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DERIVADAS PARCIALES

LIC. DANILO LEIVA

UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIA FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA Alameda Roosevelt 3031 Tel. 2209-2894

MATEMÁTICA II FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES DEFINICIÓN: Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x,y) de D le corresponde un numero real f(x,y), entonces se dice que f es función de “x” e “y”. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f(x,y) es el rango de f. De igual manera se pueden dar definiciones similares para funciones de tres, cuatro o n variables, donde los dominios consisten de tríos (x1, x2, x3), tétradas (x1, x2, x3, x4) y n-uplas ordenadas, (x1, x2, x3,..., xn), respectivamente. En todos los casos el rango es un conjunto de números reales. Nosotros estudiaremos funciones de dos y tres variables. Para la función dada por z = f(x,y), llamamos variables independientes a “x” e “y”, siendo “z” la variable dependiente. Para la función de tres variables w = f(x,y,z), las variables independientes son “x”, “y” y “z”, y la dependiente es “w”. Las funciones de varias variables pueden combinarse de igual manera que las de una sola variable independiente. Para el caso tenemos que: i) ii) iii)

 f  g x , y  f  x , y  g x , y  f .g x, y  f  x, y.g x , y f  g

Suma o diferencia Producto

 f  x, y  , donde : g x , y   0  x, y   g x, y  

Cociente

La función compuesta dada por (g  h)(x,y) se define solamente si h es una función de x e y, y g es una función de una única variable. Entonces:  f  g x, y  f g x , y iv) Composición GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES La gráfica de una función de dos variables f es el conjunto de puntos (x,y,z) para los que z  f x, y  y  x, y  está en el dominio de f. Esta gráfica puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio. EJERCICIO 1: Evaluar la función en el punto que se indica: 1.

f x, y  

x y

2. f  x , y  4  x 2  4 y2

y 3. f  x, y  xe

4. f  x , y  ln x  y

a) (3,2)

a) (0,0)

a) (2,-1)

a) (e,0)

b) (30,5) c) (t2 – 4, t+2)

b) (2,3) c) (x,0)

b) (3,2) c) (t,t)

b) (5,6) c) (e,e)

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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES DEFINICION: Sea f una función de dos variables definida, con la posible excepción de (x0,y0), en un disco centrado en (x0,y0), y sea L un número real. Entonces:

lim

 x, y  x0 , y0 

f  x, y   L

Si para cada   0 existe un   0 tal que f x , y   L   siempre que 0 

 x  x0  2   y  y 02  

CONTINUIDAD PARA UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

x0 , y0  de una región f x0 , y0  está definido y es igual al límite de f  x, y cuando  x, y 

DEFINICION: Una función f de dos variables es continua en un punto abierta R si (x,y) tiende a (x0,y0). Es decir, si:

lim

 x, y  x0 , y0 

f x , y   f x 0 , y 0 

La función f es continua en la región abierta R si es continua en todos los puntos de R. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS DE DOS VARIABLES Si “k” es un número real y “f” y “g” son continuas en (x0,y0), entonces las siguientes funciones son continuas en x0 , y0  . 1. Múltiplo escalar:

kf

2. Suma y diferencia:

f g

3. Producto:

fg

4. Cociente:

f , si g x0 , y0   0 g

Las propiedades anteriores aseguran la continuidad de todas las funciones polinómicas y racionales en cualquier punto de sus dominios. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA Si “h” es continua en x0 , y0  y “g” es continua en hx0 , y0  , entonces la función compuesta dada por  g  h x , y  ghx , y 

lim

 x, y  x0 , y0 

es continua en  x0 , y0  . Es decir,

gh x, y  g h x 0 , y 0 

Nótese que “h” es una función de dos variables y “g” es una función de una variable.

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CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE TRES VARIABLES DEFINICIÓN: Una función f de tres variables es continua en un punto

 x0 , y0 , z0 

de una

región abierta R si f  x0 , y0 , z0  está definido y es igual al límite de f  x , y , z

cuando  x , y , z  tiende a x0 , y0 , z0 . Es decir, si:

lim

 x, y, z  x0 , y0 , z0 

f  x , y , z  f  x0 , y0 , z0 

La función f es continua en la región abierta R si es continua en todos los puntos de R. EJERCICIO 2: i)

Calcular el limite que se indica: 1.

lim x  3 y      2

2.

ii)

3.

