j 3 4  u  i j 5 5 25 25



Logo :  z (1, 2 ) 

z x

(1, 2 )

i

z y

(1, 2 )

j  6xy (1, 2) i  3x 2



3 5

Portanto : Duz =  z P .u = (12i  3 j). i 



(1, 2 )

j  (6.1.2)i  (3.1) j   z(1, 2 )  12i  3 j

4 36 12 3 4  48   Duz = j   12.  3.  5 5 5 5  5 5

2 ) Ache a derivada direcional de f(x,y) = x³y² no ponto ( -1, 2 ) na direção a = 4i - 3j. Resolução : Como a não é vetor unitário, temos que normaliza-lo, daí :

a 1 .a   a a

•u=

4i  3 j a1  a 2 2

2

4i  3 j



4  ( 3) 2



2

4i 25



3j

4 3 u  i  j 5 5 25

Logo : 

 z ( 1, 2 ) 

z x

( 1, 2 ) i 

z y

2 2 ( 1, 2 ) j  3x y



3 2 2 3 ( 1, 2 ) i  2x y ( 1, 2 ) j  3( 1) (2) i  2( 1) .2 j   z ( 1, 2 )  12i  4 j

4 3 48 12 60 4 3  i  j  12.  4.     5 5 5 5 5 5 5 



Portanto : Duz =  zP .u = (12i  4 j).

Duz = 12

3) O potencial elétrico numa região do espaço é dado por V(x, y, z) = x2 + 4y2 + 9z2. Ache a taxa de variação de V no ponto (2, -1, 3) e na direção (2, -1, 3) para a origem. ,3) 1 (2, 1,3) , então:  Solução: o vetor (2, -1, 3) não é unitário, logo, v  (2, 1,3 14 2

2

2

   2t t 3t   2t  t  3t  f  x  ,y  ,z    x   4 y    9 z   ; e 14 14 14   14  14  14     2t t 3t    1  f  x , y , z 89t  2 14(2x 4y 27z     f (x, y, z)   14 14 14    14 



Logo:



f 89 14 f  1  2 14 lim  89t  2 14(2x  4y 27z   (2x 4y 27z), então:  2,  1,3   v t 0  14 7 v 7 





Calcule as derivadas direcionais de z = f(x , y) = ln( x2  y2 ) na direção do vetor (1 , 1). Solução:  O ângulo formado por (1,1) e o eixo positivo dos x é  = , logo: 4 x 2  x y f   x   (x, y)  cos    sen     2 2 2 2 2  x2  y2 v 4 x  y 4x y Calcule as derivadas direcionais de w = f(x , y, z) = xyz, na direção do vetor (1 , 2, 2). Solução: 2)  1 2 2  Consideremos o vetor unitário v    , ,  , logo: (1, 2, 2)  3 3 3  f  1 2 2  yz  2xz  2xy (x, y, z)  (yz, xz, xy).  , ,   v 3  3 3 3

Calcule as derivadas direcionais de w = f(x , y, z) = ex + yz, na direção do vetor (-1 , 5, -2). Solução: Como o vetor (-1, 5, -2) não é unitário, logo v 

30

  1,5,  2 ,

então:

f  1  x e x  5z  2y (x, y,z)   . e , z, y .( 1,5, 2)   v 30  30 





  

Exercícios : 1 ) Ache a derivada direcional de f(x,y) = e2xy , P ( 4, 0 ) e u = 

3 4 i j. 5 5

2 ( i  j) . 2

2 ) Idem para z = x² - 5xy + 3y² , P ( 3, -1 ) e u =

9x 2  4 y 2  1 , P ( 3, -2 ) e a = i + 5j .  ) , a = < 5, 1 > . 4 ) Idem para f(x,y) = xcos²y , P ( 2, 4 y 5 ) Idem para f(x,y) = arctg , P ( 4, -4 ) , a = 2i – 3j . x 3 ) Idem para f(x,y) =

6 ) Idem para f(x,y) = 4x3y2, P ( 2, 1 ) , a = 3i – 4j . 7.Dada f(x, y) = xy encontre Du f(1, 2) onde

u

3 1 i j 2 2

R.:

3

1 2

8.Obtenha a derivada direcional de f(x ,y) = exy em (-2, 0) na direção e sentido do vetor unitário que um ângulo de π/3 com o eixo positivo x. ( obs.: vetor unitário u = cosθi + senθj) ou seja,: Duf(xo, yo) = fx(xo, yo)cosθ + fy(xo, yo)senθ. R.:  3 9.Obtenha a derivada direcional de f(x, y, z) = x2y – yz3 + z no ponto (1, -2, 0) na direção e sentido do vetor a = 2i + j – 2k R.: -3 10.Uma partícula que procura calor está localizada no ponto (2 , 3) de uma placa lisa de metal, cuja temperatura em um ponto (x, y) é T(x , y) = 10 – 8x2 – 2y2. Determine uma equação para a trajetória se ela mover-se continuamente na direção do aumento máximo da temperatura. GRADIENTE Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e

z y  z seguinte vetor :  zPo =  x

ponto do plana e

z x

Po

,

as derivadas calculadas no ponto Po, chamamos de Vetor Gradiente ao

Po

Po

z z , as “ parciais “ de z = f(x,y). Seja Po (xo, yo), um x y

,

z y

Po

  

Se f for uma função de x e y, o gradiente de f é definido por:  f(x, y) = fx(x , y)i + fy(x , y)j Se f for uma função de x, y e z, o gradiente de f é definido por:  f(x, y, z) = fx(x , y, z)i + f y(x , y, z)j + fz(x , y, z)k Obs.: O vetor gradiente indica a direção e sentido de maior crescimento de f. Gradientes são normais às curvas de nível, ou ainda, O Vetor Gradiente aponta para onde z = f(x,y) tem maior velocidade. Observações Geométricas sobre Gradientes Sejam f : A ⊂ Rn −→ R uma função diferenciável tal que ∇f ≠ 0 , v um vetor unitário e α o ângulo formado por v e ∇f. Então: ∇f · v = || ∇f || . || v || cos(α) = || ∇f || cos(α); f  f como cos(α) atinge o máximo em α = 0, então: v  f Se α = , então, ∇f é ortogonal a v . Se consideramos o vetor unitário v = então, f 2

2 f f f   f.  f .  v f f

Logo, temos a igualdade quando derivamos na direção de ∇f.

Proposição: ∇f ≠ 0: A taxa máxima de crescimento de f no ponto xo ocorre na direção e no sentido do gradiente. Analogamente, a taxa mínima de crescimento de f no ponto xo ocorre na direção contrária a do gradiente. f O valor máximo de no ponto x0 é f (x 0 ) . v O gradiente de f no ponto x0 indica a direção, no plano xy (Dom(f)), de maior crescimento de f numa vizinhança do ponto x0.

● Determine o vetor gradiente das funções abaixo no ponto Po . 1 ) z = ln ( x² + y² ) em Po ( 0, 1 ). Resolução : ◙

z 2x z  = 2 2 x x x y

( 0,1)



2.0 0  0  2 0 1 1 2



 z( 0,1) = ( 0, 2 )

z 2y 2.1 2 z   2 2  2 = 2 ( 0,1) 2 y 0 1 1 y x y  ). 2 ) z = x.sen y em Po ( 1, 2 ◙

Resolução : ◙

z z = 1. sen y  x .0  sen y  x x

◙

z z = 0. sen y  x. cos y  x. cos y  y y

  1,   2

 sen



  1,   2

2

 1. cos

Se f(x,y) = x 2  y 2 , então, f (x, y)  (2x  2y) (x, y) f (x, y) (0, 0) (1, 0) (x, 0) (0, y) (1, 1) (x, y)

1 

(0, 0) (2, 0) (2x, 0) (0, 2y) (2, 2) (2x, 2y)

 2



 z

   1,   2

 cos

 2

= ( 1, 0 )

0

IIf (x, y) II 0 2 2x 2y 2 2

2 (x, y)

À medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente cresce e fica igual a duas vezes a distância do ponto à origem.

