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DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. El ingreso total mensual de un pequeño industrial está representado por I(x) = 7400x – 0,8x2 pesos, cuando produce y vende x unidades mensuales. Actualmente el industrial produce 100 unidades al mes y planea incrementar la producción mensual en 1 unidad. 

Utilice la función de ingreso marginal para estimar el ingreso que generará la producción y venta de la unidad 101. I(x) = 7400x – 0,8x2

X= 99

I’(x) = 7400 – 1.6x Como es estimado, tomamos una unidad por debajo de la solicitada. I’(100) = 7400 – 1.6(99) I’(100) = 7400 – 158.4 I’(100) = 7241,6 

Utilice la función ingreso para calcular exactamente el ingreso que genera la producción y venta de la unidad 101.

2. Un fabricante determinó que cuando se producen x unidades de cierto producto, el costo total está dada por la siguiente función C(x) = (x2 + 6x) (5x2 - 3x) ¿Cuál es la función costo marginal? C(x) = (x2 + 6x) (5x2 - 3x) C(x) = f(x) * g(x) C’(x) = f’(x) * g(x) + f(x) * g’(x) f(x) = (x2 + 6x)

→

f’(x) =2x

g(x) = (5x2 - 3x)

→

g’(x) =10x - 3

C’(x) = [(2x*(5x2 - 3x)] + [(x2 + 6x)*(10x – 3)] C’(x) = [10x³-6 x2 ] + [ 10 x³-3 x2 +60 x2 -18x] C’(x) = 10x³-6 x2 + 10 x³-3 x2 +60 x2 -18x C’(x) = 20x³+51x2 – 18x

Ésta es la función Costo Marginal

¿Cuál es el costo de fabricar la cuarta unidad? C(x) = (x2 + 6x) (5x2 - 3x) C(4) = 5x4 -3x³+30x³-18x2 C(4) = 5x4 +27x³-18x2 C(4) = 5(4)4 +27(4)³-18(4)2 C(4) = 1280 + 1728 – 288 C(4) = 2720 El costo de fabricar la cuarta unidad es de 2720

3. En una fábrica de Tablet, la relación del precio unitario p en pesos y la cantidad de la demanda x de la Tablet Tb-32 está dada mediante la ecuación: P = 1300 – 0,6x; ¿Cuál es la función de ingreso total? I(x) = x* P(x) I(x) = x * (1300 – 0,6x) I(x) = 1300x-0.6x²

Ésta es la función de ingreso total

¿Cuál es la función de ingreso marginal? I(x) = 1300x-0.6x²

Ésta es la función de ingreso marginal

I’(x) = 1300-1.2x

El costo medio o promedio está relacionado con el costo total C(x) de producción de x unidades de un artículo. El costo medio de x unidades de este artículo se obtiene al dividir el costo total de producción entre el número de unidades producidas, esto es:

La derivada de la función costo medio es llamada la función de costo medio marginal, y mide la razón de cambio de la función de costo medio con respecto del número de unidades producidas.

4. El costo total de producción de x recipientes para determinado producto en una compañía embotelladora, está dado por la siguiente función C(x) = 1,5x2 + 60x + 650 ¿Cuál es la función costo promedio Cm(x)? C(x) = 1,5x2 + 60x + 650 C(m) =

1,5x2 + 60x + 650 x

C(m) =

1,5x2 60x 650 + + x x x

C(m) = 1,5x +

650 𝑥

+ 60

Ésta es la función Costo promedio

¿Cuál es la función costo promedio marginal? C(m) = 1,5x +

650 𝑥

+ 60

C(m) = 1,5x+650x-1 +60 C'(m) = 1,5 - 650x-2 C'(m) = -

650 𝑥2

+ 1,5

Ésta es la función Costo promedio marginal

5. El costo total de producir x cantidades de un producto posicionado en el mercado hace 5 años, está dado por la siguiente función costo total C(x).= 1/5x3 - 3x2 + 450x + 1200 ¿Cuál es la función costo marginal Cˈ(x)? 1

𝑪(𝒙) = x3 - 3x2 + 450x + 1200 5 3

𝑪′(𝒙) = x² - 6x + 450 Ésta es la función Costo marginal 5

¿Utilice la función costo marginal para calcular el costo de fabricar la 100 unidad? 3

𝑪′(𝒙) = x² - 6x + 450 5

x = 99

3

𝑪′(𝟗𝟗) = (99)² - 6(99) + 450 5 𝑪′(𝒙) = 5880.6 − 594 + 450 𝑪′(𝒙) = 5736.6 El costo marginal de fabricar las unidades solicitadas es de 5736.6 6. En cierta fábrica se estima que cuando se producen x unidades de determinado artículo, el costo total será C(x) = 0.036x3 + 0.8x2 + 9x + 6500 pesos. ¿Cuál es la función costo marginal Cˈ(x)? C(x) = 0.036x3 + 0.8x2 + 9x + 6500 C’(x) = 0.108x 2+ 1.6x + 9

Ésta es la función costo marginal

¿Utilice la función costo marginal para calcular el costo de fabricar la 15 unidad? C’(x) = 0.108x 2+ 1.6x + 9 C’(14) = 0.108(14) 2+ 1.6(14) + 9 C’(14) = 21.168+22.4+9 C’(14) = 52.57 El costo marginal de fabricar la unidad solicitada es de 52.57 pesos.

7. Un fabricante estima que cuando se producen x números de productos, el costo total está dado por: C(x) = 1050x – 3/2 x2 y la función ingreso I(x) = 795x + 9/2x2 ¿Cuál es la función utilidad U(x)? U(x) = I(x) – C(x) U(x) = (795x + 𝑥 2 ) - (1050x- 𝑥 2 ) 2 2 9

3

U(x) = 795x + 𝑥 2 - 1050x+ 𝑥 2 2 2 9

3

U(x) = -255x + 6x² U(x) = 6x² - 255x

Ésta es la función de utilidad

¿Determine la función utilidad marginal? U(x) = 6x² - 255x U’(x) = 12𝑥 − 255

Ésta es la función de utilidad marginal

¿Cuál es la utilidad de producir y vender la décima unidad? U(x) = 6x² - 255x U(10) = 6(10)² - 255(10) U(10) = 600 - 2550 U(10) = -1950 Al producir y vender la décima unidad, no se genera ninguna utilidad, por el contrario se va a tener pérdidas.

8. La siguiente función costo total C(x), para un producto está dada de la siguiente forma: C(x) = sqrt(x) + 3,2x2 -1600x ¿Cuál es la función costo marginal? 𝐶(𝑥) = √𝑥 + 3.2𝑥 2 − 1600𝑥 𝐶(𝑥) = 𝑥 1/2 + 3.2𝑥 2 − 1600𝑥 1 1 𝐶′(𝑥) = 𝑥 −2 + 6.4𝑥 − 1600 2 𝐶′(𝑥) =

1

2√𝑥

+ 6.4𝑥 − 1600

Ésta es la función costo marginal

9. La función de demanda de cierto tipo de vivienda de interés social está dada por p = -0,001q 2 +250 y la función de oferta está dada por P= 0,0006q2+0,02q+100, donde p representa el precio unitario en dólares y q el número de viviendas de interés social. Presente la gráfica de las funciones ¿Cuál es el punto de equilibrio? ¿Qué se puede concluir del punto de equilibrio?



Función demanda: p = -0,001q2 +250



Función oferta: P= 0,0006q2+0,02q+100 0,0006q2 + 0,02q + 100 = -0.001q² + 250 0,0006q2 + 0,02q + 100 + 0.001q² - 250 = 0 0.0016q² + 0.02q – 150 = 0 𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

𝑥=

−0.02 ± √(0.02)2 − 4(0.0016)(−150) 2(0.0016)

a = 0.0016 ; b = 0.02 ; c = -150

𝑥=

−0.02 ± √0.0004 + 0.96 0.0032

𝑥=

−0.02 ± √0.9604 0.0032

𝑥=

−0.02 ± 0.98 0.0032

𝑥1 =

−0.02 + 0.98 0.96 = 0.0032 0.0032

𝑥1 = 300 𝑥2 =

−0.02 − 0.98 −1 = 0.0032 0.0032

𝑥2 = −312.5 Reemplazamos 𝑥1 p = -0,001q2 +250

P= 0,0006q2+0,02q+100

p = -0,001(300)2 +250

P= 0,0006(300)2+0,02(300)+100

p = -90 +250

P= 54+6+100

p = 160

P= 160

Reemplazamos 𝑥2 p = -0,001q2 +250

P= 0,0006q2+0,02q+100

p = -0,001(-312.5)2 +250

P= 0,0006(-312.5)2+0,02(-312.5)+100

p = -97.65625 +250

P= 58.59375-6.25+100

p = 152.34

P= 152.34

Los puntos de equilibrio son: (-312.5, 152.34) y (300,160)

Cuando el precio de un producto es P dólares por unidad, suponga que un fabricante suministra 1/150q + 16 unidades al mercado y que los consumidores demandan -1/90q +24 unidades. En el valor de p para el cual la oferta es igual a la demanda, se dice que el mercado está en equilibrio. Presente la gráfica de las funciones ¿Cuál es el punto de equilibrio? ¿Qué se puede concluir del punto de equilibrio?

−

𝟏



Función demanda: 𝒑 = − 𝟗𝟎 𝒒 + 𝟐𝟒



Función oferta: 𝒑 =

𝟏

𝟏𝟓𝟎

1 1 𝑞 + 24 = 𝑞 + 16 90 150

1 1 𝑞 + 16 + 𝑞 − 24 = 0 90 150 40 𝑞−8= 0 2250

𝒒 + 𝟏𝟔

40 𝑞=8 2250 40𝑞 = 8 ∗ 2250 40𝑞 = 18000 𝑞=

18000 40

𝑞 = 450 Reemplazamos 𝟏

𝒑=

𝒑 = − 90 (450) + 24

1

𝒑 = 150 (450) + 16

𝒑 = 19

𝒑 = 19

𝒑 = − 𝟗𝟎 𝒒 + 𝟐𝟒

𝟏

𝟏𝟓𝟎

𝒒 + 𝟏𝟔

1

Los puntos de equilibrio son: (450, 19). De este punto de equilibrio se puede deducir que al precio de US $19 por unidad, los fabricantes producirán la cantidad de 450 unidades....