5.

lim

lim  

 x , y, z

x ,y  0,0

x , y  2,1

x y 4. lim  x ,y  2,0 x  y

lim 5x  3xy  y  1     ysen xy 

6.

 2,0,1

lim

 x, y, z 1, 2,5 

 x, y   ,2  4 

xe yz

x y z

En los ejercicios 7-12, calcular los limites: a)

lim x 0

f  x  x, y   f x, y  x

7. f  x, y   x 2  4 y 10.

f  x , y  2xy

b)

lim y 0

f x, y  y   f x, y  y

8. f  x, y  x2  y2

9. f  x, y  2 x  xy  3

11. f  x, y  3x2 y2

12. f x , y   x  y 

2

DERIVADAS PARCIALES La introducción de las derivadas parciales tardó varios años en seguir a los trabajos de Newton y Leibniz. Entre 1730 y1760, Leonhard Euler y Jean Le Rond d’Alembert publicaron separadamente varios artículos de dinámica, en los cuales establecieron gran parte de la teoría de las derivadas parciales. Estos artículos usaban funciones de dos o mas variables para estudiar problemas que trataban del equilibrio, el movimiento de fluidos y las cuerdas vibrantes. En clase vamos a estudiar la teoría básica de las derivadas parciales de funciones de dos, tres y más variables.

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DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES DEFINICIÓN: Si z = f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a “x” y a “y” son f x y f y definidas mediante:

f x  x , y   lim

f  x   x, y  f  x, y x

f y x , y   lim

f  x, y  y  f  x, y y

x 0

y0

siempre y cuando exista el límite. Esta definición indica que si z  f  x, y  , entonces para calcular f x consideramos que “y” es constante y derivamos con respecto a “x”. De forma similar, para obtener que x es constante y derivamos con respecto a “y”.

f y , consideramos

NOTACIÓN PARA LAS DERIVADAS PARCIALES PRIMERAS: Si z  f x, y  , las derivadas parciales f x y f y se denotan:

fx 

f x , y  z   f x x, y   z x x x



fy

Las derivadas parciales primeras evaluadas en el punto

z  f x a , b x  a,b



z y

 f x, y  z   f y  x, y  z y y y

a, b  se denotan:  f y a , b 

a ,b 

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE TRES O MAS VARIABLES El concepto de derivada parcial puede extenderse de manera natural a funciones de tres o más variables. Así, si w = f(x,y,z), entonces hay tres derivadas parciales, las cuales se obtienen considerando cada vez dos de las variables constantes. Es decir, para definir la derivada parcial de “w” con respecto a “x”, consideramos que “y” y “z” son constantes y escribimos:

w f x  x , y , z   fx  x, y, z   lim x x x 0

Para definir la derivada parcial de “w” con respecto a “y”, consideramos que “x” y “z” son constantes y escribimos:

f  x, y  y, z  w  f y x, y, z   lim y y y 0

Para definir la derivada parcial de “w” con respecto a “z”, consideramos que “x” y “y” son constantes y escribimos:

f x, y, z   z  w  f z x , y, z   lim z z z 0

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En general, si w  f x  x1 , x2 , x3 ,..., xn  , donde: k  1,2,3,..., n ; para hallar las derivadas k parciales con respecto a una de las variables, consideramos las otras como constantes y derivamos con respecto a la variable dada. DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible hallar derivadas parciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero y superiores, supuesto que tales derivadas existen. Las derivadas de orden superior se denotan por su orden de derivación. Para el caso, hay cuatro formas diferentes de hallar una derivada parcial segunda de z  f x, y  : i)

Derivar dos veces respecto a “x”:

 f  x x

 ii)

  2  f  f xx x 2

Derivar dos veces respecto a “y”:

 f   2  y    f  f yy y y 2

  iii)

Derivar primero con respecto a “x” y a continuación con respecto a “y”:

f   2  x    f  f xy y y x

  iv)

Derivar primero con respecto a “y” y a continuación con respecto a “x”:

 f  y x

 

  2  f f yx x y

Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas. Se debe observar que hay dos tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas, según que convenio se utilice para indicar el orden de derivación. Así, la parcial

f   2  x    f y  y x

 

Orden de derecha a izquierda

indica que la primera derivación es con respecto a “x”, pero

f 

y x

 f yx

Orden de izquierda a derecha

indica derivación con respecto a “y” en primer lugar. IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES CRUZADAS Si f es una función de “x” e “y” tal que f , f x , f y , f xy , f yx son continuas en la región abierta R, entonces para cada  x, y  en R,

f xy  x, y  f yx  x, y

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Lo anterior se aplica a funciones de tres o más variables siempre y cuando f y todas sus derivadas parciales primeras y segundas sean continuas. Por ejemplo, si w  f x , y , z  y f , y todas sus derivadas parciales primeras y segundas son continuas en una región abierta R, entonces en cada punto de R el orden en la derivación de las derivadas parciales segundas es irrelevante. Esto es:

f xy  x, y, z  f yx  x, y , z 

f xz x , y , z   f zx x, y, z  f yz  x, y , z   f zy  x, y , z  Si además, las derivadas parciales tercera de f son continuas, entonces el orden en que se derivan las derivadas parciales terceras cruzadas tampoco es importante. Así, f xzz  f zxz  f zzx

, como se verificara en los ejemplos en clase. EJERCICIO 3: i)

En los ejercicios 1-20, hallar las derivadas parciales primeras con respecto a “x” e “y”. 1) f  x, y  2 x  3 y  5 4) f  x , y 

x y

6) f  x , y   x2  3xy  y 2

1 e

x



9) z  ln x2  y2

y

2

12) z 

11) z  ln 

14) g x, y  ln

x2  y2

xy x  y2 19) f x , y   e y senxy

ii)

5) f  x, y  x y

x y  x  y

10) z  ln xy

16) f  x, y 

3) f  x , y   xy

8) z  xe

7) z  x 2e 2y

13) h x, y  

2) f  x , y  x 2  3 y 2  7

2

x y 2

2

17) z  sen2x  y 



20) z  cos x 2  y 2

x 4y  x 2y

15) f  x, y  

 2

x y 2

18) z  sen3x cos 3 y



En los ejercicios 21-24, evaluar f x y f y en el punto indicado. 21) f  x , y  arx tan

y ;  x

23) f  x , y 

xy ; 2, 2  xy

2,2 

22) f  x , y  arcsen xy ; 24) f  x, y 

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4 xy ; x2  y2

1,0  1,0 

2

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iii)

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En los ejercicios 25-30, hallar las derivadas parciales primeras con respecto a x, y  z. 25) w 

x 2  y2  z2

27) F x, y, z  ln

x 2  y2  z2

29) H  x, y, z  senx  2y  3z  iv)

31) z  x  2 xy  3 y

2

2

2

37) z 

38) z 

xy x y

En los ejercicios 39-44, probar que: f xy  f yx : 39) z  x 3  3x 2 y

40) z  ln x  y

41) z  x sec y

42) z  9  x 2  y 2

x

44) z  xe y  ye x

y2

En los ejercicios 45-48, probar que las derivadas parciales mixtas iguales. 45) f  x , y , z  xyz 47) f  x, y, z 

senyz ex

f xyy , f yxy  f yyx son

46) f x, y, z   x2  3 xy  4 yz  z 3 48) f  x, y, z 

x yz

En los ejercicios 49-52, probar que la función satisface la ecuación de Laplace:

z xx  z yy  0

e

 e  y senx

49) z  5xy

50) z 

x 51) z  e seny

52) z  tan1 

1 2

y

y  x

En los ejercicios 53-54, probar que la función satisface la ecuación de ondas:

ztt  C 2 z xx

53) z  sen x  Ct ix)

2

36) z  senx  2 y 

x2  y 2

f xx , f yy , f xy  f yx :

32) z  x  3x y  y 4 4

35) z  arctan 

e

viii)

2

34) z  2e xy

43) z 

vii)

1 1  x  y2  z2 30) f  x, y, z  3x 2 y  5 xyz  10 yz 2 28) Gx, y, z  

33) z  e x tan y

y  x

vi)

xy xyz

En los ejercicios 31-38, hallar las segundas derivadas parciales: 2

v)

26) w 

54) z  sen Ct sen x 

En los ejercicios 55-56, probar que la función satisface la ecuación del calor:

zt  C 2 z xx

x  C

t 55) z  e cos

x  C 

t 56) z  e sen

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DIFERENCIAL TOTAL DEFINICIÓN: Si z  f x, y  y x, y son incrementos de “x” y de “y”, entonces las diferenciales de las variables independientes “x” e “y” son

dx  x  dy  y

y la diferencial total de la variable dependiente “z” es

dz  z x dx  z y dy  dz 

z z dx  dy x y

Esta definición puede extenderse a funciones de tres o más variables. Por ejemplo, si w  f x , y , z , u  , entonces dx  x, dy  y , dz  z ,du  u , y la diferencial total de “w” es

dw  w xdx  w y dy  w zdz  w udu EJERCICIO 4: En los ejercicios 1-10, calcular la diferencial total: 1) z  3x 2 y 3 3) z  

1 x  y2 2

2) z 

x2 y

x 4) z  e seny

e

  e  x

x2  y2

5) z  x cos y  y cos x

6) z 

7) w  2 yz 3 senx

8) w  e x cos y  z

9) w 

x y z2y

1 2

2



y2



10) w  x 2 yz 2  senyz

REGLA DE LA CADENA Sea w  f  x, y  , donde f es una función diferenciable de “x”  “y”. Si x  gt   y  ht  , siendo “g” y “h” funciones derivables de t, entonces w es una función derivable de t, y

dy dx dw  wx  wy dt dt dt Entonces w es una función, en última instancia, de una sola variable t, y en lugar de hablar de la derivada parcial de la función con respecto a t, hablamos de una derivada ordinaria, llamada Derivada Total. Otra forma de denotarla es:

df dx dy  fx  fy dt dt dt Si w  f x , y , z   x  p t , y  qt , z  r t  , entonces dw dx dy dz  wx  wy  wz dt dt dt dt

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Las “cadena” mencionada puede representarse en forma de diagrama, como lo muestra la siguiente figura:

w

wx

wy

x

y

dx dt

dy dt

t

t

Regla de la Cadena para una variable independiente

REGLA DE LA CADENA DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES Sea w  f  x, y  , donde f es una función diferenciable de x y de y. Si x  g s, t  y  hs , t  de forma tal que las parciales primeras x s , xt , y s  yt existan todas, entonces ws  wt existen y vienen dadas por

ws  wx xs  wy ys



wt  wx xt  wy yt

Las “cadenas” mencionadas pueden representarse en forma de diagrama, como lo muestra la siguiente figura:

w

wx

wy

x

y

xs

xt t

yt s

ys t

s Regla de la Cadena para dos Variables Independientes

La regla de la Cadena se puede extender a un número cualquiera de variables. Por ejemplo, si w es una función diferenciable de n variables x1, x2, ..., xn, donde cada x es una función diferenciable de las m variables t1, t2, ..., tm, entonces w = f(x1, x2, ..., xn) tenemos

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  W   x n   W   W  x1   W   x 2                  t 1  x1  t 1   x 2    t1   xn   t 1    W   x n   W   W  x1   W   x 2                  t 2  x1  t 2   x 2   t 2   xn   t 2    W   W  x1   tm  x1  tm

 W   x n   W    x2              xn   t m   x 2    tm 

  

DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS Estudiaremos dos métodos: MÉTODO 1: Se siguen los siguientes pasos: i) Asumir cual es la variable dependiente y cuales las variables independientes. ii) Derivar en la forma conocida y al derivar la variable dependiente (por ejemplo, w) anotar su derivada parcial (wx, wy, wz) según el caso. iii) Despejar la derivada parcial buscada. APLICACIÓN DE LA DIFERENCIAL TOTAL EN LA DERIVACIÓN IMPLÍCITA MÉTODO 2: Consideremos una función implícita de dos variables (1 independiente y 1 dependiente) tal como: (1) f  x, y  0 donde:

y  g x 

el Diferencial Total de la función (1) viene dado por:

df  f x dx  f y dy  0

f y dy   f x dx

dy f  x dx fy Extendiendo el proceso anterior a una función de tres variables (2 independientes y 1 dependiente) tal como:

f x, y, z   0 donde: z  g x, y 

...