Se f(x,y) = x2  y2 , então, f (x, y)  (2x  2y) (x, y) (0, 0) (1, 0) (x, 0) (1, 1)

 f (x, y) (0, 0) (2, 0) (2x, 0) (2, 2)

II f (x, y) II 0 2 2x 2 2

(x, y)

(2x, -2y)

2 (x, y)

À medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente cresce e fica igual a duas vezes a distância do ponto à origem.

Exercícios : 1 ) Idem para

a) z = 3.x²y³.e2xy em Po ( 1, -1 ) .

b) z =

1.Seja f(x , y) = x2 ey. Determine o gradiente de f em (-2 , 0)

R.:

2x 2 y em Po ( -1, 1 ) . x2  y3  f = -4i + 4j

1 2 1 2 x  y ache o gradiente de f no ponto (4 , 3). Ache também a taxa de variação de 2. Se f(x , y) = 16 9 1 1 2 1 2  f(4, 3) = i  j f(x , y) na direção  em (4 , 3). (Leithold, 975). R.:  f(x, y) = xi yj 8 9 2 3 4 1 1 7 u i j e Duf(4 , 3) = 2 2 6 2 3. Dada f(x , y , z) = 3x2 + xy – 2y2 - yz + z2 , ache a taxa de variação de f(x , y , z) em (1 , -2, -1) na direção e sentido do vetor 2i – 2j – k R.: Duf = -4 Leithold 978 4.Uma partícula que procura o calor está localizada no ponto (2,3) de uma placa lisa de metal, cuja temperatura em um ponto (x , y) é T(x , y) = 10 – 8x2 – 2y2. Determine uma equação para a trajetória se ela mover-se continuamente na direção do aumento máximo de temperatura. R.

y4

3 2

x

1

4

O gráfico da

trajetória e o mapa de contornos da função temperatura são mostradas na figura abaixo

dx dy i j , desse modo existe um escalar k ds ds dx dy i j  k( 16xi  4yj) . que depende de t tal que v(t) = k  T(x , y) de modo que ds ds

Obs.: considere o vetor tangente unitário como: T  T(s) 

1) A temperatura de um disco metálico é dada por T(x, y)  Calcule a taxa de variação da temperatura no ponto (1,1): a) na direção do eixo x; b) na direção que forma 300 com o eixo x; c) na direção que forma 400 com o eixo y; d) na direção do vetor 2i - j.

25 x 2  y 2 1

100xy é a temperatura em graus Celsius, sobre uma lâmina metálica, x e y x 2  4y2  4 medidos em cm, determine a direção de crescimento máximo de T a partir do ponto (1, 1) e a taxa máxima de crescimento de T, nesse ponto. Pela proposição anterior, no ponto (1, 1), a função cresce mais rapidamente na direção de ∇T(1, 1) e a taxa máxima de crescimento nesta direção é || ∇T(1, 1)||. 100 (y(4  x 2  4y2 ), x(4  x 2  4y 2 )); T(x, y)  2 x2  4y2  4

2)Se T(x, y) = T(x, y) 



500 2  8, 7290 C / cm 81 Obs.: A solução apresentada pode ser enganosa, pois, apesar de o gradiente apontar na direção de maior crescimento da temperatura, não necessariamente indica o lugar mais quente da lâmina, isto é, o gradiente nos dá uma solução num pequeno aberto ao redor do ponto (1, 1); se mudamos este ponto a direção de maior crescimento muda. Desenhos do gradiente ao redor do ponto (1, 1) numa região do plano, respectivamente: T(1,1) 

100



92

(7,1) e

T(1,1) 

3) Uma chapa de metal está situada em uma região plana de modo que a temperatura T expressos em graus F, em (x, y) seja inversamente proporcional à distância da origem e a temperatura em P(3,4) é 1000 F. Nessas condições, encontre, em P: a) a taxa de variação de T em p na direção de i = y; R.: 14 2 b) a direção em que T aumenta mais rapidamente; c) a direção em que T decresce mais rapidamente; d) a direção em que T é nula. k onde k é uma constante de Solução: pelo enunciado, a temperatura é dada por T(x, y)  x2  y2 proporcionalidade. Como a temperatura em P(3,4) é 1000 F então k = 500, então: T(x, y) 

500 x2  y2

T(3, 4) 

k 32  4 2

 100 daí

, assim:

a) a direção em que T aumenta mais rapidamente é dada pelo vetor ∇T(,3 ,4) = -12i – 16j ; b) a direção em que T decresce mais rapidamente é dada pelo vetor ∇T(3, 4) = 12i + 16j; c) a direção em que T é nula é a direção perpendicular ao ∇T(3, 4) = -12i - 16j; considerando essa direção (a, b) então devemos ter o produto escalar de (a, b) pelo vetor 4 -12i - 16j igual a zero, ou seja, a  b , assim a direção onde a derivada é zero é dada por múltiplos do 3  3 4  4 vetor 1,  ou pelo versor  ,   5 5  3  4 Analogamente, obtemos a direção do vetor 1,  como outra direção onde a taxa é nula, que também  3 3 4  pode ser expressa pelo versor (vetor unitário)  ,  . 5 5 

100 . x2  y2 a) Se a partir do ponto (1, 2) nos movermos no sentido positivo do eixo x, a temperatura aumenta ou diminui? Justifique tua resposta. b) Em que ponto (a , b) a temperatura vale 450 C, sabendo que a taxa de variação com relação a distância percorrida na direção do eixo y, sentido positivo, nesse ponto, é igual a 120 C/cm? c) Calcule o gradiente da temperatura em (3 , 4). Solução: Determine a partir do ponto (1,2) a direção em a temperatura permanece constante. a) Se nos movermos no sentido positivo do eixo x, a partir do ponto (1,2), temos a derivada de T na direção do eixo x, em (1,2), que é a derivada parcial de T em relação a x, em (1,2). Seu valor é -8, portanto nessa situação a temperatura diminui, pois o valor da derivada é negativo. 500  45 , ou seja: b) O ponto (a, b) onde a temperatura vale 450 C é dado por T(a, b)  2 a b 2 100 25  a2 + b2 = . Nesse ponto a taxa de variação com relação a distância percorrida na direção do 45 9 eixo y, sentido positivo, é igual a 12, então: 200b Ty (a, b)  12  (a 2  b 2 ) 2

4) A temperatura em uma região do plano é dado por T(x, y) 

 25 a 2  b 2   4 Então temos duas equações e duas incógnitas:  200b   (a 2  b 2) 2 8 2 Resolvendo temos que b   e a=389 27 27

5) A superfície de um lago é representada por uma região D no plano xy de modo que a profundidade (em metros) sob o ponto (x, y) é f(x, y)= 300 - 2x2 - 3y2. Em que direção um bote em P(4, 9) deve navegar para que a profundidade da água decresça mais rapidamente? Resp.: ∇f = (-16 , -54) e ∇f = (16, 54) 6) A temperatura do ar em certa altitude é dada por: f(x, y, z) = xy2z3 + x2yz3 + x2y3z Um avião está localizado no ponto (−1, 2, 1). Em que direção deve voar para que o motor resfrie o mais rapidamente possível? R.: O avião deverá voar na direção de (16,−9,−2). 7) A equação da superfície de uma montanha é: z = f(x, y) = 1200 − 3x2 − 2y2, onde as distâncias são medidas em metros. Suponha que os pontos do eixo positivo dos x estão a leste e os pontos do eixo positivo dos y ao norte e que um alpinista está no ponto (−10, 5, 850). a) Qual é a direção da parte que tem a inclinação mais acentuada? b) Se o alpinista se mover na direção leste, ele estará subindo ou descendo e qual será sua velocidade? c)Se o alpinista se mover na direção sudoeste, ele estará subindo ou descendo e qual será sua velocidade? d) Em que direção ele estará percorrendo um caminho plano? 8) Suponha que o potencial numa lâmina plana é dado por: 

x2  y2 20

V (x, y) = 80 − 20 x e em volts, x e y em cm. a) Determine a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao eixo dos x. b) Determine a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao eixo dos y. c) Determine a taxa de variação do potencial na direção do vetor (1, 1). d) Qual é a taxa máxima de variação do potencial no ponto (1, 2)? e) Em que direção, a partir da origem, o potencial aumenta e diminui?...