Derivadas - Resumão PDF

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DERIVADAS •

Reta tangente da função no ponto x0. Calcular o coeficiente angular: 𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 ) 𝛥𝑦 = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ→0 𝛥𝑥 ℎ Derivadas Para calcular um ponto qualquer: 𝑎 = 𝑙𝑖𝑚

•

Encontrar a função derivada Ex: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 ) ℎ

____,,____ 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1

𝑓(𝑥 + ℎ ) = (𝑥 + ℎ)2 + 1 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

𝑓 ′ (𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

((𝑥 + ℎ)2 + 1) − 𝑓(𝑥 2 + 1) ℎ

𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 1 − 𝑥 2 − 1 ℎ

𝑓 ′ (𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

ℎ(2𝑥 + ℎ) ℎ

𝑓 ′ (𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 2𝑥 + ℎ ℎ→0

𝑓 ′ (𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 2𝑥 + 0 = 2𝑥 Logo, 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥.

ℎ→0

Diferenciabilidade •

Se 𝑙𝑖𝑚+ 𝑓(𝑥) ≠ 𝑙𝑖𝑚− 𝑓(𝑥) ou 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = ∞ não se pode derivar a função. 𝑥→𝑥0

𝑥→𝑥0

𝑥→𝑥0

Derivada de Constantes •

Sempre vale 0 (zero).

Derivadas de Potência de x •

Aplica-se a regra do tombo: 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛

𝑓′(𝑥) = 𝑛 ⋅ 𝑥 𝑛−1 Ex: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2

𝑓′(𝑥) = 2 ⋅ 𝑥 2−1 𝑓′(𝑥) = 2𝑥

Tabela de Derivadas

Propriedades 𝑑(𝑓(𝑥)) 𝑑(𝑔(𝑥 )) 𝑑 + (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑(𝑓(𝑥)) 𝑑(𝑔(𝑥 )) 𝑑 (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) = − 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Regra do Produto 𝑑 𝑑(𝑓(𝑥)) 𝑑(𝑔(𝑥 )) ∙ 𝑓(𝑥) (𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)) = ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Regra do Quociente 𝑑 𝑓 (𝑥 ) )= ( 𝑑𝑥 𝑔(𝑥)

𝑑(𝑓(𝑥)) 𝑑(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑑𝑥 ∙ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑔(𝑥)2

Regra da cadeia Geralmente usadas em funções compostas (𝑓𝑂𝑔).

𝑑 𝑑(𝑓(𝑔(𝑥 ))) 𝑑(𝑔(𝑥 )) (𝑓(𝑔(𝑥))) = ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Diferenciação Implícita (ou derivação) •

Usa-se quando não consegue isolar uma variável. Ex: 2𝑥 ∙

𝑥 2 + 𝑦 3 = cos 𝑥 + ln 𝑦

𝑑𝑥 1 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ + 3𝑦 2 ∙ + ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑥

3𝑦 2 ∙

𝑑𝑦 1 𝑑𝑦 − ∙ = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 2𝑥 𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦 1 (3𝑦 2 − ) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 2𝑥 𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦 3𝑦 3 − 1 ( ) = −(𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2𝑥) 𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑦 −(𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2𝑥) ∙ 𝑦 = 3𝑦 3 − 1 𝑑𝑥

Taxas Relacionadas •

Usado para calcular a taxa de variação de uma grandeza em termos da taxa de variação de outra (que pode ser calculada mais facilmente). Ex: Ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico, de modo que seu volume aumenta a uma taxa de 100cm³/s. Quão rápido o raio do balão está aumentando quando o diâmetro for 50cm? Resolução: O crescimento do balão é em relação ao tempo. Dessa forma, fazemos:

𝑑𝑣 = 100𝑐𝑚3 /𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑟 quando r = 25cm 𝑑𝑡

O volume de uma esfera é dado por: 𝑉=

Portanto, fazemos:

4 𝜋𝑟³ 3

𝑑𝑟 𝑑𝑟 1 𝑑𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑟 = ∙ = 4𝜋𝑟 2 ⇒ = ∙ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 4𝜋𝑟 2 𝑑𝑡

Substituindo os valores:

𝑑𝑟

𝑑𝑡

=

1 1 = 25𝜋 𝑐𝑚/𝑠 2 4𝜋25

Derivada Primeira •

Indica se a função é crescente, decrescente ou a existência de um ponto crítico. De acordo com o sinal de uma derivada primeira, concluímos: I. II. III.

Se positivo, a função é crescente; Se negativo, a função é decrescente; Se 0, encontra-se o ponto crítico da função. Obs: se a derivada é indefinida, também é um ponto crítico da função.

Ex:

𝑓(𝑥) = 𝑥²

Primeiro, encontramos a derivada:

Igualamos a função a 0 (zero):

𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥

2𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 =

0 ⇒𝑥=0 2

Ponto crítico da função Para o teste, aplica-se os pontos vizinhos na função derivada: 𝑓 ′ (−1) = 2 ∙ (−1) = −2 ⇒ 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓 ′ (1) = 2 ∙ (1) = 2 ⇒ 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

Máximos e Mínimos Relativos •

Para encontra-los, primeiramente deve se encontrar os pontos críticos da função.

Máx

Min 𝑓 ′ (𝑥) = 0

𝑓 ′ (𝑥) = 0 •

Para garantir que o ponto é o máximo ou o mínimo, basta analisar o sinal de ambos os lados e perceber se a função passa de crescente para decrescente ou visse versa.

Ex:

𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 + 2

Encontramos a primeira derivada: 𝑓(𝑥)′ = 3𝑥 2 − 3 Igualamos a função a 0 (zero): 3𝑥 2 − 3 = 0 ⇒ 3𝑥 2 = 3 ⇒ 𝑥 2 = Escolheremos pontos entre -1 e 1:

𝑥 = ±1

3 ⇒ 𝑥2 = 1 3

−2 ⇒ 𝑓(−2)′ = 3(−2)2 − 3 ⇒ 3 ∙ 4 − 3 = 9 −0 ⇒ 𝑓(0)′ = 3(0)2 − 3 ⇒ 3 ∙ 0 − 3 = −3

2 ⇒ 𝑓(2)′ = 3(2)2 − 3 ⇒ 3 ∙ 4 − 3 = 9

Concluímos então que o ponto 1 é um ponto mínimo da função, e -1é um ponto máximo. •

Aplicações: Um terreno deve ser cercado com dois de seus lados paralelos com uma cerca especial no valor de 3 reais o metro. Já os outros dois lados restantes, com uma cerca comum de 2 reais o metro. Quais as dimensões do terreno de maior área que pode ser cercado com R$6.000? Resolução: O objetivo é encontrar o máximo da função: I.

Encontrando a função

II.

Calculando a derivada:

III.

3 6000 = 3 ∙ 2𝑥 + 2 ∙ 2𝑦 ⇒ 𝑦 = − 𝑥 + 1500 2 3 𝐴 = 𝑥 ∙ (− 𝑥 + 1500) 2 3 𝐴 = − 𝑥 2 + 1500𝑥 2 𝐴′ = −3𝑥 + 1500

Igualando a zero: −3𝑥 + 1500 = 0 ⇒ −3𝑥 = −1500 ⇒ 𝑥 =

IV.

V.

𝑥 = 500

1500 3

Escolhendo pontos ao redor de 500:

𝐴′ (499) = (−3) ∙ 499 + 1500 = 3

𝐴′ (501) = (−3) ∙ 501 + 1500 = −3

Jogando na função:

3 𝑦 = (− ) ∙ 500 + 1500 = 750 2

Logo, as dimensões são: X=500 e Y=750

Derivada Segunda • •

Indica a concavidade da função; Como anteriormente, as conclusões são baseadas na análise de sinais:

I. II. III.

Se positivo, concavidade para cima; Se negativo, concavidade para baixo; Se 0, possível ponto de inflexão.

Ex: 𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 + 2 Encontramos a primeira derivada: 𝑦 ′ = 3𝑥 2 + 3 Partimos para a segunda: 𝑦" = 6𝑥 Igualamos a 0: 0 𝑦" = 6𝑥 ⇒ 6𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = ⇒ 𝑥 = 0 6

Para o teste, aplica-se os pontos vizinhos na função derivada:

𝑓"(−1) = 6 ∙ (−1) = −6 ⇒ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜

𝑓 " (1) = 6 ∙ (1) = 6 ⇒ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎...